孟囿弟 龔敏

[摘? 要] 文章從試題立意、試題解題方法、試題教材背景等方面對2018年高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷第20題進(jìn)行了研究，該立體幾何題是對學(xué)生數(shù)學(xué)思維、推理及數(shù)學(xué)探究能力等的全面考查，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 高考題;立體幾何;立意分析;研究

試題呈現(xiàn)與簡評

2018年高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷第20題：

簡評：此題以勾股定理的逆定理、線段的定比分點(diǎn)定理、線面垂直判定定理、三垂線定理、空間向量及運(yùn)算等基礎(chǔ)知識為載體，對數(shù)學(xué)推理能力、研究能力、思維能力、思想方法進(jìn)行了較全面的考查，是一道深化能力立意的好題目. 本文從試題立意、試題解題方法、試題教材背景等方面，對此題進(jìn)行了一番探究，以期為中學(xué)教師在平日教學(xué)中，提供多角度、多視角的變式教學(xué)素材，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、發(fā)散性、靈活性等.?試題的立意分析

立意是試題的考查目的，能力立意是高考數(shù)學(xué)命題的重要價(jià)值取向，一般從數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)等方面確定試題的考查目的. 該題主要考查了數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)，下面從這兩方面分析該題的立意.

以數(shù)學(xué)思想方法立意：該題第（1）問，若采用線面垂直的判定定理進(jìn)行證明，需運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，從而得以證明;若不用線面垂直的判定定理，可從射影知識入手，將立體幾何轉(zhuǎn)化為平面幾何知識，然后結(jié)合三角形外心唯一的知識，證明射影點(diǎn)與已知點(diǎn)重合，進(jìn)而解決問題. 該題第（2）問，可先考慮建立空間直角坐標(biāo)系（坐標(biāo)法），然后用向量法，數(shù)形結(jié)合解決問題;若不建立空間直角坐標(biāo)系，可先作輔助線，由三垂線定理找到二面角所對應(yīng)的平面角，再運(yùn)用幾何等體積法求得點(diǎn)面距離，進(jìn)而解決問題. 因此，本題的解答可以涉及三大基本方法：坐標(biāo)法、向量法、幾何法. 解決立體結(jié)合中的問題，幾何法以邏輯推理作為工具解決問題，向量法利用向量的概念及運(yùn)算解決問題，坐標(biāo)法利用數(shù)及其運(yùn)算解決問題. 坐標(biāo)法常與向量運(yùn)算結(jié)合運(yùn)用[1]. 該題考查了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.

以數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)立意：該題考查了學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力、實(shí)踐能力（動手作圖）和探究意識. 該題對思維能力進(jìn)行了全面考查，對問題的解答，需要經(jīng)歷“作圖—觀察—猜想—證明”等過程，數(shù)學(xué)證明處于數(shù)學(xué)理性思維的最高層次[2]. 觀察、聯(lián)系眾多空間幾何體的基本元素，預(yù)計(jì)與頓悟解題思路，嘗試與選擇解題方法等，考查了學(xué)生的直覺思維;對直角三角形的判定，對各邊長的計(jì)算，尋找二面角所對應(yīng)的平面角等，考查了邏輯思維;對解題思路的探尋，對數(shù)學(xué)命題的證明，對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用等，考查了學(xué)生思維的廣闊性和探究意識.

由此分析，高考試題扎根于教材，是教材上例題和習(xí)題的改編或推廣，在平時(shí)的教學(xué)和復(fù)習(xí)時(shí)，教師們需重視教材，對教材中例題、習(xí)題、復(fù)習(xí)題的解題思路、數(shù)學(xué)思想方法、解題策略、改編形式進(jìn)行引導(dǎo)與講解. 同時(shí)，大力提倡立足于教材編擬高考試題，不編難題、偏題，回歸教材，減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，讓學(xué)生快樂學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]? 劉紹學(xué)，章建躍等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)2-1（選修）（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2007：110.

[2]? 趙思林. 論數(shù)學(xué)證明的教育價(jià)值[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志：初中版，2016（10）.

[3]? 于國海. 優(yōu)化與生成——數(shù)學(xué)解題的價(jià)值取向[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2011， 50（2）：10-12.

[4]? 劉紹學(xué)，章建躍等. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)2（必修）（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2007：67.