古傳運(yùn),劉 瀏,王園園

(1.四川文理學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 達(dá)州 635000; 2.達(dá)州市經(jīng)濟(jì)與信息化委員會(huì), 四川 達(dá)州 635000)

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·基礎(chǔ)學(xué)科·

帶擾動(dòng)的梁方程非線性邊值問題正解的唯一性

古傳運(yùn)1,劉 瀏1,王園園2

(1.四川文理學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 達(dá)州 635000; 2.達(dá)州市經(jīng)濟(jì)與信息化委員會(huì), 四川 達(dá)州 635000)

研究一類帶擾動(dòng)的滑動(dòng)固定梁方程非線性邊值問題。用混合單調(diào)算子新的不動(dòng)點(diǎn)定理,得到所研究方程正解的存在唯一性,改進(jìn)和推廣了前人的工作。舉例應(yīng)用了所得的主要結(jié)果。

梁方程; 非線性邊值問題; 正解; 存在唯一性;混合單調(diào)算子;不動(dòng)點(diǎn)定理

近年來,利用具有不同邊值條件的四階微分方程模擬彈性梁的彎曲平衡問題已經(jīng)被許多學(xué)者所研究,大多數(shù)所考慮的是具有零邊值條件的非線性方程[1-9]。當(dāng)邊值條件是非零或非線性時(shí),四階微分方程能夠模擬其末端擱在彈性支座上的梁[10-14]。

文獻(xiàn)[12]利用單調(diào)迭代方法研究了一類滑動(dòng)固定梁方程非線性邊值問題

單調(diào)正解的存在性,其中f∈C([0,1]×R2),g∈C(R)(如圖1所示)。

圖1 示意圖

受此啟發(fā),本文將利用帶有擾動(dòng)的混合單調(diào)算子的不動(dòng)點(diǎn)定理,研究一類帶擾動(dòng)的滑動(dòng)固定梁方程非線性邊值問題

(1)

正解的存在唯一性,其中0

1 基本事實(shí)和初步結(jié)果

引理 1[12]方程(1)和下面的方程等價(jià)：

這里

(2)

和

引理 2 函數(shù)H(t,s)和ψ(t)的性質(zhì)如下:

(3)

證明 當(dāng)0≤s≤t≤1時(shí),

當(dāng)0≤t≤s≤1時(shí),

當(dāng)t∈[0,1]時(shí),

假設(shè)(E,‖·‖)是Banach 空間,P是E中的閉凸非空子集,θ是E中的零元素。若P成立(i)x∈P,

λ≥0?λx∈P;( ii)x∈P,-x∈P?x=θ,則稱P為E中的一個(gè)錐。由P引出E中的半序關(guān)系如下:x,y∈E,x≤y當(dāng)且僅當(dāng)y-x∈P。若x≤y且x≠y, 則記作x

記P0={x∈P|x為P的內(nèi)點(diǎn)}, 如果P0非空,則稱錐P為體錐； 若存在常數(shù)N>0,使得對(duì)任意x,y∈E,θ≤x≤y,都有‖x‖≤N‖y‖,則稱錐P是正規(guī)的, 其中N叫做錐P的正規(guī)常數(shù)。

任意x,y∈E,若存在λ>0和μ>0,使得λx≤y≤μx,則記作x～y。顯然 ～ 是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。 給定w>θ, 記Pw={x∈E|x～w},易知當(dāng)?w∈P,有Pw?P且當(dāng)w∈P0時(shí),Pw=P0。

定義1[15]若?x,y∈E,x≤y,有Ax≤Ay(或Ax≥Ay),則稱算子A:E→E遞增(或遞減)。

定義2[15]若A(x,y)滿足xi,yi(i=1,2)∈P,x1≤x2,y1≥y2有A(x1,y1)≤A(x2,y2),則稱A(x,y)是混合單調(diào)算子。如果A(x*,x*)=x*,稱x*∈P是A的不動(dòng)點(diǎn)；又若x*>θ,則稱x*是A的正不動(dòng)點(diǎn)。

定義3[15]A:P→P稱為次齊次算子,如果A滿足

A(tx)≥tA(x),?t∈(0,1),x∈P。

(4)

引理3[15]設(shè)w>θ,β∈(0,1),A:P×P→P是混合單調(diào)算子且滿足

A(tx,t-1y)≥tβA(x,y),?t∈(0,1),x,y∈P ，

(5)

和B:P→P是次齊次遞增算子。若

(i)有w0∈Pw成立A(w0,w0)∈Pw和Bw0∈Pw，

則:

1)A:Pw×Pw→Pw,B:Pw→Pw;

2)存在u0,v0∈Pw和r∈(0,1)則有

rv0≤u0

3)算子方程A(x,x)+Bx=x在Pw中存在唯一解x*;

4)對(duì)任意初值x0,y0∈Pw,構(gòu)造迭代序列

xn=A(xn-1,yn-1)+Bxn-1,yn=A(yn-1,xn-1)+Byn-1,n=1,2,...,

注 1[15]： 若B是零算子, 則引理 3 也成立。

2 主要結(jié)論

令P={x∈C[0,1]|x(t)≥0,t∈[0,1]},易知P是Banach空間C[0,1]中正規(guī)錐。

斯庫特學(xué)會(huì)了從別人的角度看問題。她站在拉德利家的前廊上第一次從拉德利家的角度環(huán)顧她再熟悉不過的街區(qū)。真正體會(huì)到了父親的話。那一刻，她真正成長(zhǎng)了，拉德利不再是怪人，而是那個(gè)在寒夜里悄悄為她披上毯子的熱心鄰居。他偷偷縫好了杰姆試圖偷窺他被發(fā)現(xiàn)而不得不丟棄的褲子，雖然針腳歪歪扭扭，他送給孩子們他自己用香皂精心刻成的長(zhǎng)得像杰姆和斯庫特的娃娃，一只心愛的懷表，兩枚自己珍藏的古董吉祥幣，還有他最最寶貴的生命。在她眼中，拉德利是一位真正的紳士。

假設(shè)：

(H3) 存在一個(gè)常數(shù)β∈(0,1)使得

f(t,λu,λ-1v)≥λβf(t,u,v),?t∈[0,1],λ∈(0,1),u,v∈[0,)

和

h(t,μu)≥μh(t,u),?t∈[0,1],μ∈(0,1),u∈[0,);

(H4) 存在一個(gè)常數(shù)δ0>0使得f(t,u,v)≥δ0h(t,u),?t∈[0,1],u,v∈[0,+)。

定理1 若假設(shè)(H1)—(H4)成立,則:

1)存在u0,v0∈Pw和r∈(0,1)使得rvo≤u0

其中，w(t)=t2,t∈[0,1]。

2)問題(1)在Pw中存在唯一正解u*。

3)對(duì)任意初值x0,y0∈Pw,能構(gòu)造迭代序列

證明 定義兩個(gè)算子A:P×P→E和B:P→E為

由引理1, 易證u是問題(1)的一個(gè)解當(dāng)且僅當(dāng)u=A(u,u)+Bu,即u是算子A+B的不動(dòng)點(diǎn)。

由條件(H1), 可知A:P×P→P 和B:P→P。進(jìn)一步,由條件(H2),可驗(yàn)證算子A是混合單調(diào)算子和算子B遞增。

另一方面, 對(duì)任意λ∈(0,1)和u,v∈P,由(H3)可知

A(λu,λ-1v)(t)=

λβA(u,v)(t)。

即對(duì)于λ∈(0,1),u,v∈P,有A(λu,λ-1v)≥λβA(u,v)，所以算子A滿足條件(5)。同理由(H3)可知,對(duì)任意μ∈(0,1)和u∈P,

即對(duì)于μ∈(0,1), u∈P,有B(μu)≥μBu，所以算子B是一個(gè)次齊次算子。

接下來證明A(w,w)∈Pw和Bw∈Pw, 其中w(t)=t2,t∈[0,1]。

由引理2和條件(H1),(H2),對(duì)于?t∈[0,1],則有：

因此,對(duì)?t∈[0,1],有

從條件(H1)和(H4),可知

因此有A(w,w)∈Pw。類似可證,對(duì)?t∈[0,1],有

易知Bw∈Pw，故引理3的條件(i)滿足。

下面證明引理3的條件(ii) 也滿足。

對(duì)?t∈[0,1],u,v∈P,由條件(H4),

δ0Bu(t)。.

即,對(duì) ?t∈[0,1],u,v∈P有A(u,v)≥δ0Bu；因此利用引理3可得定理1的結(jié)論。

(I)存在u0,v0∈Pw和r∈(0,1)使得rvo≤u0

其中w(t)=t2,t∈[0,1];

(II)非線性邊值問題

在Pw中存在唯一正解u*;

(III)對(duì)任意初值x0,y0∈Pw,構(gòu)造一迭代序列

注2：由注1和定理1, 推論易證。

3 應(yīng)用

最后舉一例說明定理1。

例 考慮下述非線性邊值問題：

(6)

其中g(shù)(u(1))<0。令

再者,我們?nèi)ˇ?=1, 則有

所以(H4)成立。由定理1知,方程(6)在Pw中有唯一正解u*, 其中w(t)=t2,t∈[0,1]。

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(編校：葉超)

The Uniqueness of Positive Solutions for Beam Equations with Perturbed Nonlinear Boundary Value Problem

GU Chuanyun1, LIU Liu1, WANG Yuanyuan2

(1.School of Mathematics, Sichuan University of Arts and Science, Dazhou 635000 China；2.Dazhou City Provincial Economic and Information Commission, Dazhou 635000 China)

This work is concerned with the nonlinear boundary value problem of a class of beam equations with perturbed. Its existence and uniqueness of positive solutions were obtained by using a new fixed point theorem for mixed monotone operators. The result here improves and generalizes the predecessors’ work. Finally, the example was given to illustrate the main result.

beam equation; nonlinear boundary value problem; positive solution; existence and uniqueness; mixed monotone operator; fixed point theorem

2015-05-26

四川省教育廳科研項(xiàng)目(14ZB0309)；四川文理學(xué)院面上項(xiàng)目(2014Z010Y)。

古傳運(yùn)(1982—),男, 講師,碩士,主要研究方向?yàn)榉蔷€性泛函分析和微分方程。

O175.8

A

1673-159X(2016)05-0092-6

10.3969/j.issn.1673-159X.2016.05.017