文 鋒，鄭曉東，張 輝

(1.長安大學(xué) 公路學(xué)院，陜西 西安 710064；2.中交公路規(guī)劃設(shè)計院有限公司 ，北京 100088)

0 引 言

隨著橋梁的跨度不斷增加，以及新材料和自動化施工技術(shù)的應(yīng)用，使得橋梁結(jié)構(gòu)阻尼越來越低。因此，橋梁在風(fēng)的作用下越來越敏感，風(fēng)荷載已經(jīng)成為控制大跨度橋梁施工和運營安全的關(guān)鍵因素之一。在各種風(fēng)致橋梁振動效應(yīng)中，顫振是最具危險性的發(fā)散性振動現(xiàn)象，需要在設(shè)計階段通過采取適當(dāng)?shù)目癸L(fēng)措施杜絕顫振的發(fā)生。

關(guān)于橋梁顫振穩(wěn)定性的判定，Theodorsen根據(jù)機翼顫振分析理論提出了平板顫振理論，但在用平板顫振理論分析Tacoma橋的顫振臨界風(fēng)速時，發(fā)現(xiàn)理論與實際情況并不相符。所以，Bleich將斷面兩側(cè)漩渦給加勁梁斷面帶來的升力矩和附加升力的影響考慮進Theodorsen平板顫振理論，用修正后的理論計算出的顫振臨界風(fēng)速與實際橋梁發(fā)生顫振時的風(fēng)速比較接近。Kl?ppel和Thiele為了完善該分析方法，提出了一套計算程序，專門用來分析Bleich懸索橋的顫振穩(wěn)定性，并將結(jié)果繪制成了適用于懸索橋分析的諾模圖，用諾模圖可以直接求解懸索橋顫振臨界風(fēng)速。Van der put在Kl?ppel/Thiele的諾模圖基礎(chǔ)上，運用數(shù)理統(tǒng)計的方法，擬合出了理想薄平板顫振臨界風(fēng)速的實用公式。Chen[1]基于橋梁氣彈模型的多模態(tài)耦合響應(yīng)，給出了顫振臨界風(fēng)速計算的解析公式。Gianni Bartoli[2]對顫振穩(wěn)定性的評價做了大量的研究，提出了只需借助3個甚至2個氣動導(dǎo)數(shù)的橋梁顫振評價方法。

中國學(xué)者項海帆等[3]開展了相關(guān)研究，討論了大跨橋梁2種顫振理論的臨界風(fēng)速實用計算公式，并給出了一個統(tǒng)一表達形式的臨界風(fēng)速近似估算公式，以及一個大跨橋梁顫振穩(wěn)定性的簡化判據(jù)公式。葛耀君等[4]基于結(jié)構(gòu)的可靠性理論，通過極限狀態(tài)方程建立了橋梁顫振的可靠性分析模型，并提出了用以確定橋梁顫振穩(wěn)定失效概率的計算方法。白樺 等[5-6]基于頻域分析法分析振動方程中的單元氣動阻尼矩陣與氣動剛度矩陣及彎扭耦合顫振驅(qū)動機理，將借助顫振導(dǎo)數(shù)研究顫振失穩(wěn)問題轉(zhuǎn)化為借助三分力系數(shù)研究顫振失穩(wěn)，給出了基于三分力系數(shù)的顫振穩(wěn)定性快速評價參數(shù)F。劉樂[7]通過靜三分力系數(shù)和顫振穩(wěn)定性的定性關(guān)系、寬高比和顫振穩(wěn)定性之間的關(guān)系，借助最小二乘法，擬合出評價懸索橋在3°、0°風(fēng)攻角下顫振穩(wěn)定性的參數(shù)L。

雖然國內(nèi)外學(xué)者對顫振穩(wěn)定性做了大量的研究，并使橋梁顫振理論和評價標(biāo)準(zhǔn)逐漸完善，但目前國內(nèi)抗風(fēng)規(guī)范以及研究對橋梁顫振臨界風(fēng)速的估算公式都是基于理想薄平板，即通過分析相應(yīng)薄平板的參數(shù)變化對顫振臨界風(fēng)速的影響，歸納出薄平板顫振臨界風(fēng)速計算公式，再考慮橋梁斷面的形狀系數(shù)、攻角系數(shù)和橋梁體系，將薄平板顫振臨界風(fēng)速轉(zhuǎn)化成實際橋梁的顫振臨界風(fēng)速。盡管這樣的計算過程節(jié)省了大量的資源，不需借助風(fēng)洞試驗或者CFD數(shù)值模擬手段，較其他評價準(zhǔn)則簡便，但由于對影響系數(shù)的考慮不夠全面，以及顫振穩(wěn)定性的敏感性并未完全體現(xiàn)，所以評價結(jié)果并不能完全反應(yīng)實際橋梁斷面顫振穩(wěn)定性。本文旨在提出一種新的大跨徑橋梁扁平箱梁斷面顫振臨界風(fēng)速估算的方法，方便前期方案比選和滿足相關(guān)科研的需要。

1 扁平箱梁顫振臨界風(fēng)速實用公式擬合

在分析斜拉橋和懸索橋顫振穩(wěn)定性時，需要考慮動力特性、幾何特性、氣動外形、偏心質(zhì)量、阻尼及偏心距的影響，另外橋塔和纜索體系也會對顫振臨界風(fēng)速產(chǎn)生影響。這些影響因素被分成兩大類：一是主梁斷面的氣動外形，如主梁斷面的寬高比、斜腹板的角度、欄桿的透風(fēng)率等；另一類是橋梁的動力特性，如質(zhì)量和頻率等。

1.1 影響顫振穩(wěn)定性的主要因素

采用Scanlan提出的經(jīng)典計算方法，分別計算扁平箱梁斷面在不同的質(zhì)量、質(zhì)量慣矩(I)、阻尼比以及扭彎頻率工況下的顫振臨界風(fēng)速，用以研究不同的質(zhì)量(m)、質(zhì)量慣矩、阻尼比和扭彎頻率與顫振臨界風(fēng)速關(guān)系。計算結(jié)果如圖1所示。各參數(shù)變化會引起顫振臨界風(fēng)速V的變化，V變化后與變化前的比值用RV表示，可以將其稱為益損系數(shù)。RV>1表示參數(shù)變化后，顫振臨界風(fēng)速V提高；RV<1表示顫振臨界風(fēng)速V降低。RD是參數(shù)變化后與變化前的比值，當(dāng)RD>1表示參數(shù)提高，RD<1表示參數(shù)降低。

圖1 各參數(shù)對顫振臨界風(fēng)速的影響

從圖1中可以看出：扭轉(zhuǎn)圓頻率對扁平箱梁顫振臨界風(fēng)速的影響最大，隨著扭轉(zhuǎn)圓頻率的增大，顫振臨界風(fēng)速也增大；豎彎圓頻率對顫振臨界風(fēng)速的影響僅次于扭轉(zhuǎn)圓頻率，但顫振臨界風(fēng)速隨豎彎圓頻率的增加而減小；斷面質(zhì)量與質(zhì)量慣矩對顫振臨界風(fēng)速的影響幾乎相同，即隨著質(zhì)量和質(zhì)量慣矩的增加，顫振臨界風(fēng)速也增大；阻尼比對顫振臨界風(fēng)速的影響最小，且實際工程中扁平箱梁基本為鋼箱梁，所以在計算時阻尼比取千分之五。

1.2 擬合實用公式

本節(jié)主要考慮質(zhì)量、質(zhì)量慣矩以及扭彎頻率對顫振穩(wěn)定性的影響。目前，對橋梁顫振臨界風(fēng)速公式擬合的研究大多以Selberg公式或者Van der Put公式為數(shù)學(xué)模型，前者是由一系列試驗的結(jié)果推導(dǎo)而來，后者則基于氣動力的精確表達式算出的無量綱參數(shù)的諾模圖，繼而擬合成近似的直線表達式，具有較高的精度，且對顫振臨界風(fēng)速的影響因素考慮較全面，所以本文選取Van der Put公式為數(shù)學(xué)模型，將常數(shù)參數(shù)化后為

(1)

式中：Vcr為顫振風(fēng)速；β1、β2、β3、β4、β5為待定參數(shù)；扭彎頻率比ε=fα/fb，fα、fb分別為扭轉(zhuǎn)頻率、豎彎頻率；μ=m/2πρb2，ρ為空氣密度，b為半橋?qū)挘籸為慣性半徑。

將式(1)右側(cè)移項為

(2)

該公式左右兩側(cè)都是無量綱數(shù)，方便進行規(guī)律的探討與公式擬合。此外，可采用分階段擬合順序，即先根據(jù)扭彎頻率比與折減風(fēng)速的關(guān)系求出β1、β2，再由最小二乘法求出β3、β4、β5，最后得出擬合結(jié)果。

由不同的μ與r/b工況下Scanlan經(jīng)典計算方法得到的數(shù)據(jù)，進行一次線性擬合計算得到12組ε與Vcr/fbb的諾模圖，如圖2所示。

圖2 不同工況下ε與Vcr/fbb 關(guān)系

不同μ與r/b工況下ε與Vcr/fbb的關(guān)系擬合線近似交于一點，表明扭彎頻率比和折減風(fēng)速呈線性關(guān)系，即存在常參數(shù)β1、β2使ε=β1時，Vcr/fbb=β2。從圖中還可以看出，多條直線的交點就是參數(shù)β1、β2的值，即(β2，β1)=(0.690 0，3.860 1)，這里交點取所有直線交點的平均值，代入式(2)得

(3)

將式(3)常數(shù)項與(ε-0.690 0)移至公式左側(cè)得

(4)

(5)

將式(5)化簡得到

(6)

其中

(7)

將式(6)兩側(cè)取對數(shù)

f(x1,x2)=lnα1+α2lnm+α3lnI

(8)

則待擬合參數(shù)的公式為

f(x1,x2)=γ1+γ2·x(m) +γ3·x(I)

(9)

為得到最小二乘擬合方法需要的數(shù)據(jù)，只改變主梁斷面的質(zhì)量和質(zhì)量慣矩，利用Scanlan提出的顫振臨界風(fēng)速計算方法，得到不同的顫振臨界風(fēng)速。其中因變量m?[9.138 9，21.138 9]，梯度為1，因變量I?[0.353 4，0.703 4]，梯度為0.05。將計算數(shù)據(jù)利用MATLAB編制最小二乘法計算程序，得到[β3、β4、β5]=[6.250 2，0.601 5，0.640 8]，代入式(1)得

(10)

2 CFD數(shù)值模擬修正公式

扁平箱梁的顫振臨界風(fēng)速是各種因素綜合作用的結(jié)果，其中主要影響因素是主梁斷面氣動外形與橋梁動力特性，所以僅考慮橋梁動力特性的變化對顫振臨界風(fēng)速的影響，而忽略橋梁斷面氣動外形對顫振臨界風(fēng)速的影響，無法保證擬合公式的精度；而在風(fēng)洞實驗室中考慮主梁斷面氣動外形對顫振臨界風(fēng)速的影響，成本較大。所以，本文采用CFD數(shù)值模擬技術(shù)修正實用公式。

2.1 CFD數(shù)值模擬精度參數(shù)設(shè)置

采用ICEM軟件生成斷面周圍的網(wǎng)格，并進行邊界設(shè)置，全流場的長度為主梁斷面橋?qū)挼?0倍左右，全流場的寬度為截面梁高的20倍以上，橋梁斷面的形心位于距離風(fēng)速入口流場處，網(wǎng)格選用適用于流固耦合的動網(wǎng)格——三角形網(wǎng)格，如圖3所示。速度入口、速度出口、上下邊界、流場名稱以及截面剛體名稱如圖4所示。采用Fluent為求解器，湍流模型選用標(biāo)準(zhǔn)的k-ω湍流模型，殘差設(shè)置為0.000 1，時間步設(shè)置為瞬態(tài)步，每步間隔為0.01 s。在識別橋梁斷面的氣動導(dǎo)數(shù)時，常規(guī)的Fluent參數(shù)設(shè)置并不能滿足要求，需要在Fluent中嵌入紐馬克方程的UDF(用戶自定義函數(shù))程序以驅(qū)動動網(wǎng)格來實現(xiàn)自由耦合振動法識別橋梁顫振導(dǎo)數(shù)[8-9]。

圖3 網(wǎng)格劃分

圖4 計算模型及邊界條件

利用CFD數(shù)值模擬估算了棋盤洲長江公路大橋原方案成橋狀態(tài)下0°、3°和5°風(fēng)攻角的顫振臨界風(fēng)速，CFD數(shù)值模擬結(jié)果分別為64.95、55.58、50.27 m·s-1，風(fēng)洞試驗顫振臨界風(fēng)速分別為64.04、52.60、45.74 m·s-1。CFD數(shù)值模擬精度較高，誤差從1.42%(原方案成橋狀態(tài)0°攻角)到9.90%(原方案成橋狀態(tài)5°攻角)不等，且風(fēng)攻角越接近0°，精度越高。本文修正計算公式只需計算0°風(fēng)攻角下的顫振臨界風(fēng)速，所以精度滿足要求。

2.2 氣動外形對顫振臨界風(fēng)速的影響

由于擬合估算顫振臨界風(fēng)速所使用的對象是扁平箱梁，并不需要考慮橋梁運營階段主梁斷面的附屬設(shè)施對顫振臨界風(fēng)速的影響[10-12]，而對于這種扁平箱梁斷面，影響氣動外形的因素并不多，若精確地考慮扁平箱梁斷面的每處細節(jié)，費時耗力，且結(jié)果并不一定理想，所以本文選取對橋梁氣動外形影響較大的2個參數(shù)：寬高比(B/H)和斜腹板傾角α。

2.2.1 寬高比與顫振臨界風(fēng)速的關(guān)系

扁平箱梁的寬高比變化較大，其中橋梁斷面的寬度在30～50 m之間，高度在2～5 m之間。為盡量減少CFD數(shù)值模擬的工作量，假設(shè)不同斜腹板角度的顫振臨界風(fēng)速成一定比例關(guān)系，保持斜腹板角度15°不變，可以分別計算寬高比為8、9、10、11、13、14、15、16時斷面的氣動導(dǎo)數(shù)，將所有計算工況的主梁斷面高度定為4 m，繼而估算出顫振臨界風(fēng)速，結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同寬高比斷面的顫振臨界風(fēng)速

由圖5可以看出，顫振臨界風(fēng)速隨著斷面寬高比的增大而減小，且基本呈線性關(guān)系；當(dāng)寬高比低于8或者高于16時，寬高比的變化對顫振臨界風(fēng)速的影響變小。

通過不同寬高比斷面的顫振臨界風(fēng)速的計算發(fā)現(xiàn)，寬高比的變化對橋梁顫振臨界風(fēng)速的影響較大，所以顫振臨界風(fēng)速計算的實用公式應(yīng)該修正斷面寬高比的影響。將圖5中的數(shù)據(jù)進行一次線性擬合，得到顫振臨界風(fēng)速與主梁斷面寬高比的函數(shù)關(guān)系為

RV=2.039 3-0.084 7B/H

(11)

則考慮寬高比的影響后，得到的修正公式為

(12)

2.2.2 斜腹板傾角與顫振臨界風(fēng)速的關(guān)系

保持?jǐn)嗝娴膶捀弑葹?1、12、13，分別計算斜腹板角度為14°、15°、16°、17°、18°斷面的氣動導(dǎo)數(shù)，然后估算出顫振臨界風(fēng)速，結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同斜腹板角度斷面的顫振臨界風(fēng)速

由圖6可知，斜腹板角度對斷面顫振臨界風(fēng)速有一定影響，并且隨著斜腹板傾角變大，主梁斷面顫振臨界風(fēng)速變小，但斜腹板傾角為14°～18°時，顫振臨界風(fēng)速相差基本在10%以內(nèi)，與主梁斷面寬高比對顫振臨界風(fēng)速的影響相比，斜腹板傾角對顫振臨界風(fēng)速的影響較小。實際橋梁斷面的斜腹板角度大多集中在14°～17°，在此范圍外的扁平箱梁較少建設(shè)，所以本文顫振臨界風(fēng)速計算公式的修正不考慮斜腹板傾角的影響。

3 工程應(yīng)用

采用長江三橋、潤揚長江大橋、南京四橋、虎門大橋、大沙水道橋、廈漳跨海大橋、南京二橋以及蘇通大橋的風(fēng)洞試驗所測得的顫振臨界風(fēng)速為標(biāo)準(zhǔn)，按照規(guī)范給定的3種計算公式和本文擬合出來的公式分別計算各個橋梁的顫振臨界風(fēng)速及誤差，結(jié)果如表1所示。

Van der Put公式計算的實橋顫振臨界風(fēng)速誤差最小為1.37%，誤差最大為26.91%；Selberg公式計算結(jié)果的離散性較大，誤差最小為9.88%，但是誤差最大為65.74%；同濟大學(xué)公式穩(wěn)定性較好，誤差在10%～30%；本文擬合出來的計算公式誤差在20%以下，最大誤差為17.59%，最小誤差為1.23%。

表1 誤差比較

由長江三橋、南京四橋、虎門大橋、南京二橋以及廈漳跨海大橋的顫振臨界風(fēng)速估算結(jié)果來看，Selberg公式與同濟大學(xué)公式計算的誤差較大，而Van der Put公式和本文公式計算的誤差較?。粷檽P長江大橋的顫振臨界風(fēng)速估算中，4個公式計算的誤差都比較大，其中Van der Put公式誤差為26.91%，Selberg公式為25.33%，同濟大學(xué)公式為27.52%，本文公式為17.59%；本文公式估算的大沙水道橋的顫振臨界風(fēng)速誤差最小，為1.23%，其余公式估算的結(jié)果誤差較大；蘇通大橋的顫振臨界風(fēng)速估算中，同濟大學(xué)公式估算的結(jié)果誤差較大，其余公式估算的結(jié)果誤差均較小。

4 結(jié) 語

(1)分析了影響扁平箱梁顫振穩(wěn)定性的影響因素，其中質(zhì)量、質(zhì)量慣矩、扭彎頻率對顫振臨界風(fēng)速影響較大，確定Van der Put公式為本章公式的數(shù)學(xué)模型。

(2)利用彎扭頻率比與折減風(fēng)速的線性關(guān)系，結(jié)合最小二乘法初步擬合出扁平箱梁的顫振臨界風(fēng)速計算公式，利用CFD數(shù)值模擬技術(shù)考慮了橋梁斷面寬高比和斜腹板傾角對顫振臨界風(fēng)速的影響，用主梁斷面寬高比對顫振臨界風(fēng)速的影響修正初步擬合的公式。

(3)結(jié)合長江三橋、潤揚長江大橋、南京四橋、虎門大橋、大沙水道橋、廈漳跨海大橋、南京二橋以及蘇通大橋的風(fēng)洞試驗結(jié)果對本文計算公式和抗風(fēng)規(guī)范提供的公式進行了比較，得出本文擬合的公式計算精度較高。