【摘 要】教師在具備教學(xué)意識(shí)的同時(shí)，還須具備課程意識(shí)，在關(guān)注教學(xué)效率的同時(shí)關(guān)注教學(xué)價(jià)值。教師需要回到課程的邏輯起點(diǎn)去反思三個(gè)基本性問(wèn)題：為什么學(xué)、學(xué)什么和如何學(xué)。數(shù)學(xué)的教育價(jià)值在于培養(yǎng)理性思維與創(chuàng)新能力，而一般且有效的創(chuàng)新課程應(yīng)來(lái)自教材內(nèi)的基礎(chǔ)知識(shí)內(nèi)容，應(yīng)把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思考的樂(lè)趣。教學(xué)應(yīng)遵循的價(jià)值邏輯為：以學(xué)定教，先學(xué)后教；學(xué)為中心，相機(jī)誘導(dǎo)；素養(yǎng)導(dǎo)向，數(shù)學(xué)育人。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 課程意識(shí) 核心素養(yǎng) 教學(xué)價(jià)值

牛獻(xiàn)禮

北京亦莊實(shí)驗(yàn)小學(xué)教師，北京市特級(jí)教師。曾獲全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)第四屆優(yōu)質(zhì)課評(píng)比一等獎(jiǎng)，應(yīng)邀在全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)第15屆年會(huì)上執(zhí)教觀摩課，赴全國(guó)二十多個(gè)省、市、自治區(qū)做觀摩課或?qū)ｎ}講座數(shù)百場(chǎng)，在省級(jí)以上教育刊物上發(fā)表教學(xué)論文、案例等近200篇，出版?zhèn)€人專著《讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生——我這樣教小學(xué)數(shù)學(xué)》《我在小學(xué)教數(shù)學(xué)——素養(yǎng)導(dǎo)向下的深度教學(xué)》。

毋庸諱言，在課程改革深入推進(jìn)的當(dāng)下，眾多一線教師不乏強(qiáng)烈的教學(xué)意識(shí)，但課程意識(shí)卻仍然較為淡薄。所謂課程意識(shí)，指的是對(duì)課程的敏感性與自覺(jué)性程度。教學(xué)意識(shí)關(guān)注的重點(diǎn)是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，認(rèn)為實(shí)現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)的教學(xué)就是有效教學(xué)；而課程意識(shí)關(guān)注的重點(diǎn)是前提性問(wèn)題——教學(xué)目標(biāo)合理嗎？如果教學(xué)目標(biāo)本身不合理，一節(jié)課即使實(shí)現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)也不能被稱作有效教學(xué)，而可能是低效或無(wú)效教學(xué)，有時(shí)甚至是負(fù)效教學(xué)！教學(xué)意識(shí)往往關(guān)心直接的教學(xué)效果，特別是考試成績(jī)；課程意識(shí)也關(guān)注考試成績(jī)，但它有一根底線，就是考試成績(jī)的獲得不能以犧牲學(xué)生的身心健康和全面發(fā)展為代價(jià)?？傊虒W(xué)意識(shí)更多關(guān)注教學(xué)的效率問(wèn)題，而課程意識(shí)更多關(guān)注教學(xué)的價(jià)值問(wèn)題。

承擔(dān)“立德樹(shù)人”重任的一線教師盡管處于整個(gè)課程邏輯鏈條的最末端，但仍須具備課程視野，回到課程的邏輯起點(diǎn)去反思幾個(gè)基本性問(wèn)題：一是“為什么學(xué)”，即數(shù)學(xué)教育對(duì)人的發(fā)展的獨(dú)特貢獻(xiàn)是什么？數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持怎樣的價(jià)值取向？二是“學(xué)什么”，即什么樣的課程內(nèi)容更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育價(jià)值、更能滿足學(xué)生的發(fā)展需求？三是“如何學(xué)”，即怎樣的教學(xué)才能讓學(xué)生的深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生？如何讓學(xué)生的核心素養(yǎng)得以形成和發(fā)展？筆者結(jié)合自身實(shí)踐與思考嘗試做出如下回答，以求教于方家。

一、為什么學(xué)？

數(shù)學(xué)代表著理性。自然界的基本規(guī)律可以用數(shù)學(xué)來(lái)刻畫(huà)，因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程就是一個(gè)學(xué)習(xí)如何看待這個(gè)世界，理解這個(gè)世界，更好地感悟這個(gè)世界的過(guò)程。史寧中教授指出：“數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是，一個(gè)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之后，即便這個(gè)人未來(lái)從事的工作和數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)，也應(yīng)當(dāng)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界?！边@就是數(shù)學(xué)課程的價(jià)值所在，也是為什么從小學(xué)一年級(jí)起人人都要學(xué)數(shù)學(xué)、都要獲得良好數(shù)學(xué)教育的主要原因。

但是，反觀當(dāng)下的數(shù)學(xué)教育，教學(xué)中的現(xiàn)象值得我們深思與追問(wèn)：學(xué)生能夠背誦出“兩個(gè)數(shù)相除又叫作兩個(gè)數(shù)的比”就理解“比”的意義了嗎？能夠說(shuō)出（甚至背誦出）“像100+2x=250，3x=2.4……這樣，含有未知數(shù)的等式就是方程”就算認(rèn)識(shí)了方程？能夠“套用歸納出的關(guān)系式、分類(lèi)解決幾種類(lèi)型的植樹(shù)問(wèn)題”就實(shí)現(xiàn)“植樹(shù)問(wèn)題”的教學(xué)價(jià)值了？……這是素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)教學(xué)嗎？如果我們培養(yǎng)的學(xué)生只會(huì)快速、準(zhǔn)確地解答數(shù)學(xué)題，而從未體驗(yàn)過(guò)真正的“生活化”與“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，不知數(shù)學(xué)題目中所包含的思想方法和人文精神；只會(huì)機(jī)械地套用老師教給的固定方法，而不能領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思維方式，喪失了學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和思維的靈性；只會(huì)大量、重復(fù)性地“刷題”以提高數(shù)學(xué)成績(jī)，而不能體會(huì)到數(shù)學(xué)課程的魅力與價(jià)值，體驗(yàn)不到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，數(shù)學(xué)又怎能給兒童以思維與生命的潤(rùn)澤？

數(shù)學(xué)的教育價(jià)值不僅僅停留在知識(shí)和技能上，不能只是單純地讓學(xué)生記住一些概念，掌握一些解題的技巧，還要“發(fā)揮數(shù)學(xué)教育在培養(yǎng)人的理性思維與創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用”。教師需要不斷追問(wèn)和落實(shí)學(xué)習(xí)內(nèi)容的教育價(jià)值，思考每節(jié)課、每個(gè)教學(xué)活動(dòng)的教育價(jià)值，為理解而教，為促進(jìn)思維發(fā)展而教，為核心素養(yǎng)的形成和提升而教。在課堂教學(xué)中，要讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的必要性，引導(dǎo)他們?nèi)ブ貧v或者模擬數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，使學(xué)生在知識(shí)、技能的學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)會(huì)思維，不斷提升思維品質(zhì)，在知識(shí)積累的同時(shí)親身體驗(yàn)到探索、創(chuàng)新的快樂(lè)，并從前人研究問(wèn)題的背景以及相應(yīng)的方法中得到啟發(fā)，感受到數(shù)學(xué)豐富而巧妙的方法、簡(jiǎn)潔而深邃的思想以及數(shù)學(xué)家嚴(yán)謹(jǐn)而科學(xué)的精神，領(lǐng)略到數(shù)學(xué)文明發(fā)展進(jìn)程中豁然開(kāi)朗的頓悟以及數(shù)學(xué)本身的文化內(nèi)涵。

比如，筆者依托教材內(nèi)容開(kāi)發(fā)的“一題一課”課程，就是通過(guò)對(duì)一道題或一個(gè)材料的深入研究，挖掘其內(nèi)在的學(xué)習(xí)資源與線索，進(jìn)行適度的拓展延伸，并科學(xué)、有序地組織學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，從而將這一道題（或一個(gè)材料）拓展成一節(jié)課，“小題大做”，讓其承載更多的教育價(jià)值。舉例來(lái)說(shuō)，筆者將“北師大版”四年級(jí)上冊(cè)“角的度量”中的一道習(xí)題開(kāi)發(fā)成了一節(jié)“探秘三角板”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課。全課以“利用一副三角尺，你能畫(huà)出哪些不同度數(shù)的角”這一啟發(fā)性問(wèn)題為引領(lǐng)，教師在關(guān)鍵處點(diǎn)撥：“把這些角從小到大排成一行，你有什么發(fā)現(xiàn)？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)角度之間的規(guī)律——每個(gè)角度都是15的倍數(shù)、相鄰兩個(gè)角的度數(shù)總是相差15°，但有一個(gè)例外——150°和180°之間卻相差30°。教師進(jìn)一步引導(dǎo)：“看到這樣的結(jié)果，你有什么想說(shuō)的嗎？”啟發(fā)學(xué)生提出“可能我們漏掉了一個(gè)165°的角”的猜想。接著，驗(yàn)證猜想之后再引導(dǎo)學(xué)生回顧165°角的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，歸納出“推理—猜想—驗(yàn)證”的思維方法，讓學(xué)生增長(zhǎng)了智慧。然后，又把學(xué)生的視野從數(shù)學(xué)課堂引向廣袤的課外世界，“海王星的發(fā)現(xiàn)”和“數(shù)學(xué)史上的著名猜想”的介紹讓學(xué)生看到上述數(shù)學(xué)思維方式在人類(lèi)文明史上的應(yīng)用價(jià)值，感受到數(shù)學(xué)思考的力量，讓學(xué)生長(zhǎng)了見(jiàn)識(shí)！

二、學(xué)什么？

當(dāng)下，課程創(chuàng)新方興未艾，數(shù)學(xué)繪本、數(shù)學(xué)魔術(shù)、數(shù)學(xué)步道、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)游戲等各種課程內(nèi)容形態(tài)不斷涌現(xiàn)。筆者認(rèn)為，上述“跨界”的創(chuàng)新內(nèi)容只是數(shù)學(xué)課程的有益補(bǔ)充，更一般且有效的創(chuàng)新課程應(yīng)當(dāng)來(lái)自教材內(nèi)的基礎(chǔ)知識(shí)內(nèi)容。數(shù)學(xué)的魅力在于冰冷的外表下蘊(yùn)藏著火熱的思考，體現(xiàn)在它的神奇和美妙上，人們能夠從中得到智與美的滿足。同時(shí)，核心素養(yǎng)的培育須依靠學(xué)生經(jīng)由日常的課程教學(xué)長(zhǎng)期習(xí)得，逐漸積淀，日積月累而成，因此，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容的課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)是核心素養(yǎng)培育的主渠道，深入挖掘基礎(chǔ)知識(shí)內(nèi)容的教育價(jià)值，讓基礎(chǔ)內(nèi)容“常教常新”，“點(diǎn)亮”常態(tài)課堂更具現(xiàn)實(shí)意義。

教材是教師教學(xué)最重要的文本和依據(jù)，教師對(duì)教材的解讀直接影響自己的教學(xué)行為，進(jìn)一步影響學(xué)生的學(xué)習(xí)，并最終決定了學(xué)生在課堂上“實(shí)際體驗(yàn)到的課程”。因此，研究“學(xué)什么”首要的就是研讀教材，弄清楚學(xué)科知識(shí)本身的結(jié)構(gòu)體系，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、融入數(shù)學(xué)思想、突出數(shù)學(xué)思考，讓數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)出應(yīng)有的魅力，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的神奇和美妙，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思考的樂(lè)趣。比如，設(shè)計(jì)“冰雹猜想”的自主閱讀單，讓學(xué)生在富有啟發(fā)性的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下進(jìn)行整數(shù)加法練習(xí)；提出問(wèn)題——“你能用‘可能性的知識(shí)來(lái)評(píng)價(jià)一下‘守株待兔里的人和事嗎”，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用；設(shè)計(jì)“1億張紙有多厚”的活動(dòng)，讓學(xué)生以小推大、以局部推算整體，直觀感受“1億有多大”；設(shè)置“用一副三角板能畫(huà)出哪些不同度數(shù)的角”的探究性任務(wù)，組織學(xué)生尋找角度中的規(guī)律，并以此做出有價(jià)值的推測(cè)；讓學(xué)生調(diào)查2016年和2017年北京的空氣質(zhì)量數(shù)據(jù)，再用統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖整理數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，以現(xiàn)實(shí)性任務(wù)驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐性學(xué)習(xí)……凡此種種，課程內(nèi)容還是以前的內(nèi)容，只是載體換了模樣，不同的載體所彰顯出的數(shù)學(xué)課程魅力也大相徑庭。

另外，對(duì)于當(dāng)前大熱的“課程整合”也須冷靜看待，擇善而從。課程整合絕非一件易事，不能只是形式上的簡(jiǎn)單組合，更不能隨意“去學(xué)科化”或“泛學(xué)科化”。一方面，各門(mén)課程都有其獨(dú)特的育人功能，任何課程綜合都要以各學(xué)科內(nèi)在教育價(jià)值的開(kāi)發(fā)為前提；各門(mén)課程內(nèi)容自身都有其發(fā)生、發(fā)展的邏輯，課程整合需要立足課程目標(biāo)，基于學(xué)科特點(diǎn)，向?qū)W生展現(xiàn)學(xué)科本身的魅力，將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)這一總體性教育目標(biāo)很好地落實(shí)于學(xué)科課程之中。另一方面，也不能畫(huà)地為牢，搞“學(xué)科主義”，以“學(xué)科價(jià)值”遮蔽“育人價(jià)值”。而應(yīng)當(dāng)以整體性教育目標(biāo)為指導(dǎo)積極地進(jìn)行學(xué)科融合。為此，教師要結(jié)合實(shí)際，因地制宜，創(chuàng)造更能滿足學(xué)生發(fā)展需求的多元的課程內(nèi)容、多樣化的課堂形態(tài)和教學(xué)方式，真正實(shí)現(xiàn)“為素養(yǎng)而教，用學(xué)科育人”。當(dāng)我們打開(kāi)視野，會(huì)發(fā)現(xiàn)有很多的路徑，但我們始終要提醒自己：不能因?yàn)樽叩锰h(yuǎn)，而忘記為什么而出發(fā)。

三、如何學(xué)？

研究與實(shí)踐均表明，學(xué)生核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，在本質(zhì)上，不是靠教師“教”出來(lái)的，而是靠學(xué)生“悟”出來(lái)的——不能單純依賴記憶與模仿，而是需要依賴學(xué)生深度參與其中，在解決一系列問(wèn)題的過(guò)程中形成理解與感悟。

為此，我們的數(shù)學(xué)課程與教學(xué)探索，應(yīng)當(dāng)遵循如下價(jià)值邏輯：

1.轉(zhuǎn)變課堂結(jié)構(gòu)，以學(xué)定教，先學(xué)后教

所謂“以學(xué)定教”，就是依據(jù)學(xué)情確定教學(xué)的起點(diǎn)、方法和策略。這里的學(xué)情包括學(xué)生的知識(shí)、能力基礎(chǔ)，學(xué)生的身心特征和內(nèi)在需要等學(xué)習(xí)主體的基本情況。而“定教”，就是確定教學(xué)的起點(diǎn)不能過(guò)低或過(guò)高，在恰當(dāng)?shù)钠瘘c(diǎn)上選擇最優(yōu)的教學(xué)方法，圍繞著學(xué)生的學(xué)習(xí)展開(kāi)教學(xué)。所謂“先學(xué)后教”，就是充分信任學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試、自主探索，讓自學(xué)、質(zhì)疑、爭(zhēng)辯、補(bǔ)充、修正等充盈其間，教師在關(guān)鍵處點(diǎn)撥、引導(dǎo)，在指導(dǎo)學(xué)法、深化思維、提升學(xué)習(xí)力上下功夫。

例如，教學(xué)“長(zhǎng)方形的面積”時(shí)，教師給學(xué)生提供長(zhǎng)4cm、寬2cm；長(zhǎng)5cm、寬3cm；長(zhǎng)8cm、寬6cm；長(zhǎng)30cm、寬20cm的四個(gè)長(zhǎng)方形，引導(dǎo)學(xué)生借助手中的8個(gè)邊長(zhǎng)1cm的小正方形去探索長(zhǎng)方形的面積公式。教師循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了如下的探究過(guò)程：對(duì)于第一個(gè)長(zhǎng)方形，直接擺滿8個(gè)小正方形就可以得到其面積，體會(huì)面積的本質(zhì)是若干個(gè)面積單位之和。對(duì)于第二個(gè)長(zhǎng)方形，手中的小正方形不夠擺滿，這是一次思維的跳躍，學(xué)生需要想到只沿著長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬擺，這就實(shí)現(xiàn)了從形象到抽象的提升，部分學(xué)生可能還會(huì)依賴具體的操作，但一些學(xué)生可能會(huì)利用表象進(jìn)行思考了。最后呈現(xiàn)的兩個(gè)長(zhǎng)方形，用小正方形擺太麻煩了，促使學(xué)生在抽象層面進(jìn)行思考，長(zhǎng)是多少就是一行擺多少個(gè)小正方形，寬是多少就是這樣擺幾行，從而經(jīng)歷推理的過(guò)程，“創(chuàng)造”出長(zhǎng)方形面積的計(jì)算公式。上述“具體操作—表象操作—抽象概括”的數(shù)學(xué)化的探究過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生逐步深刻地理解了長(zhǎng)方形面積公式的本質(zhì)意義，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)了空間觀念。

“以學(xué)定教，先學(xué)后教”的關(guān)鍵在于能夠把握知識(shí)本質(zhì)并準(zhǔn)確為學(xué)生的學(xué)情“把脈”，正本清源，刪繁就簡(jiǎn)，實(shí)施真正促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展的針對(duì)性教學(xué)。

2.重建教學(xué)關(guān)系，學(xué)為中心，相機(jī)誘導(dǎo)

有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一。一方面，上課是以實(shí)現(xiàn)每一個(gè)學(xué)生的“學(xué)習(xí)”為目的的，核心素養(yǎng)培養(yǎng)的過(guò)程也側(cè)重學(xué)生的自主探究和自我體驗(yàn)，更多地依靠學(xué)生自身在實(shí)踐中的摸索、積累和體悟。因此，教師要從“以教師講授為主”轉(zhuǎn)向“以學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)為主”來(lái)組織教學(xué)，為學(xué)生提供充分的“悟”的時(shí)間與空間。另一方面，學(xué)生高質(zhì)量的學(xué)習(xí)也離不開(kāi)教師的組織、引導(dǎo)與點(diǎn)撥。尤其是數(shù)學(xué)教學(xué)有其特殊性——學(xué)生在數(shù)學(xué)上的發(fā)展主要依賴于后天的學(xué)習(xí)，并表現(xiàn)為教師指導(dǎo)下的不斷“優(yōu)化”。有些東西光靠學(xué)生“自悟”，達(dá)不到應(yīng)有的高度。教師只有通過(guò)與學(xué)生的互動(dòng)對(duì)話、點(diǎn)撥引導(dǎo)，才能真正促進(jìn)思維（包括方法等）的優(yōu)化。

教學(xué)中，應(yīng)注重創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考或與他人進(jìn)行有價(jià)值的討論，整堂課的核心問(wèn)題要少而精，提的問(wèn)題不能太小，教學(xué)環(huán)節(jié)不能太細(xì)。教師不能代替學(xué)生探究，代替學(xué)生分析，要提供充分的時(shí)間讓學(xué)生去獨(dú)立探究與分析。教師少說(shuō)話，學(xué)生多活動(dòng)。讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)創(chuàng)建過(guò)程中的思考與發(fā)現(xiàn)，體驗(yàn)知識(shí)形成過(guò)程中的曲折與智慧，在探索與體驗(yàn)中形成對(duì)知識(shí)的理解與感悟，進(jìn)而形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。比如，教學(xué)“人教版”六年級(jí)上冊(cè)“工程問(wèn)題”時(shí)，筆者著眼于數(shù)學(xué)模型思想的滲透，讓學(xué)生經(jīng)歷了如下的數(shù)學(xué)建模過(guò)程。

出示例1：修一段420米長(zhǎng)的路，甲隊(duì)單獨(dú)修需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)修需要15天完成。如果兩隊(duì)合修，幾天能夠完成？

生：420÷（420÷10+420÷15）=6（天）

師：如果把這道題的條件改變一下，變成“210米”，猜猜看，多少天能夠修完呢？（板書(shū)：猜想）

生：3天能夠修完。因?yàn)楣ぷ骺偭可倭艘话?，其他條件沒(méi)有變，所以工作時(shí)間也會(huì)少一半。

師：聽(tīng)起來(lái)很有道理！這個(gè)猜想到底對(duì)不對(duì)呢？還需要——

生：驗(yàn)證。（板書(shū)：驗(yàn)證）

出示例2：修一段210米長(zhǎng)的路，甲隊(duì)單獨(dú)修需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)修需要15天完成。如果兩隊(duì)合修，幾天能夠完成？

學(xué)生開(kāi)始都猜是“3天能完成”，但通過(guò)計(jì)算卻發(fā)現(xiàn)：210÷（210÷10+210÷15）=6（天），感到很驚訝：“為什么修的路少了一半，時(shí)間卻沒(méi)有變化呢？”

教師順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生討論、交流。

生：盡管工作總量縮小了一半，但是工作效率也變慢了，210÷10=21（米），比上題中的工作效率420÷10=42（米）慢了一半，所以工作時(shí)間還是6天。

接著，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步提出新猜想：“無(wú)論修路長(zhǎng)度怎樣變化，只要甲、乙各自修完路的時(shí)間不變，合修的時(shí)間還會(huì)是6天?！?/p>

師：這又是一個(gè)聽(tīng)起來(lái)很有道理的猜想，我們?cè)賮?lái)驗(yàn)證一下。（板書(shū)：再猜想—再驗(yàn)證）

出示例3：修一段150米長(zhǎng)的路，甲隊(duì)單獨(dú)修需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)修需要15天完成。如果兩隊(duì)合修，幾天能夠修完？

生（興奮地）：150÷（150÷10+150÷15）=

6（天）

師：果然如此！合作完成的時(shí)間和道路總長(zhǎng)度真的沒(méi)有關(guān)系！那么，既然沒(méi)什么關(guān)系，我們干脆把“道路總長(zhǎng)”這個(gè)條件去掉。

出示例4：修一段路，甲隊(duì)單獨(dú)修需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)修需要15天完成。如果兩隊(duì)合修，幾天能夠修完？

少數(shù)學(xué)生感到有困難，無(wú)從下手；部分學(xué)生想到了舉例子的方法，假設(shè)路長(zhǎng)是某個(gè)具體的數(shù)，再列式解答；但是，也有更多的學(xué)生想到了下面的方法。

生：用“1”來(lái)表示道路總長(zhǎng)，1÷10=，算出來(lái)甲的工作效率；1÷15=，算出來(lái)乙的工作效率；1÷

+ =6（天）。（聽(tīng)完講解，教室里響起一片恍然大悟后的驚呼聲——“原來(lái)還可以這樣做！”）

師：剛才我們把這道修路的問(wèn)題不斷變換條件，得出了黑板上的這四種算法，比較一下，哪種方法更加簡(jiǎn)便？（第四種）想一想，前三道題目也能用第四種方法做嗎？為什么？

生：能用，因?yàn)椴还艿缆房傞L(zhǎng)是420米、210米，還是150米，都可以看作“1”。

師：是的，這種問(wèn)題在數(shù)學(xué)上叫作“工程問(wèn)題”（板書(shū)：工程問(wèn)題）。

縱觀整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生經(jīng)歷了“猜想—驗(yàn)證—再猜想—再驗(yàn)證”的思維過(guò)程。每一次探究，每一次比較，每一次抽象，學(xué)生都在體會(huì)題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，都在感悟數(shù)學(xué)思想，抽象、模型等數(shù)學(xué)思想在建模過(guò)程中得到了有效的滲透。

3.改變教學(xué)意義，素養(yǎng)導(dǎo)向，數(shù)學(xué)育人

不管是教什么學(xué)科的老師，歸根結(jié)底都是教學(xué)生的！要堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向，根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)生實(shí)際，選擇一條讓學(xué)生經(jīng)歷更多事物，看到更多風(fēng)景，獲得更多發(fā)展的路，從而由學(xué)科教學(xué)走向?qū)W科教育。

教學(xué)不應(yīng)停留于單純知識(shí)（包括數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能）的學(xué)習(xí)，而應(yīng)多關(guān)注知識(shí)內(nèi)涵的掌握及知識(shí)的實(shí)踐應(yīng)用，由知識(shí)向思維過(guò)渡，由具體知識(shí)引向其背后的數(shù)學(xué)思想和方法，幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)思維，不斷提升學(xué)生的思維品質(zhì)，包括由“理性思維”逐步走向“理性精神”，讓知識(shí)成為素養(yǎng)，變成智慧。

不應(yīng)停留于單一的課堂形態(tài)和學(xué)習(xí)方式，一成不變只會(huì)生出無(wú)趣來(lái)。而應(yīng)將直接教學(xué)與合作、探究式學(xué)習(xí)相結(jié)合，通過(guò)多樣化的課堂形態(tài)和豐富、靈活的學(xué)習(xí)方式來(lái)展現(xiàn)學(xué)習(xí)本身的魅力，比如問(wèn)題引領(lǐng)下的探索性學(xué)習(xí)、自學(xué)基礎(chǔ)上的分享式學(xué)習(xí)、基于主題研究的實(shí)踐性學(xué)習(xí)等。數(shù)學(xué)課應(yīng)該總是因?yàn)椤安煌倍寣W(xué)生心生期待。

責(zé)任編輯：孫昕

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