郁中華

[摘? 要] 立足于學(xué)生發(fā)展并幫助學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識與技能的基礎(chǔ)上靈活運用數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本，本文著眼于“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念”進(jìn)行了以學(xué)生發(fā)展為根本的教學(xué)設(shè)計和思考.

[關(guān)鍵詞] 認(rèn)知沖突;認(rèn)知順應(yīng);意義;應(yīng)用;升華

以學(xué)生發(fā)展為根本并幫助學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識與技能的基礎(chǔ)上靈活運用數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本，本文結(jié)合《論語》中的“本立而道”這一思想對“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念”進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計方面的仔細(xì)思考.

教材與學(xué)情分析

“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念”這一章節(jié)內(nèi)容包含了數(shù)系的擴(kuò)充、復(fù)數(shù)的引入及相關(guān)概念. 數(shù)的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造、數(shù)的發(fā)展的現(xiàn)實背景與客觀需求都在數(shù)系的擴(kuò)充這一內(nèi)容中得到了很好的體現(xiàn). 復(fù)數(shù)的引入則是中學(xué)階段數(shù)系的最后一次擴(kuò)充. 高中學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識能夠幫助他們對數(shù)的概念形成較為完整的認(rèn)識并為其問題的解決增添新的工具.

當(dāng)然，學(xué)生在學(xué)習(xí)這一章節(jié)內(nèi)容時必然也會遇到一些障礙或疑惑，比如，虛數(shù)的單位i為何要引入呢？又是怎樣引入的呢？復(fù)數(shù)的意義是什么？它是怎樣的數(shù)？

教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示、復(fù)數(shù)相等的重要條件.

（2）在回顧舊知中體會數(shù)系擴(kuò)充的過程與基本方法，對復(fù)數(shù)相關(guān)概念的形成獲得理解.

（3）領(lǐng)會虛數(shù)引入的必要性并體會人類理性思維的作用，幫助學(xué)生建立積極的學(xué)習(xí)態(tài)度.

教學(xué)重難點

重點：①數(shù)系擴(kuò)充的過程;②復(fù)數(shù)的相關(guān)概念;③復(fù)數(shù)相等的充要條件.

難點：①數(shù)系擴(kuò)充的原則;②對虛數(shù)單位i的理解.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1：誘發(fā)認(rèn)知沖突并進(jìn)入課題的學(xué)習(xí)

問題1：我校高一、高二年級分別有多少個班級？這兩個年級的班級數(shù)之比為多少？

設(shè)計意圖：用熟悉的數(shù)字與事件為本課教學(xué)進(jìn)行鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)字這一基本語言的運用與研究中體會數(shù)系的擴(kuò)充與壯大.

問題2（當(dāng)年一道令數(shù)學(xué)家卡爾丹頭疼的問題）：可否把10分成兩部分并使這兩部分的乘積為40？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)歷史的回顧中感受數(shù)學(xué)的魅力，讓學(xué)生在體會數(shù)學(xué)大師思想的同時獲得問題的答案：“無法找到兩個和為10、積為40的實數(shù).”這就意味著方程x2-10x+40=0沒有實數(shù)解. 追問：“該方程為何無解呢？”“有何根本原因？”“-15不能開方，那何數(shù)可以開方并解決所有負(fù)數(shù)開方的問題呢？”讓學(xué)生在認(rèn)知沖突中對問題形成積極主動的思考并順利進(jìn)入課題的研究中.

環(huán)節(jié)2：在認(rèn)知順應(yīng)中擴(kuò)展數(shù)的認(rèn)識

問題3：數(shù)系的擴(kuò)充經(jīng)歷了哪幾次？每一次的擴(kuò)充都解決了原先哪些無法解決的問題呢？

設(shè)計意圖：學(xué)生對數(shù)已經(jīng)建立的認(rèn)知是本課內(nèi)容學(xué)習(xí)的生長點，因此，教師可以首先幫助學(xué)生對數(shù)系的擴(kuò)充進(jìn)行梳理，使學(xué)生能夠在了解數(shù)系擴(kuò)充的歷史序的基礎(chǔ)上形成數(shù)系擴(kuò)充的邏輯序，使學(xué)生在感受引入新數(shù)進(jìn)行擴(kuò)充的同時感受數(shù)系擴(kuò)充的社會發(fā)展必要性，不僅如此，不夠減、不能整除、不能開方等數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要也令數(shù)系擴(kuò)充有了必要性：

問題4：上述數(shù)系的擴(kuò)充所具備的共同特征有哪些？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生梳理、歸納數(shù)系的擴(kuò)充并感受其合理性，對數(shù)系擴(kuò)充的一般原則進(jìn)行梳理與提煉：①引入新數(shù);②原有的運算與性質(zhì)在新的數(shù)集中仍舊適用.

問題5：實數(shù)集應(yīng)如何擴(kuò)充才能解決負(fù)數(shù)開方這一問題呢？

設(shè)計意圖：首先尋找一個平方后能夠等于-1的數(shù)并將“新元i”順利引入，然后規(guī)定：①i2=-1;②實數(shù)能和i進(jìn)行四則運算，原有的運算法則都能成立并令實數(shù)集得到擴(kuò)充. 然后將新元i的200多年發(fā)展史介紹給學(xué)生并使其能夠領(lǐng)會知識發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué)思想方法與精神.

環(huán)節(jié)3：聯(lián)系意義并幫助學(xué)生掌握復(fù)數(shù)

問題6：實數(shù)與虛數(shù)單位i進(jìn)行四則運算后可得到新的數(shù)，大家能舉例后歸納出其一般形式嗎？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生運用新知列舉出含有i的新數(shù)并進(jìn)行思考：“所列舉出的數(shù)字中哪些可以歸為一類呢？大家以為其一般形式是怎樣的？”學(xué)生一般都能先發(fā)現(xiàn)bi，繼而發(fā)現(xiàn)a+bi（b≠0），不過學(xué)生一般都會將實數(shù)遺漏. 筆者進(jìn)行了追問：“能產(chǎn)生2，3…嗎？”“大家以為哪種形式可以將剛才所列舉出的數(shù)都包含進(jìn)去呢？”學(xué)生在教師的引導(dǎo)下從特殊到一般并將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式a+bi（a，b∈R）概括了出來，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念的同時也很好地完成了實數(shù)集到復(fù)數(shù)集的擴(kuò)充. 筆者又及時地進(jìn)行了追問：“大家覺得我們所列舉的復(fù)數(shù)的實部與虛部都是什么呢？”“能對復(fù)數(shù)進(jìn)行分類嗎？”“分類的依據(jù)是什么呢？”學(xué)生在教師問題的引導(dǎo)下很快聯(lián)想到實數(shù)a，b的不同取值并對復(fù)數(shù)進(jìn)行了分類，即

復(fù)數(shù)實數(shù)，b=0，虛數(shù)，b≠0.

復(fù)數(shù)的概念在如此的經(jīng)歷中得以深化，本課的重點也因此得以攻克，數(shù)系也因此順利得以擴(kuò)充.

環(huán)節(jié)4：引導(dǎo)學(xué)生在精選的練習(xí)中掌握應(yīng)用

例1：判斷以下命題的正確性：

（1）若a，b是實數(shù)，則z=a+bi為虛數(shù);

（2）若b是實數(shù)，則z=bi為純虛數(shù);

（3）若b=0，則z=a+bi為實數(shù).

設(shè)計意圖：在學(xué)生自主歸納出復(fù)數(shù)的分類之后設(shè)計上述診斷的練習(xí)題能幫助學(xué)生及時鞏固對這一知識點的理解.

例2：用韋恩圖表示數(shù)集N，Z，Q，R，C之間的關(guān)系應(yīng)如何表達(dá)？

設(shè)計意圖：這一例題的設(shè)計主要為了前后照應(yīng)并令學(xué)生在概念同化的練習(xí)中對認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行完善，使學(xué)生能夠在數(shù)系擴(kuò)充的過程中對知識點形成更好的理解.

例3：實數(shù)m取何值時，復(fù)數(shù)z=m（m-1）+（m-1）i是（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生對復(fù)數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行熟悉并同時內(nèi)化復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，使學(xué)生能夠在實際問題的解決中及時鞏固知識、反饋學(xué)習(xí)的具體狀態(tài). 在學(xué)生解決例3之后可以進(jìn)行追問：上述例題中的m取何值時，復(fù)數(shù)z為0？是6+2i？學(xué)生根據(jù)已有知識經(jīng)驗往往能夠自主解決并獲得復(fù)數(shù)相等的概念.

例4：已知（x+y）+（x-2y）i=（2x-5）+（3x+y）i，實數(shù)x，y的值是多少？

設(shè)計意圖：令學(xué)生在實際問題的解決中強(qiáng)化復(fù)數(shù)相等的充要條件并感受復(fù)數(shù)問題向?qū)崝?shù)問題的化歸.

環(huán)節(jié)5：在小結(jié)中理性升華

大家在本課的學(xué)習(xí)中學(xué)到了什么？

設(shè)計意圖：教師在學(xué)生總結(jié)的基礎(chǔ)上進(jìn)行提煉并因此形成總結(jié)的模式，幫助學(xué)生養(yǎng)成總結(jié)與反思的習(xí)慣.

教學(xué)反思

1. 數(shù)學(xué)文化滲透課堂始終

常見的數(shù)集到數(shù)學(xué)家卡爾丹的問題令學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)發(fā)展的漫長歷史，“i”這一經(jīng)歷兩個世紀(jì)才為人接受的虛數(shù)單位的出現(xiàn)也將更加廣闊的數(shù)學(xué)天地展現(xiàn)在大家眼前，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時也感受到了濃厚的數(shù)學(xué)文化氣息.

2. 數(shù)學(xué)方法貫穿課堂始終

以學(xué)術(shù)形態(tài)存在的數(shù)學(xué)學(xué)科蘊含著豐富的思想方法，學(xué)生記憶、理解、把握數(shù)學(xué)知識的同時還應(yīng)對以知識為載體的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行深刻的領(lǐng)會.

筆者在此課的設(shè)計中利用問題串將數(shù)的發(fā)展歷史進(jìn)行了展現(xiàn)，學(xué)生在數(shù)系的擴(kuò)充這一知識的發(fā)生過程中進(jìn)行思考與創(chuàng)造并抽象概括出了數(shù)系擴(kuò)充的原則. 類比實數(shù)的分類引導(dǎo)學(xué)生對復(fù)數(shù)的分類進(jìn)行思考，使學(xué)生在復(fù)數(shù)分類的思考中實現(xiàn)了數(shù)系的擴(kuò)充、復(fù)數(shù)的分類并因此體會到了新舊知識在研究方法上的一致性.

3. 學(xué)生活動串聯(lián)課堂始終

學(xué)生對所學(xué)知識形成理性的理解必須建立在豐富的感性體驗的基礎(chǔ)之上，虛數(shù)的“生長”過程對于學(xué)生來說是一個從無到有、從疑惑到接受、從模糊到清晰的過程，學(xué)生在教師精心設(shè)計的活動中親身經(jīng)歷知識的發(fā)生與發(fā)展并令自身的認(rèn)知從片面過渡向完善，復(fù)數(shù)是什么、引入復(fù)數(shù)的必要性、如何引入、引入后的作用等疑惑也因此在活動中一一消除.

本課設(shè)計中的學(xué)生活動主要有兩次. 筆者首先引導(dǎo)學(xué)生回顧了從小學(xué)開始依次遇到的數(shù)集，令學(xué)生在思考數(shù)集擴(kuò)充原因的基礎(chǔ)上對每一次擴(kuò)充所解決的問題進(jìn)行了深入的思考，并在學(xué)生深入思考的基礎(chǔ)上組織了學(xué)生小組的交流與合作. 第二次活動是圍繞虛數(shù)單位i和實數(shù)所構(gòu)成的新數(shù)來進(jìn)行的，組織學(xué)生進(jìn)行小組討論與合作學(xué)習(xí)中設(shè)計了以下問題：①從形式看，這些新數(shù)的特征有哪些？②能描繪其一般形式嗎？③如何分類？學(xué)生在這兩次的活動與探究中很快自主獲得了概念，學(xué)生的科學(xué)品質(zhì)與創(chuàng)新精神在活動的參與和教師的指引中獲得了有意義的鍛煉與塑造.