孫勇敢，黎 勝，包振明

(1.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部船舶工程學(xué)院，遼寧 大連 116024；

(2.重慶交通大學(xué),重慶 400074； 3.江蘇科技大學(xué),江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

加筋板結(jié)構(gòu)在建筑、車輛和海洋工程等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用，其聲學(xué)性能一直是國內(nèi)外學(xué)者研究的重要課題。在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，如土木建筑的樓板，高速公路，具有彈性車輪的輕軌車輛甲板等通常可以簡化為具有彈性基礎(chǔ)的板/加筋板結(jié)構(gòu)等。國內(nèi)外學(xué)者在彈性地基結(jié)構(gòu)動(dòng)力問題方面開展了大量的研究工作，Morfidis[1]推導(dǎo)了鐵木辛柯梁在彈性基礎(chǔ)上的動(dòng)力平衡方程及相應(yīng)的固有振動(dòng)方程，B.U?urlu等[2]研究了彈性基礎(chǔ)和流體對矩形板固有頻率和振動(dòng)模態(tài)的影響，Hashemi等[3]應(yīng)用里茨法研究了流體加載下彈性基礎(chǔ)矩形板動(dòng)力特性，計(jì)算了不同的彈性基礎(chǔ)剛度、流體加載區(qū)域，邊界條件，幾何尺寸下結(jié)構(gòu)的固有頻率。Nguyen[4]研究了移動(dòng)質(zhì)量激勵(lì)下彈性基礎(chǔ)梁的動(dòng)力響應(yīng)，覃霞等[5]運(yùn)用最小二乘無網(wǎng)格法研究了彈性地基上加筋板的固有頻率，高陽等[6]建立了被隔振設(shè)備彈性基礎(chǔ)上受垂向激勵(lì)的力學(xué)模型，結(jié)果表明設(shè)備彈性基礎(chǔ)對整體的彈性振動(dòng)不能被忽略，賀小龍等[7]建立了彈性基礎(chǔ)下多級并聯(lián)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器數(shù)學(xué)模型，討論了彈性地基對主系統(tǒng)的影響。這些研究表明彈性基礎(chǔ)對結(jié)構(gòu)的靜力或動(dòng)力性能有重要影響，而彈性基礎(chǔ)對結(jié)構(gòu)的聲學(xué)性能研究卻比較少，另外，而實(shí)際結(jié)構(gòu)邊界約束往往比較復(fù)雜，如船舶甲板結(jié)構(gòu)的邊界既不是自由支持，也不是剛性固定，而是介于自由支持和彈性固定之間的情況，因此，本文對彈性邊界條件下彈簧基礎(chǔ)加筋板聲學(xué)性能進(jìn)行研究。

1 彈性邊界條件下彈性基礎(chǔ)加筋板聲輻射特性計(jì)算模型

考慮結(jié)構(gòu)與流體的耦合效應(yīng)，彈性邊界條件下彈性基礎(chǔ)加筋板在外力作用下有限元形式的運(yùn)動(dòng)方程為[8]

其中：[M]，[K]=[Ks]+[Kf]+[Kb]和[C]分別是總體質(zhì)量矩陣，總體剛度矩陣，總體阻尼矩陣。其中[Ks]為加筋板剛度矩陣dS為彈性基礎(chǔ)剛度矩陣，[N]為板結(jié)構(gòu)形函數(shù)矩陣，彈性基礎(chǔ)僅與垂向位移有關(guān)[9]，Γ為加筋板的邊界，[N(b)]為彈性邊界形函數(shù)，彈性邊界Kb包括旋轉(zhuǎn)剛度Kr和Z方向的平移剛度Kt。ω為激勵(lì)圓頻率，{F}為外載荷向量，{U}結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移向量為轉(zhuǎn)換矩陣，{P}為結(jié)構(gòu)表面聲壓向量。

結(jié)構(gòu)表面輻射聲壓和節(jié)點(diǎn)法向速度的關(guān)系為

式中：[Z]為聲阻抗矩陣，可由帶無限障板的板表面進(jìn)行瑞利積分求得，{vn}為結(jié)構(gòu)表面節(jié)點(diǎn)的方向速度向量。結(jié)構(gòu)表面節(jié)點(diǎn)法向速度向量{vn}與節(jié)點(diǎn)速度向量{v}之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

聯(lián)立式(1)－式(3)，未知結(jié)構(gòu)位移向量可用以下公式求得

一旦結(jié)構(gòu)位移向量求出，結(jié)構(gòu)表面聲壓和節(jié)點(diǎn)法向速度可有式(2)－式(3)求出。

結(jié)構(gòu)的輻射聲功率可以用結(jié)構(gòu)表面聲壓和節(jié)點(diǎn)法向速度表示，即

在某帶寬范圍內(nèi)輻射的總功率為其中f1和f2為起始頻率和終止頻率。

結(jié)構(gòu)表面法向速度均方值定義為

聲輻射效率為

式中：ρa(bǔ)為流體密度，ca為聲速，a為板長，b為板寬。

2 數(shù)值結(jié)果分析

圖1為工程中常見的加筋板結(jié)構(gòu)，選取如圖中所示的坐標(biāo)系，在計(jì)算中取板的尺寸為：板長a=0.8m，板寬b=0.6m，板厚h=0.01m，T型材尺寸為（單位：mm），L型材尺寸為20× 15× 4（單位：mm），材料為鋼,楊氏模量E=2.1×1011N/m2，泊松比ν=0.3，密度為ρ=7800kg/m3。Kf為彈性基礎(chǔ)剛度，Kt為z方向邊界支持剛度，Kr為邊界旋轉(zhuǎn)剛度，不同的邊界旋轉(zhuǎn)剛度和邊界支持剛度的組合可以表示相應(yīng)的邊界條件。結(jié)構(gòu)阻尼比取值1%，流體介質(zhì)為空氣，密度ρa(bǔ)=1.21kg/m3，聲速為ca=343m/s，參考聲功率10-12W，單位簡諧力作用在加筋板的中心位置。

圖1 具有彈性邊界加筋板模型

2.1 模型驗(yàn)證

下面分兩步驗(yàn)證本文計(jì)算模型的精確度，首先通過計(jì)算彈性邊界和彈性基礎(chǔ)條件下板的固有頻率來驗(yàn)證彈性邊界剛度和彈性基礎(chǔ)剛度的精度，再通過計(jì)算矩形板輻射聲功率特性驗(yàn)證計(jì)算模型的可靠性。

2.1.1 驗(yàn)證彈性邊界條件和彈性基礎(chǔ)條件下板固有頻率

令式（1）中等式右邊等于零可求出加筋板在真空中的固有頻率。為計(jì)算C-F-F-F邊界條件且x=a和y=a邊界處分別具有平移約束剛度和旋轉(zhuǎn)約束剛度方形板[12]，將本文計(jì)算模型中T型材和L型材取為微小值（下同），y=0邊界處取支持剛度和旋轉(zhuǎn)剛度為無窮大表示剛性固定邊界，x=a處的平移約束剛度1a3=100，y=a處的旋轉(zhuǎn)約束剛度分別取b1a=10和b1a=100，其中x1=Kt/D，b1=Kr/D，D表示板的彎曲剛度，計(jì)算時(shí)網(wǎng)格為48×48，計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[12]比較見表1，可以看出結(jié)果非常接近。

表1 C-F-F-F邊界約束且x=a和y=a邊界處的分別具有平移約束剛度和旋轉(zhuǎn)約束剛度方形板的頻率參數(shù)，kx1a3=100

彈性地基板[13]，板長a=1 m，板寬b=1.2m，板厚h=0.02m，楊氏模量E=7.2×1010N/m2，泊松比ν=0.3，密度為ρ=2800kg/m3。Kf=5.5N/m3，計(jì)算時(shí)四周邊界處支持剛度Kt和旋轉(zhuǎn)剛度Kr取為無窮大表示剛性固定邊界，計(jì)算時(shí)網(wǎng)格為48×48，計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[13]比較見表1，可以看出結(jié)果相差較小。

表2 四周剛性固定彈性地基矩形平板的前5階頻率/Hz

一四邊剛性固定的鋼板[14（]a=b=1m，h=0.025m），單位簡諧力作用在板的中點(diǎn)。計(jì)算時(shí)四周邊界處支持剛度Kt和旋轉(zhuǎn)剛度Kr取為無窮大表示剛性固定邊界，Kf=0N/m3，計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[14]比較見圖2?？梢钥闯鼋Y(jié)果非常接近。

2.2 邊界條件對加筋板振動(dòng)特性的影響

為方便討論，加筋板四周邊界采用相同的約束且彈性基礎(chǔ)剛度系數(shù)Kf=0N/m3。圖3為加筋板固有頻率隨邊界支持剛度和邊界旋轉(zhuǎn)剛度變化（或自由邊界—簡支邊界—?jiǎng)傂怨潭ǎ┣€，從下到上依次是前10階的固有頻率，從圖中可以看出存在固有頻率急劇增加的2個(gè)階段，第1個(gè)階段：邊界支持剛度從Kt=1×106Pa變化到Kt=1×109Pa，邊界支持剛度對高階頻率的影響較大，而對低階頻率的影響較小，彈性模量（彎曲剛度）增加（減?。r(shí)，第1階段所對應(yīng)的邊界支持剛度也近似線性增加（減?。▓D4（a）），故產(chǎn)生第1個(gè)階段的原因是，與加筋板彎曲剛度相比，邊界支持剛度足夠大時(shí)（約Kt=1×106Pa）能夠限制加筋板邊界節(jié)點(diǎn)的垂向位移，邊界支持剛度增大時(shí)，結(jié)構(gòu)的剛體位移和邊界節(jié)點(diǎn)位移逐漸變小，當(dāng)Kt=1×109Pa時(shí)，結(jié)構(gòu)模態(tài)變?yōu)樗闹苓吔缥灰萍s為零的彎曲振動(dòng)模態(tài)（圖5），此時(shí)即使再增大邊界支持剛度，結(jié)構(gòu)模態(tài)也將不會(huì)改變；第2個(gè)階段：邊界旋轉(zhuǎn)剛度從Kr=1×105N/rad 變化到Kr=1×108N/rad，加筋板的固有頻率也會(huì)有所增加，但沒有第1階段增加的幅度大，各階頻率變化基本相同，彈性模量增加（減?。r(shí)，第2階段所對應(yīng)的邊界旋轉(zhuǎn)剛度也近似線性增加（減?。▓D4（b）），故產(chǎn)生第2個(gè)階段的原因是，與加筋板彎曲剛度相比，邊界旋轉(zhuǎn)剛度足夠大（Kr=1×105N/rad），能夠限制彎曲振動(dòng)模態(tài)的邊界轉(zhuǎn)動(dòng)，邊界旋轉(zhuǎn)剛度增大時(shí)，結(jié)構(gòu)模態(tài)邊界的轉(zhuǎn)角逐漸變小，當(dāng)Kr=1×108N/rad時(shí)，結(jié)構(gòu)模態(tài)為四周邊界轉(zhuǎn)角約為零的彎曲振動(dòng)模態(tài)，此時(shí)再增大邊界旋轉(zhuǎn)剛度，結(jié)構(gòu)模態(tài)將不會(huì)改變。在其他邊界支持剛度和邊界旋轉(zhuǎn)剛度范圍內(nèi)，加筋板的固有頻率基本不變。

2.1.2 驗(yàn)證矩形板輻射聲功率

圖2 與文獻(xiàn)[14]矩形板輻射聲功率對比

圖3 邊界支持剛度和邊界旋轉(zhuǎn)剛度不同時(shí)加筋板前10階固有頻率變化曲線

當(dāng)邊界支持剛度較小時(shí)，為避免剛體位移的影響，以邊界支持剛度取不同的值時(shí)加筋板的第7階模態(tài)為例來具體說明邊界支持剛度對加筋板模態(tài)的影響，如圖5所示（其他階次變化類似不再贅述），從圖中可以看出邊界支持剛度增加時(shí)，加筋板的模態(tài)發(fā)生了明顯變化，主要原因是邊界支持剛度的增加限制了邊界節(jié)點(diǎn)位移，與圖3加筋板頻率突變階段相對應(yīng)，在此階段邊界支持剛度對結(jié)構(gòu)模態(tài)有較大影響。

圖4 不同彈性模量時(shí)加筋板固有頻率增加階段所對應(yīng)

圖5 不同邊界支持剛度時(shí)加筋板的第7階模態(tài)

當(dāng)邊界支持剛度足夠大時(shí)，增加邊界旋轉(zhuǎn)剛度，此時(shí)結(jié)構(gòu)模態(tài)因變化較小不易觀察，為了清晰地描述邊界旋轉(zhuǎn)剛度對加筋板模態(tài)的影響，以y=b/2時(shí)加筋板的線模態(tài)為例具體說明邊界旋轉(zhuǎn)剛度對模態(tài)的影響。圖6為邊界旋轉(zhuǎn)剛度取不同的值時(shí)加筋板的前兩階模態(tài)，從圖中可以看出邊界旋轉(zhuǎn)剛度增加時(shí)（箭頭方向表示邊界旋轉(zhuǎn)剛度增大），加筋板模態(tài)基本不變，僅模態(tài)兩邊的“坡度”略變小。由此可見，支持邊界剛度比旋轉(zhuǎn)邊界剛度對結(jié)構(gòu)模態(tài)的影響更大。

2.3 結(jié)構(gòu)參數(shù)對加筋板輻射聲功率特性的影響

2.3.1 邊界支持剛度的影響

圖6 在y=b/2處加筋板的模態(tài)

板結(jié)構(gòu)輻射聲功率與結(jié)構(gòu)表面各點(diǎn)的振動(dòng)幅值和振動(dòng)速度的分布有關(guān)，而結(jié)構(gòu)輻射效率反映了結(jié)構(gòu)表面法向振速均方相同時(shí)各種速度分布輻射聲功率的能力[15]，因此可以用各個(gè)頻段內(nèi)結(jié)構(gòu)表面的法向振動(dòng)均方值和結(jié)構(gòu)輻射效率來解釋結(jié)構(gòu)的輻射聲功率變化，當(dāng)彈性基礎(chǔ)剛度為Kf=0N/m3、邊界旋轉(zhuǎn)剛度Kr=0N/rad時(shí)，不同邊界支持剛度時(shí)加筋板表面振動(dòng)速度均方值曲線和聲輻射曲線見圖7。隨著邊界支持剛度的增加，低頻時(shí)加筋板振動(dòng)均方速度減小（圖7（a）），低頻聲輻射效率基本不變（圖7（b）），所以低頻輻射聲功率有所減?。▓D7（c））；中高頻的振動(dòng)均方速度基本不變，聲輻射效率明顯增加，從而輻射聲功率增大，結(jié)構(gòu)總輻射聲功率增加（圖7（d）），這主要是因?yàn)楫?dāng)邊界支持剛度較小時(shí)，加筋板結(jié)構(gòu)可近似為自由板，其輻射效率很低[16]，當(dāng)支持剛度增大時(shí)，聲輻射效率會(huì)明顯增加，而邊界支持剛度對整個(gè)加筋板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)幅值影響較?。▓D7（a）），即邊界支持剛度增加時(shí)，聲輻射效率的增加引起結(jié)構(gòu)輻射聲功率增加。所以在結(jié)構(gòu)噪聲控制時(shí)，應(yīng)盡量控制邊界支持剛度，“軟”邊界可以減小結(jié)構(gòu)輻射效率。

2.3.2 邊界旋轉(zhuǎn)剛度的影響

當(dāng)彈性基礎(chǔ)剛度Kf=0N/m3、邊界支持剛度Kt=1×1015Pa時(shí)，不同邊界旋轉(zhuǎn)剛度時(shí)加筋板表面振動(dòng)速度均方值曲線和聲輻射曲線見圖8，在圖中有個(gè)明顯的特征：隨著邊界旋轉(zhuǎn)剛度的增加，加筋板振動(dòng)均方速度曲線與結(jié)構(gòu)輻射聲功率曲線有相同的變化趨勢（圖8（a）和圖8（c）），這主要是因?yàn)檫吔缧D(zhuǎn)剛度對加筋板聲輻射效率影響較?。▓D8（b）），此時(shí)對加筋板輻射聲功率起主要作用的是結(jié)構(gòu)表面的均方速度。隨著邊界旋轉(zhuǎn)剛度的增加，加筋板固有頻率會(huì)略增加，加筋板振動(dòng)均方速度曲線略向高頻移動(dòng)（圖8（a）），在恒定頻帶內(nèi)（300 Hz）加筋板的聲輻射功率見圖8（d），從圖中可以看出，邊界旋轉(zhuǎn)剛度對輻射總聲功率影響不大。

2.3.3 彈性基礎(chǔ)剛度的影響

不同彈性基礎(chǔ)剛度、彈性剛度作用范圍、彈性基礎(chǔ)位置時(shí)四周剛性固定加筋板表面振動(dòng)速度均方值曲線和聲輻射曲線見圖9－圖11。

圖7 不同邊界支持剛度加筋板振動(dòng)均方速度與聲輻射

從圖中可以看出不同彈性基礎(chǔ)（剛度，范圍或位置）時(shí)加筋板的輻射效率變化較小，即四周固定約束（或簡支約束）的加筋板，如再施加額外的約束（如增加彈性基礎(chǔ)剛度等），加筋板的輻射效率變化較小。加筋板結(jié)構(gòu)表面振動(dòng)速度均方值曲線與加筋板聲功率曲線變化趨勢基本相同，此時(shí)對加筋板輻射聲功率起主要作用的是結(jié)構(gòu)表面的振動(dòng)速度均方值。

隨著彈性基礎(chǔ)剛度的增加，加筋板結(jié)構(gòu)表面振動(dòng)速度均方值曲線向高頻移動(dòng)（圖9（a））。這是因?yàn)閺椥曰A(chǔ)的增加相當(dāng)于增加了結(jié)構(gòu)剛度，使結(jié)構(gòu)的共振頻率增加，特別是第1階頻率增加明顯，在低頻時(shí)加筋板表面均方速度被抑制，而中高頻時(shí)加筋板表面均方速度基本不變，故低頻時(shí)加筋板輻射聲功率明顯降低（圖9（d）），如與彈性基礎(chǔ)剛度Kf=0 N/m3時(shí)加筋板輻射聲功率曲線相比，當(dāng)Kf=2.5×105N/m3時(shí)，在 0～300 Hz、300 Hz～600 Hz頻率段內(nèi)輻射聲功率分別下降了38.4%、44.5%，600 Hz～1 200 Hz頻率段內(nèi)輻射聲功率基本相同，而在1 200 Hz以后頻率段輻射聲功率變化不大與彈性基礎(chǔ)（Kf=5×109N/m3）范圍等于加筋板面積時(shí)相比，當(dāng)彈性基礎(chǔ)范圍減小一半時(shí)，此時(shí)加筋板共振頻率明顯減小且振動(dòng)峰值增多（圖10（a）），在低頻時(shí)加筋板表面速度均方速度顯著增加，這是由于加筋板的相當(dāng)剛度減小，并且不對稱的彈性基礎(chǔ)約束激發(fā)出較多的共振模態(tài)，因此低頻時(shí)加筋板輻射聲功率明顯增加（圖10（c）），如在0～400 Hz、400 Hz～800 Hz頻率段內(nèi)輻射聲功率分別增加了27.5%、46.9%。800 Hz以后頻率段輻射聲功率幾乎沒有變化（圖10（d））。

圖8 不同邊界旋轉(zhuǎn)剛度加筋板振動(dòng)均方速度與聲輻射

圖9 不同彈性基礎(chǔ)剛度加筋板振動(dòng)均方速度與聲輻射

彈性基礎(chǔ)（Kf=5×109N/m3）分別位于y=b/4和y=b/2時(shí)（注：此時(shí)彈性基礎(chǔ)范圍僅為一條直線），在位置y=b/4時(shí)由于彈性基礎(chǔ)約束的不對稱，在低頻時(shí)加筋板被激發(fā)出較多的共振模態(tài)（圖11（a）），此時(shí)低頻處加筋板振動(dòng)峰值增多，加筋板被激發(fā)出較多的輻射聲功率峰值，與局部彈性基礎(chǔ)在y=b/2相比，在位置y=b/4時(shí)0～300 Hz，300 Hz～600 Hz、600 Hz～900 Hz頻率段內(nèi)加筋板輻射聲功率分別增大了13.8%，4%，16%。900 Hz以后頻率段輻射聲功率幾乎沒有變化（圖11（d））。

圖10 不同彈性剛度作用范圍加筋板加筋板振動(dòng)均方速度與聲輻射

3 結(jié)語

本文建立了彈性邊界條件下彈性基礎(chǔ)加筋板輻射聲功率模型，研究了邊界條件和彈性基礎(chǔ)對加筋板振動(dòng)特性和輻射聲功率特性的影響，主要結(jié)論如下：

（1）從自由邊界—簡支邊界—?jiǎng)傂怨潭ㄟ吔邕^渡過程中，存在兩個(gè)固有頻率急劇增加的階段，在實(shí)際結(jié)構(gòu)振動(dòng)計(jì)算時(shí)要特別注意，以免引起大的誤差。另外邊界支持剛度會(huì)引起振動(dòng)模態(tài)的改變，而邊界旋轉(zhuǎn)剛度對振動(dòng)模態(tài)的影響較小。

（2）邊界支持剛度是影響結(jié)構(gòu)輻射效率的重要參數(shù)，“軟”邊界有助于降低結(jié)構(gòu)輻射效率。

（3）當(dāng)支持邊界足夠大時(shí)，增加結(jié)構(gòu)的邊界旋轉(zhuǎn)剛度，結(jié)構(gòu)輻射聲功率變化不大。

（4）當(dāng)支持邊界足夠大時(shí)，增加彈性基礎(chǔ)剛度時(shí)，加筋板的輻射效率變化較小，此時(shí)可以增加彈性基礎(chǔ)的剛度以減小低頻結(jié)構(gòu)表面節(jié)點(diǎn)速度均方值，降低結(jié)構(gòu)低頻輻射噪聲，同時(shí)彈性范圍、彈性位置等可能影響輻射聲功率減小的幅度。

圖11 不同彈性基礎(chǔ)位置加筋板振動(dòng)均方速度與聲輻射