■北京市第十二中學(xué) 高慧明

一、離散型隨機(jī)變量的分布列

例12015年,我國(guó)科學(xué)家屠呦呦教授由于在發(fā)現(xiàn)青蒿素和治療瘧疾的療法上的貢獻(xiàn)獲得諾貝爾醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)。以青蒿素類藥物為主的聯(lián)合療法已經(jīng)成為世界衛(wèi)生組織推薦的抗瘧疾標(biāo)準(zhǔn)療法。目前,國(guó)內(nèi)青蒿人工種植發(fā)展迅速。調(diào)查表明,人工種植的青蒿的長(zhǎng)勢(shì)與海拔、土壤酸堿度、空氣濕度的指標(biāo)有極強(qiáng)的相關(guān)性,現(xiàn)將這三項(xiàng)指標(biāo)分別記為x,y,z,并對(duì)它們進(jìn)行量化:0表示不合格,1表示臨界合格,2表示合格,再用綜合指標(biāo)ω=x+y+z的值評(píng)定人工種植的青蒿的長(zhǎng)勢(shì)等級(jí):若ω≥4,則長(zhǎng)勢(shì)為一級(jí);若2≤ω≤3,則長(zhǎng)勢(shì)為二級(jí);若0≤ω≤1,則長(zhǎng)勢(shì)為三級(jí)。為了了解目前人工種植的青蒿的長(zhǎng)勢(shì)情況,研究人員隨機(jī)抽取了10塊青蒿人工種植地,得到表1中的結(jié)果:

表1

(1)在這10塊青蒿人工種植地中任取兩地,求這兩地的空氣濕度指標(biāo)z相同的概率;

(2)從長(zhǎng)勢(shì)等級(jí)是一級(jí)的人工種植地中任取一塊,其綜合指標(biāo)為m,從長(zhǎng)勢(shì)等級(jí)不是一級(jí)的人工種植地中任取一塊,其綜合指標(biāo)為n,記隨機(jī)變量X=m-n,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望。

審題思路：(1)對(duì)事件進(jìn)行分解→求出從10塊地中任取兩塊的方法總數(shù)→求出空氣濕度指標(biāo)相同的方法總數(shù)→利用古典概型求概率。

(2)確定隨機(jī)變量X的所有取值→計(jì)算X取各個(gè)值的概率→寫分布列→求期望。

規(guī)范解答：(1)由表可知:空氣濕度指標(biāo)為0的有A1;空氣濕度指標(biāo)為1的有A2,A3,A5,A8,A9,A10;空氣濕度指標(biāo)為2的有A4,A6,A7。所以空氣濕度指標(biāo)z相同的概率為

(2)計(jì)算10塊青蒿人工種植地的綜合指標(biāo),可得表2:

表2

其中長(zhǎng)勢(shì)等級(jí)是一級(jí)的(ω≥4)有A2,A3,A4,A6,A7,A9,共6個(gè),長(zhǎng)勢(shì)等級(jí)不是一級(jí)的(ω＜4)有A1,A5,A8,A10,共4個(gè)。

所以X的分布列為表3:

表3

答題模板：第一步,定元:根據(jù)已知條件確定離散型隨機(jī)變量的取值。

第二步,定性:明確每個(gè)隨機(jī)變量取值所對(duì)應(yīng)的事件。

第三步,定型:確定事件的概率模型和計(jì)算公式。

第四步,計(jì)算:計(jì)算隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率。

第五步,列表:列出分布列。

第六步,求解:根據(jù)公式求數(shù)學(xué)期望。

評(píng)分細(xì)則：(1)列出空氣濕度相同的情況給2分;計(jì)算概率時(shí)只要式子正確給2分。

(2)列出長(zhǎng)勢(shì)等級(jí)的給2分,只要結(jié)果正確無過程的也不扣分;計(jì)算概率的式子正確給3分;正確寫出分布列給1分。

二、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

例2在平面直角坐標(biāo)系x O y中,已知橢圓的離心率為在橢圓C上。

(1)求橢圓C的方程。

審題思路：(1)由橢圓C上的點(diǎn)滿足條件→得到a,b的關(guān)系式用基本量法求得橢圓C的方程。

規(guī)范解答：(1)由題意知又,解得a2=4,b2=1。所以橢圓C的方程為

②設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)。

將y=k x+m代入橢圓E的方程,可得(1+4k2)x2+8k m x+4m2-16=0。

因?yàn)橹本€y=k x+m與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,m),所以

答題模板：第一步,求圓錐曲線方程:根據(jù)基本量法確定圓錐曲線的方程。

第二步,聯(lián)立消元:將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立得到方程A x2+B x+C=0,然后研究判別式,利用根與系數(shù)的關(guān)系。

第三步,找關(guān)系:從題設(shè)中尋求變量的等量或不等關(guān)系。

第四步,建函數(shù):對(duì)于范圍最值類問題,要建立關(guān)于目標(biāo)變量的函數(shù)關(guān)系。

第五步,得范圍:通過求解函數(shù)值域或解不等式得到目標(biāo)變量的范圍或最值,要注意變量條件的制約,檢查最值取得的條件。

評(píng)分細(xì)則：(1)由a2-c2=b2直接得b=1,扣1分。

三、解析幾何中的探索性問題

例3已知定點(diǎn)C(-1,0)及橢圓x2+3y2=5,過點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)。

審題思路：(Ⅰ)設(shè)A B的方程y=k(x+1)→利用待定系數(shù)法求k→寫出方程。

規(guī)范解答：(Ⅰ)依題意知直線A B的斜率存在,設(shè)直線A B的方程為y=k(x+1),將y=k(x+1)代入x2+3y2=5,消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0。

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意可知

(2)當(dāng)直線A B與x軸垂直時(shí),此時(shí)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為當(dāng)

答題模板：第一步,先假定:假設(shè)結(jié)論成立。

第二步,再推理:以假設(shè)結(jié)論成立為條件,進(jìn)行推理求解。

第三步,下結(jié)論:若推出合理結(jié)果,經(jīng)驗(yàn)證成立則肯定假設(shè);若推出矛盾則否定假設(shè)。

第四步,再回顧:查看關(guān)鍵點(diǎn),易錯(cuò)點(diǎn)(特殊情況、隱含條件等),審視解題規(guī)范性。

評(píng)分細(xì)則：(1)不考慮直線A B斜率不存在的情況扣1分。

(2)不驗(yàn)證Δ＞0,扣1分。

(3)直線A B的方程寫成斜截式同樣給分。

(4)沒有假設(shè)存在點(diǎn)M不扣分。