江蘇省宜興市丁蜀高級中學(xué) (214221) 邵 曦

學(xué)習(xí)進階理念在數(shù)學(xué)學(xué)科的研究主要有兩個方面：第一類是理論性的基礎(chǔ)研究，通過實證方法建立縱向的學(xué)習(xí)進階；第二類是將學(xué)習(xí)進階應(yīng)用于數(shù)學(xué)課程、教學(xué)和評價中的研究.學(xué)習(xí)進階理念是對學(xué)生學(xué)習(xí)路徑的研究，探索學(xué)生思維如何發(fā)展.

一、學(xué)習(xí)進階的概念和特點

學(xué)習(xí)進階(Learning Progression)的理念最初由美國國家研究委員會提出，為了促進美國學(xué)生更好的掌握核心概念，打破傳統(tǒng)教學(xué)模式[1].近年來，該理念被引入到各種學(xué)科的教學(xué)當(dāng)中，但是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究仍然處于起步階段.

學(xué)習(xí)進階從提出到現(xiàn)在，仍然沒有一個統(tǒng)一的定義，來自全世界的多個學(xué)者都提出了自己的看法，例如Songer、Salinas、Duncan等.進行歸納后可以發(fā)現(xiàn)提出的定義主要有四類：過程論、假設(shè)論、方法論和序列論.目前被廣泛接受的是認為學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是發(fā)生在一個大的時間間隔內(nèi)的，學(xué)生在這個時間內(nèi)不斷的學(xué)習(xí)完善自己的知識體系，更加深入的對知識進行研究，整個過程中學(xué)生需要經(jīng)歷多個不同層次的中間水平.首先，學(xué)習(xí)進階是基于核心概念展開的，數(shù)學(xué)中的核心概念可以是抽象的模型思想，也可以是倍數(shù)、統(tǒng)計量等具體知識點，學(xué)習(xí)進階的整個過程需要圍繞核心概念不斷深入；其次，進階的途徑不是固定的，是可以改變的.對于不同的學(xué)生，學(xué)生進階的途徑是不一樣的；最后，學(xué)習(xí)進階具有假設(shè)性和層級性，學(xué)習(xí)進階是循序漸進的，通過不斷驗證假設(shè)修改完善最初的學(xué)習(xí)進階方案.

二、微專題教學(xué)的概念

微專題教學(xué)指的是在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，圍繞著某個知識點或者數(shù)學(xué)思想開展研究，從知識或者思想初始的概念開始，不斷漸進，并且通過一條清晰的主線串接起來的教學(xué)過程.微專題具有靈活、實用和有效的特點，能夠讓不同層次的學(xué)生在整個教學(xué)活動中起到作用，并且提升綜合能力[2].

三、學(xué)習(xí)進階在高中數(shù)學(xué)微專題教學(xué)中的應(yīng)用

學(xué)習(xí)進階由五個要素組成：進階起點和終點、進階水平、學(xué)業(yè)表現(xiàn)、進階維度和測評工具.教師首先需要選取一個范圍合適的核心概念，隨后查閱文獻資料，了解核心概念.下面將以蘇教版高中數(shù)學(xué)“函數(shù)零點”這一核心概念為例，建立函數(shù)零點高三復(fù)習(xí)微專題，闡述“學(xué)習(xí)進階”在高中數(shù)學(xué)微專題中的建立.

1、確定進階起點和進階終點

學(xué)習(xí)進階的起點指的是學(xué)生已經(jīng)具備的知識技能和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，進階的終點指的是學(xué)生最終需要達到的目標(biāo)，也就是學(xué)生可以達到的最高水平.教師首先需要對本班學(xué)生已有的知識儲備有一定的了解，隨后查閱資料文獻，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)目標(biāo)確定進階的終點.

例如在“函數(shù)零點”的學(xué)習(xí)進階建立中，進階起點的設(shè)計如下：進階起點1：學(xué)生在前面學(xué)習(xí)中已經(jīng)熟練掌握了解方程的方法，例如因式分解法、配方法和公式求解法.進階起點2：學(xué)生已經(jīng)熟練掌握各類基本函數(shù)圖像，能夠理解和應(yīng)用函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸之間的關(guān)系，以及依據(jù)判別式判斷函數(shù)圖像與x軸的交點個數(shù).進階終點是：學(xué)生能夠結(jié)合函數(shù)圖像以及基本函數(shù)的性質(zhì)，使用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決復(fù)雜的零點問題，讓學(xué)生深入理解體會零點問題的精髓，可以靈活的將不等式問題轉(zhuǎn)換成為零點問題.

2、建構(gòu)精準(zhǔn)性學(xué)習(xí)進階

在實際的教學(xué)過程中，教師根據(jù)班級的實際情況修改假設(shè)性學(xué)習(xí)進階，設(shè)計符合本班學(xué)生實際情況的分層進階學(xué)習(xí)方案.數(shù)學(xué)教學(xué)是基于練習(xí)來完成的，學(xué)生通過不斷的練習(xí)，來掌握和學(xué)習(xí)知識.教師依據(jù)進階起點，結(jié)合學(xué)生實際的情況，在假設(shè)進階的基礎(chǔ)之上，選取代表性題型，引導(dǎo)學(xué)生進行思維的遷移和發(fā)散，促進學(xué)生形成完整的邏輯鏈，體會其中的數(shù)學(xué)思想，從而達到進階終點.

例如在零點問題的教學(xué)設(shè)計中，在學(xué)習(xí)進階理念的指導(dǎo)之下，可以從設(shè)計如下三個層級的學(xué)習(xí)內(nèi)容，促進學(xué)生逐步加深理解.

層級1：直接應(yīng)用，基礎(chǔ)層級

對于零點問題，其進階的起點是理解“顯性”零點，結(jié)合方程的思想和函數(shù)圖像，找到解決零點問題時的轉(zhuǎn)換方法：函數(shù)的零點?方程的根?函數(shù)圖像與橫坐標(biāo)軸的交點.學(xué)生若想從進階的起點進階至下一個層級，需要完成一定的練習(xí)，同時教師通過講解例題和習(xí)題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律，從而學(xué)生可以高質(zhì)量的完成層級跨越.

例1 (1)求函數(shù)f(x)=x2+x-6的零點;

(2)判斷f(x)=x2+2x+4的零點個數(shù).

解析：(1)全部學(xué)生都可以將零點問題轉(zhuǎn)換成為方程問題，隨后解方程x2+x-6=0，超過半數(shù)的學(xué)生使用了因式分解的方法進行解答(x+3)(x-2)=0，可以得到x1=-3,x2=2.剩下的學(xué)生采用了判別式法進行解答.

(2)此題中學(xué)生們采用了判別式Δ<0和函數(shù)圖像兩種方法得到了零點個數(shù)為0.

設(shè)計意圖：例1的設(shè)計目的是為了讓學(xué)生通過自己動手練習(xí)，可以體會到方程、函數(shù)圖像和零點之間的關(guān)系，同時鞏固之前所學(xué)習(xí)的方程求解方法.

解析：例2在前面例題的基礎(chǔ)上添加了區(qū)間，同時函數(shù)變得較復(fù)雜，學(xué)生若不能進行適當(dāng)?shù)淖冃?，則無法正確解答此題.

求解f(x)=x-lnx-2的零點，即求x-lnx-2=0的解的個數(shù)，依靠學(xué)生現(xiàn)在的水平，是沒有辦法直接進行求解的，但是上式可以變?yōu)閘nx=x-2.此時可以通過分別畫出y=lnx和y=x-2的圖像，通過在區(qū)間內(nèi)交點的個數(shù)進行判斷.

設(shè)計意圖：此題是“隱性”的零點問題，這類零點問題往往不能通過方程思想進行求解，需要依靠圖像，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.學(xué)生通過解答此類問題，可以得到此類問題的一般解法，從而提升思維.

通過以上兩個例題可以發(fā)現(xiàn)，層級一是在進階起點上的直接應(yīng)用，主要就是“解”，就是要求學(xué)生使用所學(xué)的知識，解決問題.這一層級的學(xué)習(xí)主要是通過模仿練習(xí)，不斷的鞏固知識，總結(jié)規(guī)律.學(xué)生若處于這一層級，教師需要多加以引導(dǎo)，幫助學(xué)生找到知識盲區(qū)，進入下一層級.

層級二：變形應(yīng)用，能力層級

在零點問題的基礎(chǔ)題之上加入?yún)?shù)，是對零點問題的變形，參數(shù)的位置改變等都會使得問題變得不一樣，使得零點靜態(tài)問題變?yōu)閯討B(tài)的.引入?yún)?shù)之后，零點問題開始變得復(fù)雜起來，需要使用分離參數(shù)的方法和函數(shù)單調(diào)性的判斷，這樣使得學(xué)生的思維從形式表征到方法思想討論的多維度進階.

例3 請討論以下問題(1)求當(dāng)k取何值時，f(x)=x-lnx-2-k有兩個零點；(2)f(x)=kx-lnx-2有且僅有一個零點，求k的取值范圍；(3)若函數(shù)f(x)=x-klnx有兩個零點，請求出此時k的取值范圍.

解析：(1)在此問中，將參數(shù)引入到了常數(shù)項的位置，結(jié)合函數(shù)圖像引導(dǎo)學(xué)生思考，這只是將函數(shù)進行上下平移，因此可以直接根據(jù)圖像得到：當(dāng)k>-1時，函數(shù)有兩個零點.第二種方法是使用分離參數(shù)的方法，討論y=x-2-k和y=lnx的交點個數(shù)，在例2的圖像基礎(chǔ)上進行平移就可以得到相同結(jié)論.

(3)此時將參數(shù)k的位置移動到了lnx前面，使得問題變得更加復(fù)雜，但是整體的思路仍然相同，可以結(jié)合圖像得到k的取值范圍為(e,+∞).

此層級的例題相比于基礎(chǔ)層級，在思維和解題復(fù)雜程度上都有了明顯的提升，需要學(xué)生在掌握好基礎(chǔ)知識規(guī)律的同時，能夠認真分析題目，結(jié)合分離參數(shù)方法進行解答.

層次三：綜合應(yīng)用，發(fā)散層級

進階終點是學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，學(xué)生在掌握了零點的定義、判定定理等概念之后，需要結(jié)合分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.因此學(xué)習(xí)路徑中的最后一個層級，是在前面兩個層級的基礎(chǔ)之上，逐漸遞進，達到較高的水平.

第三層級也就是最高層級，是學(xué)生在高中階段需要最終達到的層級.通過前面兩個層級的鋪墊，學(xué)生整合了相關(guān)的知識要點和思想方法，最終達到綜合應(yīng)用層級.

在本節(jié)“函數(shù)零點”的教學(xué)設(shè)計中，是基于進階分層理論為學(xué)生設(shè)計的學(xué)習(xí)路徑，借助習(xí)題按照“直接應(yīng)用、變形應(yīng)用、綜合應(yīng)用”三個層級設(shè)置具體的內(nèi)容[3].教師在具體的實施過程中，會及時觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，即判斷學(xué)生處于哪一個層級，若學(xué)生處于第一層級，則加以引導(dǎo)，找出學(xué)生的問題所在，幫助學(xué)生快速進入到第二層級當(dāng)中；若學(xué)生處于第二層級，要引導(dǎo)學(xué)生找出瓶頸所在，從而達到最終層級.

總而言之，“學(xué)習(xí)進階”理念指導(dǎo)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，既需要教師根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的知識水平、學(xué)習(xí)能力，結(jié)合層級水平，確定不同層級學(xué)生的學(xué)習(xí)方向；又要不斷的調(diào)查了解學(xué)生的層級水平，了解學(xué)生已經(jīng)學(xué)到了多少知識，理解了多少知識，可以應(yīng)用多少知識解決問題，從這些方面判定學(xué)生的層級，幫助學(xué)生從進階起點不斷努力，跨越連續(xù)層級，抵達進階終點.