王立新

關(guān)于小學(xué)平面圖形面積教學(xué)，我對北師大版教材從教材內(nèi)容、課標(biāo)要求、教學(xué)方法、直觀模型四個維度進(jìn)行了梳理，發(fā)現(xiàn)：分別在三、五、六年級分三個年段完成由直邊到曲邊的平面圖形面積教學(xué)。特別是在三年級第二學(xué)期學(xué)生解決長正方形面積之后，要經(jīng)過一年的時間，到五年級第二學(xué)期再來研究其他平面圖形的面積問題。這樣的內(nèi)容安排給教學(xué)帶來一個問題：教師應(yīng)該樹立怎樣的系統(tǒng)教學(xué)理念，使學(xué)生減少由于時間問題造成的認(rèn)知斷層，從而幫助學(xué)生建立有系統(tǒng)、有層次的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，更好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？

我閱讀了關(guān)于布魯納學(xué)科理論方面的研究，發(fā)現(xiàn)了布魯納學(xué)科結(jié)構(gòu)理論。布魯納認(rèn)為“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)”。學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)是指學(xué)科的基本概念和原理之間的那種具有內(nèi)在聯(lián)系并起普遍作用的知識。在各個學(xué)科或各個課題的學(xué)習(xí)中，兒童的認(rèn)知一般都要經(jīng)歷“行為把握—圖像把握—符號把握”這樣一個發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程，由簡單到復(fù)雜，螺旋上升。布魯納提倡將學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)放在編寫教材和設(shè)計課程的中心地位。布魯納的結(jié)構(gòu)主義教學(xué)觀和發(fā)現(xiàn)法教學(xué)模式是其教學(xué)思想的核心。

我們必須以辯證的態(tài)度審視學(xué)科結(jié)構(gòu)主義理論和發(fā)現(xiàn)法教學(xué)模式的優(yōu)缺點。我認(rèn)為，教學(xué)結(jié)構(gòu)化應(yīng)該包括兩個維度：教材維度——把相同內(nèi)容、相同結(jié)構(gòu)、體現(xiàn)相同思想方法的零散的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合（內(nèi)容、方法），即教材路徑；學(xué)生維度——關(guān)注學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，即學(xué)習(xí)路徑。平面圖形面積教學(xué)有效性學(xué)習(xí)的途徑之一，即將教材的教學(xué)路徑和學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑努力做到有效融合。為此，教材的梳理和學(xué)情的分析必不可少。

一、教材梳理與學(xué)情分析

1.梳理基于教材的教學(xué)路徑

小學(xué)生學(xué)習(xí)平面圖形一般通過兩個維度，一是形狀，二是大小（周長和面積）。

就圖形的形狀而言，教材編排上，從低段、中段到高段，經(jīng)歷了從整體到局部再到整體的過程。一上整體認(rèn)識立體圖形，一下通過將立體圖形的面“留在紙上”的活動，從整體上認(rèn)識平面圖形的形狀。四上認(rèn)識線段，四下通過觀察、畫一畫、折一折、量一量等操作活動進(jìn)一步探索三角形三邊及內(nèi)角的關(guān)系，六上認(rèn)識圓，六下學(xué)習(xí)圓柱、圓錐，又回到了體——經(jīng)歷了從立體到平面再到立體的過程。

就圖形的大小而言，三上學(xué)習(xí)長方形、正方形的周長，三下學(xué)習(xí)長方形、正方形的面積，五下利用轉(zhuǎn)化的思想，推導(dǎo)平行四邊形的面積公式，同時通過兩個形狀完全相同的三角形拼成平行四邊形的過程，用舊知解決三角形面積的新問題，梯形面積公式的推導(dǎo)亦是如此。學(xué)生在中段學(xué)習(xí)長正方形面積時，借助面積單位的產(chǎn)生，通過數(shù)面積單位的個數(shù)，解決了長方形、正方形的面積問題。到了高段，學(xué)生開始學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形面積，甚至到了六年級，學(xué)生學(xué)習(xí)圓面積時，更多地注重了數(shù)學(xué)方法轉(zhuǎn)化的運用，而對于學(xué)生已經(jīng)積累的數(shù)面積單位的經(jīng)驗運用得不夠，學(xué)習(xí)過程中思維跳躍性顯著。如何利用學(xué)生已經(jīng)建立的數(shù)面積單位的結(jié)構(gòu)化意識幫助學(xué)生突破難點，自主構(gòu)建轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法，值得研究。

我梳理了北師大版教材，五年級下學(xué)期利用5課時完成平面圖形的面積教學(xué)，即比較圖形的面積、認(rèn)識高、平行四邊形的面積、三角形面積、梯形面積。教材呈現(xiàn)出的教學(xué)路徑為：整體感知轉(zhuǎn)化思想（數(shù)方格、重疊、平移、旋轉(zhuǎn)、割補）——集中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)關(guān)鍵元素：底和高——三次轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用（平行四邊形、三角形、梯形）?？吹浇滩奶峁┑穆窂?，我想到兩個問題：（1）學(xué)生從已具備的長方形、正方形面積的知識經(jīng)驗到探究平行四邊形的面積，支撐他行走的依據(jù)是什么？（2）測量面積大小的方法核心有兩個。一是確定面積單位，二是數(shù)面積單位的個數(shù)。這也是探索平面圖形面積的一種結(jié)構(gòu)化。學(xué)生在經(jīng)歷學(xué)習(xí)長方形、正方形面積以后是否已具備這種結(jié)構(gòu)化？我認(rèn)為：學(xué)生是否具備這種結(jié)構(gòu)化是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他平面圖形的基礎(chǔ)。帶著這樣的一種思考，我進(jìn)行了學(xué)生調(diào)研。

2.梳理基于調(diào)研的學(xué)習(xí)路徑

分別選取海淀區(qū)第二實驗小學(xué)四、五年級各一個班的學(xué)生進(jìn)行調(diào)研。調(diào)研題目——四年級：長正方形面積的計算方法，你知道這樣計算的道理嗎？五年級：（1）長正方形面積的計算方法，你知道這樣計算的道理嗎？（2）你打算怎樣計算平行四邊形的面積？請寫出計算過程。

五年級比四年級多了一個題目，主要是想了解四年級、五年級的學(xué)生針對面積測量的結(jié)構(gòu)化是否存在差異，這種結(jié)構(gòu)化的缺失帶給五年級學(xué)生探究平行四邊形面積的障礙是什么。通過調(diào)研數(shù)據(jù)，可以看出學(xué)生探究平面圖形面積的學(xué)習(xí)路徑：學(xué)生在中段學(xué)習(xí)長方形、正方形面積之后，進(jìn)入高段進(jìn)一步學(xué)習(xí)平面圖形的面積時，近80%的學(xué)生具有轉(zhuǎn)化的思想，原因主要是長方形和平行四邊形的特征類似，而且長方形面積的計算方法學(xué)生是知道的。而學(xué)生學(xué)習(xí)本內(nèi)容的難點在于：（1）將平行四邊形轉(zhuǎn)化成怎樣的長方形更合理（分割法、添補法、割補法）。（2）學(xué)生關(guān)注不到轉(zhuǎn)化前后兩個圖形之間的關(guān)系。（3）還有的學(xué)生采用鄰邊相乘的辦法解決平行四邊形的面積問題，學(xué)生缺少面積度量的本質(zhì)思考。

二、尋找教材路徑與學(xué)習(xí)路徑的結(jié)合點

通過教材梳理和學(xué)情調(diào)研不難發(fā)現(xiàn)，教材提供的路徑與學(xué)習(xí)路徑的結(jié)合點，就是如何借助80%的學(xué)生已建立的轉(zhuǎn)化思想，在學(xué)生已具備的長方形、正方形面積經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，構(gòu)建適合學(xué)生學(xué)習(xí)的平面圖形面積問題的基本結(jié)構(gòu)，正如布魯納所談的那樣，一個能夠統(tǒng)領(lǐng)平面圖形面積問題解決的基本規(guī)律，能夠讓學(xué)生通過發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)法做到融會貫通。為此，我對5課時的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了結(jié)構(gòu)化處理。以長方形與平行四邊形類比學(xué)習(xí)為切入點，將平行四邊形、三角形、梯形面積問題解決中涉及相同的過程和方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)化，在學(xué)生已建立長方形、正方形面積經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，自主建構(gòu)利用轉(zhuǎn)化法以舊帶新解決平面圖形面積的思維結(jié)構(gòu)。將原來的5課時整合為3課時：1.以長方形與平行四邊形類比學(xué)習(xí)為切入點，整體感悟利用轉(zhuǎn)化法解決平面圖形面積問題的策略；2.三角形面積問題解決；3.梯形面積問題解決。

三、設(shè)計結(jié)合教材及學(xué)情的教學(xué)結(jié)構(gòu)

教學(xué)結(jié)構(gòu)分為四個部分。

一是回顧長正方形面積的計算方法，突出面積單位的作用。

二是創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實生活情境：平行四邊形的停車位如何計算面積？學(xué)生利用平行四邊形與長方形的相同特征，選取平行四邊形進(jìn)行研究。主要體現(xiàn)三種方法：1.使用面積單位度量。2.鄰邊相乘。3.通過分割、添補、割補法制造長方形。

三是針對方法深入探討：1.使用面積單位度量，存在局限性。2.鄰邊相乘，通過直觀模型驗證這種方法是錯誤的，同時進(jìn)一步與轉(zhuǎn)化方法進(jìn)行對比，鞏固轉(zhuǎn)化方法。3.針對學(xué)生制造出的三種不同的長方形，引導(dǎo)學(xué)生思考制造出的哪種長方形更合理，同時關(guān)注轉(zhuǎn)化前后圖形之間的關(guān)系。

四是轉(zhuǎn)化方法的進(jìn)一步應(yīng)用。同學(xué)之間交流轉(zhuǎn)化思想帶來的進(jìn)一步啟示，學(xué)生會受到啟發(fā)，聯(lián)想到正多邊形面積、圓面積是不是也可以通過轉(zhuǎn)化成已學(xué)習(xí)過的圖形進(jìn)行解決等。

四、體現(xiàn)平面圖形面積結(jié)構(gòu)化的教學(xué)設(shè)計

教學(xué)目標(biāo)：①度量是解決平面圖形面積大小最本質(zhì)的方法，通過經(jīng)歷數(shù)面積單位個數(shù)的活動，幫助學(xué)生建立結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)意識。②合理把握平面圖形面積知識的整體框架，并能系統(tǒng)地設(shè)計教學(xué)過程，通過分類、質(zhì)疑、探究等活動，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力、學(xué)習(xí)能力及問題解決能力。③站在學(xué)生的立場上設(shè)計教學(xué)活動及學(xué)生評價，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動力，培養(yǎng)團(tuán)隊意識，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

教學(xué)過程如下。

1.回顧長方形面積計算方法及算理

以邊長分別為3厘米、5厘米的長方形為例。小結(jié)：5×3=15（平方厘米）就是表示有15個1平方厘米的面積單位。設(shè)計意圖：度量是計算平面圖形面積大小最本質(zhì)的方法，單位是度量的標(biāo)準(zhǔn)，因此，回顧長方形面積的計算方法及算理是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的開始，也是解決平面圖形面積的歸宿。

2.創(chuàng)設(shè)情境

出示生活中平行四邊形車位，要計算平行四邊形的面積，你想怎樣研究？把思考過程記錄下來。

3.以組為單位匯報

匯總學(xué)生解決方案：數(shù)方格；鄰邊相乘；轉(zhuǎn)化。

借助面積單位解決問題，重點討論不滿一格如何處理。

利用鄰邊相乘，同學(xué)間進(jìn)行質(zhì)疑，利用直觀學(xué)具證明，將平行四邊形拉成長方形過程中長方形面積比平行四邊形面積多一條兒。

轉(zhuǎn)化成長方形。第一種：分割。第二種：添補。第三種：割補。

同學(xué)間充分討論：為什么要轉(zhuǎn)化成長方形？轉(zhuǎn)化成怎樣的長方形更合理？結(jié)論：平行四邊形與長方形特征相似；長方形面積計算方法同學(xué)們已經(jīng)掌握，可以以舊帶新。第一、第二種轉(zhuǎn)化不徹底，分別有新的圖形（三角形）面積不能解決。第三種最簡潔、最徹底。

4.每組都經(jīng)歷轉(zhuǎn)化過程（動手剪一剪，貼一貼）

思考：經(jīng)歷轉(zhuǎn)化過程，我們應(yīng)該關(guān)注什么？（平行四邊形的底相當(dāng)于長方形的長；平行四邊形的高相當(dāng)于長方形的寬；關(guān)注一下平行四邊形的高，在平行四邊形中找高；平行四邊形的面積等于長方形的面積）另外，教師出示平行四邊形另外一組對應(yīng)的底和高。設(shè)計意圖：通過深入探究，利用直觀手段使學(xué)生認(rèn)識到鄰邊相乘的錯誤想法，通過討論轉(zhuǎn)化成怎樣的長方形更合理，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注轉(zhuǎn)化前后兩個圖形之間的關(guān)系，感悟平面圖形面積問題解決的策略。在學(xué)生已建立長方形、正方形面積經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，自主建構(gòu)利用轉(zhuǎn)化法以舊帶新解決平面圖形面積的思維結(jié)構(gòu)。

5.轉(zhuǎn)化方法的應(yīng)用

小結(jié)：轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法給了你什么啟發(fā)？學(xué)生談到，想通過轉(zhuǎn)化法解決更多平面圖形的面積，如圓、正多邊形等。設(shè)計意圖：通過平面圖形面積教學(xué)的結(jié)構(gòu)化設(shè)計，使學(xué)生真正掌握了統(tǒng)領(lǐng)平面圖形問題解決策略的基本結(jié)構(gòu)，這樣就能更好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

如果教師能夠合理把握好數(shù)學(xué)知識的整體框架，并能結(jié)構(gòu)化地設(shè)計教學(xué)過程，最終學(xué)生得到的不僅是數(shù)學(xué)“知識鏈”，更多的是數(shù)學(xué)思維能力、學(xué)習(xí)能力的提升，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，思維走向自主建構(gòu)的結(jié)構(gòu)化，為終身發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

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（作者單位：北京市海淀區(qū)第二實驗小學(xué)）

責(zé)任編輯：肖佳曉

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