■王佩其

一、學(xué)習(xí)要點(diǎn)梳理

1.隨機(jī)抽樣

隨機(jī)抽樣包括簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣，三種方法雖然有所不同，但無(wú)論哪種抽樣，每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性都相等。

2.數(shù)據(jù)處理的常用圖表

（1）莖葉圖：當(dāng)我們收集的樣本數(shù)據(jù)不是很多，且又不是太分散時(shí)，可以用莖葉圖進(jìn)行處理，莖葉圖可以保留所有數(shù)據(jù)，而且可以隨時(shí)記錄數(shù)據(jù)。

（2）頻率分布表：當(dāng)數(shù)據(jù)較多且是一些特殊數(shù)據(jù)時(shí)，可以考慮列出頻率分布表，頻率分布表可以較清晰地看出數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系。

（3）頻率分布直方圖：有時(shí)數(shù)據(jù)較為復(fù)雜，要想從數(shù)據(jù)中獲得較為準(zhǔn)確的結(jié)果，僅靠一方面的分析還可能不理想，此時(shí)可以通過(guò)頻率分布表來(lái)繪制頻率分布直方圖，借助圖形產(chǎn)生結(jié)論。

（4）散點(diǎn)圖：對(duì)于附加條件的數(shù)據(jù)，可借助散點(diǎn)圖，利用基本函數(shù)的圖像來(lái)處理。

3.四種樣本數(shù)字特征的應(yīng)用

樣本的數(shù)字特征主要是指樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差（方差）。

眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，容易計(jì)算，但它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很少一部分信息，顯然對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽略使其無(wú)法客觀地反映總體特征。

中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，容易計(jì)算，它僅利用了數(shù)據(jù)中排在中間數(shù)據(jù)的信息，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)。

平均數(shù)與每一個(gè)樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，“越離群”的數(shù)據(jù)，對(duì)平均數(shù)的影響也越大，所以任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變，這是眾數(shù)、中位數(shù)都不具有的性質(zhì)。也正因?yàn)檫@個(gè)原因，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來(lái)，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低。

4.求線性回歸方程的方法

（1）回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法。兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提。

（2）散點(diǎn)圖是定義在具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量基礎(chǔ)上的，對(duì)于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點(diǎn)圖，在圖上看它們有無(wú)關(guān)系，關(guān)系的密切程度，然后再進(jìn)行相關(guān)的回歸分析。

（3）求回歸直線方程，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則求出的回歸直線方程毫無(wú)意義。求回歸直線方程通常用待定系數(shù)法。

二、基本題型分析

例1我國(guó)古代數(shù)學(xué)專(zhuān)著《九章算術(shù)》中有一衰分問(wèn)題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，則北鄉(xiāng)遣（ ）。

解：由題意可知，這是一個(gè)分層抽樣問(wèn)題，其中北鄉(xiāng)可抽取的人數(shù)為300×應(yīng)選B。

評(píng)注：本題屬于分層抽樣問(wèn)題，是高考中出現(xiàn)頻率最高的抽樣問(wèn)題。分層抽樣適用于總體中個(gè)體差異較大的情況，其解題思路如下：①求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量，即按該層所占總體的比例計(jì)算。②已知某層個(gè)體數(shù)量，求總體容量，即根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進(jìn)行計(jì)算。

例2為了解某校教師使用多媒體進(jìn)行教學(xué)的情況，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，從該校400名授課教師中抽取20名，調(diào)查了他們上學(xué)期使用多媒體進(jìn)行教學(xué)的次數(shù)，結(jié)果用莖葉圖表示如圖1所示。據(jù)此可估計(jì)該校上學(xué)期400名教師中，使用多媒體進(jìn)行教學(xué)次數(shù)在［16，30）內(nèi)的人數(shù)為 。

圖1

解：觀察莖葉圖，可知抽取的20名教師中使用多媒體教學(xué)次數(shù)在［16，30）內(nèi)的有8人，所以該區(qū)間段的頻率為，因此全校400名教師使用多媒體進(jìn)行教學(xué)次數(shù)在［16，30）內(nèi)的人數(shù)為400×0.4=160。

評(píng)注：莖葉圖便于數(shù)據(jù)的記錄和表示。由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，但當(dāng)樣本容量較大時(shí)，作圖較煩瑣。

例3一次科技知識(shí)競(jìng)賽，兩組學(xué)生的成績(jī)?nèi)绫?所示（滿分為100分）。

表1

已經(jīng)計(jì)算得知兩組成績(jī)的平均數(shù)都是80分，請(qǐng)根據(jù)你所學(xué)過(guò)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，進(jìn)一步判斷這兩個(gè)組在這次競(jìng)賽中的成績(jī)誰(shuí)優(yōu)誰(shuí)差，說(shuō)明理由。

解：甲組成績(jī)的眾數(shù)為90分，乙組成績(jī)的眾數(shù)為70分，從成績(jī)的眾數(shù)比較看，甲組的成績(jī)好一些。

由表中數(shù)據(jù)可知，兩組均有學(xué)生50人，兩組的平均數(shù)都是80分。利用方差公式容易得到s2甲=172，s2乙=256。因?yàn)閟2甲＜s2乙，所以甲組的成績(jī)比乙組的成績(jī)穩(wěn)定。

甲、乙兩組成績(jī)的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分，其中甲組成績(jī)不低于80分的有33人，乙組成績(jī)不低于80分的有26人，從這一角度來(lái)看甲組的成績(jī)較好。

從成績(jī)統(tǒng)計(jì)表來(lái)看，甲組的成績(jī)不低于90分的有20人，乙組的成績(jī)不低于90分的有24人，所以乙組成績(jī)集中在高分段的人數(shù)多，同時(shí)乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6。從這些角度來(lái)看，乙組的成績(jī)較好。

評(píng)注：在實(shí)際問(wèn)題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問(wèn)題，還要研究方差，方差描述了數(shù)據(jù)相對(duì)平均數(shù)的離散程度。在平均數(shù)相同的情況下，方差越大，離散程度越大，數(shù)據(jù)波動(dòng)性越大，穩(wěn)定性越差；方差越小，數(shù)據(jù)越集中，穩(wěn)定性越好。

例4某電子商務(wù)公司對(duì)10000名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者2018年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額（單位：萬(wàn)元）都在區(qū)間［0.3，0.9］內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖2所示。

圖2

（1）直方圖中的a=____。

（2）在這些購(gòu)物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間［0.5，0.9］內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為_(kāi)___。

解：（1）由頻率分布直方圖及頻率之和等于1，可得0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a×0.1=1，解得a=3。

（2）消費(fèi)金額在區(qū)間［0.5，0.9］內(nèi)的頻率為0.2×0.1+0.8×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6，所以消費(fèi)金額在區(qū)間［0.5，0.9］內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為0.6×10000=6000。

評(píng)注：頻率分布直方圖是高考考查的熱點(diǎn)。用樣本的頻率分布來(lái)估計(jì)總體分布的重點(diǎn)是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制以及用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，難點(diǎn)是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用。在計(jì)數(shù)和計(jì)算時(shí)一定要準(zhǔn)確，在繪制小矩形時(shí)寬窄要一致。通過(guò)頻率分布表和頻率分布直方圖可以對(duì)總體作出估計(jì)。