鄒俊峻

(長(zhǎng)安大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 陜西 西安 710064)

在大學(xué)物理教材中,利用法拉第電磁感應(yīng)定律求解變化磁場(chǎng)中導(dǎo)體線(xiàn)圈上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的例子很多,如長(zhǎng)直交變電流磁場(chǎng)中矩形線(xiàn)圈上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，變化的均勻磁場(chǎng)中矩形線(xiàn)圈和圓形線(xiàn)圈上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)[1～3]．但是,對(duì)于長(zhǎng)直交變電流磁場(chǎng)中圓形線(xiàn)圈上的電磁感應(yīng)問(wèn)題，很少有人求解過(guò)．在本文中,利用磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理、法拉第電磁感應(yīng)定律和高等數(shù)學(xué)知識(shí),對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了討論,計(jì)算了導(dǎo)線(xiàn)與線(xiàn)圈圓心之間的距離大于線(xiàn)圈半徑時(shí)線(xiàn)圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流．

1 圓線(xiàn)圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

如圖1所示,已知無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)AB中通有交變電流i(t)=I0sinωt，半徑為R的平面圓形線(xiàn)圈與長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)AB共面,導(dǎo)線(xiàn)與線(xiàn)圈圓心之間的距離為d，且有d>R.線(xiàn)圈處在導(dǎo)線(xiàn)AB的右邊,線(xiàn)圈平面內(nèi)磁場(chǎng)非均均分布,但方向總是相同．建立如圖所示坐標(biāo)系,在(r,θ)處取面積元dS=rdrdθ，由安培環(huán)路定理可得：長(zhǎng)直交變電流i(t)在dS處所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

(1)

方向垂直紙面向里．穿過(guò)dS的磁通為

(2)

圖1 圓形線(xiàn)圈平面的磁通(d>R)

則穿過(guò)圓形線(xiàn)圈的總磁通為

(3)

利用殘數(shù)定理[4]可以求解函數(shù)I的積分,令z=eiθ,得

(4)

令

且f(z)的分母有兩個(gè)一階零點(diǎn)

和

(5)

因此式(4)的積分為

(6)

將式(6)代入式(3),得穿過(guò)圓形線(xiàn)圈平面的總磁通為

(7)

由式(7)可知:載流直線(xiàn)和圓線(xiàn)圈之間的互感系數(shù)M為

(8)

由此可見(jiàn)，互感系數(shù)M只與它們之間的相對(duì)位置、圓線(xiàn)圈的尺寸以及介質(zhì)有關(guān)，與長(zhǎng)直交變電流大小無(wú)關(guān)．

由法拉第電磁感應(yīng)定律可得圓形線(xiàn)圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

-Emcosωt

(9)

2 圓線(xiàn)圈中的感應(yīng)電流

假設(shè)圓線(xiàn)圈的自感系數(shù)為L(zhǎng),等效電阻為r，感應(yīng)電流為I(t),則圓線(xiàn)圈的等效電路如圖2所示.

圖2 圓形線(xiàn)圈平面的等效電路

由歐姆定律可得

(10)

即

(11)

式(11)是一階線(xiàn)性非齊次微分方程[5],為了求其解,先求解一階線(xiàn)性齊次微分方程

(12)

得

(13)

再令

(14)

代入式(11),化簡(jiǎn)可得

(15)

利用積分公式[6]

(16)

可得式(15)的解為

(17)

(18)

3 結(jié)論

綜上所述, 本文計(jì)算了長(zhǎng)直交變電流在共面圓形線(xiàn)圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流．利用磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理、法拉第電磁感應(yīng)定律等物理原理，以及殘數(shù)定理、一階線(xiàn)性非齊次微分方程等高等數(shù)學(xué)知識(shí),詳細(xì)推導(dǎo)了導(dǎo)線(xiàn)與線(xiàn)圈圓心之間的距離大于線(xiàn)圈半徑時(shí)圓形線(xiàn)圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流，并得到了他們的解析表達(dá)式．希望本文可以為教師和同學(xué)們提供一些有用的參考,有利于同學(xué)們更好地掌握感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流的求解方法以及高等數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)算．