常照強(qiáng)，郭紅紅

(太原科技大學(xué) 馬克思主義學(xué)院，山西 太原 030024)

高度抽象的數(shù)學(xué)何以能夠表達(dá)世界的運(yùn)作方式？若不訴諸一個(gè)獨(dú)立于心物的柏拉圖世界(作為理性的根源與根據(jù))，我們似乎不太可能為數(shù)學(xué)提供任何外在的支持。然而，如果我們只能從數(shù)學(xué)自身的角度來(lái)支持?jǐn)?shù)學(xué)，那么很多人就會(huì)拒斥數(shù)學(xué)。我們?cè)摵稳ズ螐模?/p>

事實(shí)上，一旦對(duì)經(jīng)驗(yàn)取向的數(shù)學(xué)實(shí)踐抱有同情，人們大抵會(huì)遭遇這樣的尷尬與困惑，原因在于，他們大多采用人類學(xué)或經(jīng)驗(yàn)哲學(xué)的方法，追求數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)辯護(hù)，刻意規(guī)避數(shù)學(xué)形而上學(xué)的探究?？梢哉f(shuō)，維特根斯坦后期哲學(xué)對(duì)他們產(chǎn)生了重大的影響，使得他們與早期學(xué)者意趣相左。

不能說(shuō)，學(xué)界對(duì)上述困境無(wú)動(dòng)于衷。例如，林奇主張對(duì)維特根斯坦予以擴(kuò)展，進(jìn)行一種維氏外在主義的詮釋[1]。遺憾的是，這樣的詮釋在我們看來(lái)并不成功，因?yàn)槠渥罱K無(wú)非將數(shù)學(xué)歸結(jié)為“社會(huì)約定”或“人類的共同行為”，并沒(méi)有走向一條真正的外在主義之路，從而無(wú)法有效地回應(yīng)上述責(zé)難。幸運(yùn)的是，追尋平科克和麥蒂的數(shù)學(xué)自然主義軌跡，我們能夠走上一條后形而上學(xué)的數(shù)學(xué)實(shí)踐哲學(xué)之路，真正企及一種(語(yǔ)義的)外在主義的數(shù)學(xué)實(shí)踐進(jìn)路。

麥蒂試圖將人們的注意力由探討關(guān)于數(shù)學(xué)存在和真理等傳統(tǒng)形而上學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)移到關(guān)注數(shù)學(xué)實(shí)踐的方法論和客觀性上。這種“實(shí)踐轉(zhuǎn)向”理應(yīng)為數(shù)學(xué)哲學(xué)注入新的活力，但是鑒于麥蒂觀念的含糊性等原因，我們很難直接窺探到這樣的活力所在。為此，不妨借助剖析平科克的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想來(lái)對(duì)麥蒂的數(shù)學(xué)自然主義之初衷與數(shù)學(xué)深刻性觀念探究一二，進(jìn)而找到那條通往后形而上學(xué)的數(shù)學(xué)實(shí)踐哲學(xué)路徑。

類似于麥蒂，平科克力主將數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)踐三者結(jié)合起來(lái)予以探究，其理論顯現(xiàn)著一種張力：一方面其堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)概念的語(yǔ)義內(nèi)在主義，即“我們的數(shù)學(xué)概念貢獻(xiàn)了表征可以擁有的全部數(shù)學(xué)內(nèi)容，這涉及了語(yǔ)義的內(nèi)在主義假定：概念足以辨識(shí)出其指涉對(duì)象”，亦即“某一概念的內(nèi)容應(yīng)該完全地源自于該概念自身”[2]85。另一方面，其又聚焦數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展，倡導(dǎo)一種基于擴(kuò)展的認(rèn)識(shí)論(EBE)，即數(shù)學(xué)概念是由數(shù)學(xué)實(shí)踐進(jìn)化的歷史事實(shí)所決定的：在數(shù)學(xué)的歷史中，數(shù)學(xué)理論和觀念在更迭交替中發(fā)展，數(shù)學(xué)概念的內(nèi)容不過(guò)是這一歷史進(jìn)化的產(chǎn)物而已。由于該數(shù)學(xué)概念的內(nèi)容是處于主體意識(shí)之外的，這事實(shí)上暗含了一種語(yǔ)義的外在主義傾向[2]97。

按照艾莫夸特的建議，為消除上述張力，不妨干脆采取語(yǔ)義外在主義的立場(chǎng)。如此一來(lái)，在平科克的數(shù)學(xué)語(yǔ)義實(shí)在論框架中，促成了一次轉(zhuǎn)向，即由“語(yǔ)義的內(nèi)在主義”轉(zhuǎn)到“語(yǔ)義的外在主義”。

我們認(rèn)為，上述轉(zhuǎn)向能夠使得平科克的思想與麥蒂的數(shù)學(xué)自然主義立場(chǎng)相兼容，因?yàn)楹笳叻磳?duì)一種康德式的“雙層理論”，該雙層理論本質(zhì)上講是一種內(nèi)在主義。基于此，麥蒂的“數(shù)學(xué)深刻性”觀念與EBE所強(qiáng)調(diào)的歷史事實(shí)，本質(zhì)上并無(wú)二致。鑒于麥蒂的數(shù)學(xué)深刻性觀念的含糊性(1)麥蒂并未明確地闡述數(shù)學(xué)深刻性的含義，我們可將其理解為“所謂的數(shù)學(xué)實(shí)踐之下隱藏的客觀事實(shí)”。因?yàn)辂湹僬J(rèn)為在薄實(shí)在論或反實(shí)在論之下隱含著證據(jù)充分的客觀實(shí)在，可以粗略地稱之為數(shù)學(xué)深刻性的事實(shí)。(參見(jiàn)Penelope Maddy.Defending the Axioms: On the Philosophical Foundations of Set Theory.Oxford University Press.2011, 83)但是，麥蒂對(duì)數(shù)學(xué)深刻性的概念并沒(méi)有明確予以界定，對(duì)與該概念相關(guān)的事實(shí)之本質(zhì)，以及為何這些事實(shí)是客觀的等論題，都語(yǔ)焉不詳。，有必要訴諸EBE的理念，在外在主義的框架下對(duì)其加以闡發(fā)。

這樣，可企及一條后形而上學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐徑路，不再需要承諾任何數(shù)學(xué)對(duì)象的存在，既能規(guī)避形而上學(xué)的陷阱，又可以避免對(duì)維特根斯坦的“負(fù)資產(chǎn)”照單全收(2)后文我們將會(huì)看到，維特根斯坦的數(shù)學(xué)實(shí)踐哲學(xué)進(jìn)路將純數(shù)學(xué)斥之為“符號(hào)游戲”，排除在辯護(hù)之外。。我們認(rèn)為，這符合麥蒂的數(shù)學(xué)自然主義之初衷，即尋求一種后形而上學(xué)的數(shù)學(xué)實(shí)踐哲學(xué)。

一、麥蒂的數(shù)學(xué)自然主義之初衷

從《數(shù)學(xué)中的自然主義》到《第二哲學(xué)》，再到《捍衛(wèi)公理》，麥蒂一以貫之地為我們描繪了一幅關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)踐紛繁復(fù)雜的圖景，她對(duì)哲學(xué)中單向度的處理方式的揭示與批判，可謂不遺余力。她對(duì)哥德?tīng)柡途S特根斯坦極為關(guān)注，耗費(fèi)了大量篇幅來(lái)評(píng)論二者的思想。我們注意到，在對(duì)待二者思想的時(shí)候，麥蒂采取了非常審慎的態(tài)度。

首先來(lái)看哥德?tīng)?。在?shù)學(xué)哲學(xué)中存在這樣的論題,即如何斷定一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的獨(dú)立性，或者說(shuō)合法性，比如說(shuō)集合論存在以下問(wèn)題：

一些表述不能基于我們目前的公理而決定，這種情況是存在的；我們想知道它們是合法的數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？如果是的話，如何處理它們？[3]162

對(duì)于諸如此類的數(shù)學(xué)問(wèn)題，一般而言，哥德?tīng)柖紩?huì)訴諸于哲學(xué)的實(shí)在論。哥德?tīng)栒J(rèn)為數(shù)學(xué)的實(shí)踐暗示存在著一個(gè)與物的世界相平行的概念世界。這些概念自身形成了一個(gè)客觀的實(shí)在，我們不能創(chuàng)造或改變，只能知覺(jué)或描述。借助這一哲學(xué)實(shí)在論，人們能夠解決上述難題：

其(指哲學(xué)實(shí)在論)將告訴我們，這些獨(dú)立問(wèn)題是合法的——在集合的客觀世界中它們或真或假——并且通過(guò)找到強(qiáng)有力的新公理的備選者，并采納那些客觀為真者，它們將被解決。[3]162

但是，麥蒂提醒我們，哥德?tīng)査伎紨?shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，他的關(guān)注點(diǎn)往往與哲學(xué)實(shí)在論并無(wú)關(guān)聯(lián)，“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)實(shí)踐中的特定論題才會(huì)引起他的興趣”[4]。事實(shí)上，哥德?tīng)栐?jīng)集中討論過(guò)流行哲學(xué)與數(shù)學(xué)實(shí)踐的關(guān)系，通常情況是后者屈從于前者，這里哥德?tīng)査^的流行哲學(xué)，即作為時(shí)代精神的、文藝復(fù)興以來(lái)哲學(xué)中的物理主義和經(jīng)驗(yàn)主義傾向。但是哥德?tīng)栔赋觯涸谌魏吻闆r下都沒(méi)有理由盲目地信任時(shí)代精神[4]。

再來(lái)看維特根斯坦。一旦原有的實(shí)在論，無(wú)法解決問(wèn)題時(shí)，哲學(xué)家往往試圖尋找一個(gè)新的形而上學(xué)以取而代之。麥蒂指出，維特根斯坦對(duì)此不以為然：“我們以為拒斥我們的實(shí)在論之后，我們尋覓一個(gè)新的形而上學(xué)，就會(huì)使事情好轉(zhuǎn)，但是事實(shí)上，我們?cè)诎咽虑榕酶恪！盵3]163

維特根斯坦為何會(huì)有如此想法？麥蒂指出，這與他對(duì)哲學(xué)的態(tài)度有關(guān)：“哲學(xué)決不能干預(yù)我們語(yǔ)言的使用……一切都要順其自然，數(shù)學(xué)也要自行其道?！盵3]163

對(duì)于維特根斯坦的上述立場(chǎng)，麥蒂統(tǒng)稱為“反哲學(xué)”，因?yàn)辂湹侔l(fā)現(xiàn)其觸及了哲學(xué)的痛點(diǎn)：

哲學(xué)簡(jiǎn)單地將我們置于任何事物之后，對(duì)任何事物從不說(shuō)明或推斷……如果某人要在哲學(xué)中提出某些論點(diǎn)，不可能質(zhì)疑它們，因?yàn)槊總€(gè)人都贊同它們……哲學(xué)只表達(dá)每個(gè)人認(rèn)可的東西。[3]163

維特根斯坦進(jìn)一步認(rèn)為，哲學(xué)問(wèn)題的根源——語(yǔ)言的混淆，事實(shí)上也是根源于此：“我們始于日常形式的表達(dá)，通常其在日常語(yǔ)境中運(yùn)作良好，并且我們?cè)噲D將其運(yùn)用于其語(yǔ)境之外，即在一個(gè)理想化的語(yǔ)境無(wú)涉的哲學(xué)意義中?！盵3]164維特根斯坦顯然反對(duì)這樣的做法，并且旨在將問(wèn)題回歸其語(yǔ)境，亦即要不厭其煩地審視“我們?nèi)粘?shí)踐的細(xì)節(jié)”[3]166。

這一理念被維特根斯坦貫徹到數(shù)學(xué)案例之中，因?yàn)樗J(rèn)為數(shù)學(xué)家也在犯著類似的錯(cuò)誤：“某些數(shù)學(xué)家所熱衷于談?wù)摰臄?shù)學(xué)事實(shí)的客觀性與實(shí)在性，并非數(shù)學(xué)哲學(xué)，而是接受哲學(xué)處理的事物罷了。”[3]166

麥蒂指出，維特根斯坦這里想提醒我們，要對(duì)一切脫離其原初語(yǔ)境而移植到數(shù)學(xué)的事物，保持警惕。如果沒(méi)有在數(shù)學(xué)實(shí)踐的語(yǔ)境下談?wù)搯?wèn)題，則會(huì)成為“空談”，要將其與“真實(shí)的數(shù)學(xué)”區(qū)分開來(lái)。在他看來(lái)，第一任務(wù)是祛除柏拉圖主義—數(shù)學(xué)是關(guān)于非時(shí)空的抽象實(shí)體的一門學(xué)問(wèn)[3]167。

這里人們不免心存疑問(wèn)：對(duì)于諸如數(shù)學(xué)的辯護(hù)等問(wèn)題，為什么數(shù)學(xué)家往往癡迷于哲學(xué)式的回答，而非維特根斯坦意義上的合理回答？為什么人們往往忽視數(shù)學(xué)實(shí)踐的語(yǔ)境？

維特根斯坦給出了他的答案。對(duì)他而言，有意義的數(shù)學(xué)僅是應(yīng)用數(shù)學(xué)而已，非應(yīng)用數(shù)學(xué)(純數(shù)學(xué))不過(guò)是無(wú)意義的符號(hào)游戲罷了。如此一來(lái)，維特根斯坦心目中的合理的日常辯護(hù)，顯然與純數(shù)學(xué)保持距離，相應(yīng)地，純數(shù)學(xué)家也自然無(wú)法在日常語(yǔ)境中有所依托。這樣就促使有些數(shù)學(xué)家將視野轉(zhuǎn)向日常語(yǔ)境之外，訴諸于數(shù)學(xué)柏拉圖主義[3]168。

但是，麥蒂不同意這種說(shuō)法，她并不認(rèn)為對(duì)純數(shù)學(xué)解釋的失敗，就一定會(huì)促使人們走向柏拉圖主義，“即使有數(shù)學(xué)家錯(cuò)誤地將其工作的興趣和重要性關(guān)聯(lián)于其對(duì)柏拉圖世界的洞察，事實(shí)上還是可以憑借日常數(shù)學(xué)的思考為其工作提供辯護(hù)”[3]170。一言以蔽之，在麥蒂看來(lái)，柏拉圖主義之所以受數(shù)學(xué)家的青睞，原因是多方面的。

我們之所以詳述麥蒂的上述思想，想表明的是，看待數(shù)學(xué)哲學(xué)問(wèn)題要把握好一種張力：一方面，我們要避免落入本體實(shí)在論的陷阱，即反對(duì)將數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)論基礎(chǔ)歸結(jié)為某種形而上學(xué)的數(shù)學(xué)對(duì)象；另一方面，堅(jiān)持對(duì)數(shù)學(xué)的合理日常辯護(hù)，即不排斥進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐語(yǔ)境的考察，但要避免將純數(shù)學(xué)排除在考察之外，并將其斥之為“符號(hào)游戲”。

有鑒于此，我們需要找到一條理解數(shù)學(xué)實(shí)踐的平衡之道。我們給出的方案是，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)論基礎(chǔ)做一個(gè)后形而上學(xué)的表述，反對(duì)將其歸結(jié)為數(shù)學(xué)理論的對(duì)象，同時(shí)假定該表述隱含著一種語(yǔ)義的外在主義觀念，能夠?qū)⒓償?shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)整合于一個(gè)辯護(hù)框架之內(nèi)。我們認(rèn)為，這樣的后形而上學(xué)的數(shù)學(xué)實(shí)踐進(jìn)路，與麥蒂的數(shù)學(xué)自然主義意蘊(yùn)相兼容，有望成為麥蒂“數(shù)學(xué)深刻性”觀念的一種合理詮釋。

需要指出的是，這種后形而上學(xué)進(jìn)路的提出，受益于我們對(duì)平科克的“結(jié)構(gòu)說(shuō)明”所做的分析。在該結(jié)構(gòu)說(shuō)明中，一方面，平科克執(zhí)著于內(nèi)在主義的預(yù)設(shè)，認(rèn)為數(shù)學(xué)表述應(yīng)該提供科學(xué)表征的所有內(nèi)容，盡管其反對(duì)嚴(yán)格的語(yǔ)義推論主義[2]87。另一方面，平科克認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念的發(fā)展貫穿于數(shù)學(xué)實(shí)踐的歷史之中，他提出一種關(guān)于純數(shù)學(xué)的EBE，借此將數(shù)學(xué)概念的發(fā)展與數(shù)學(xué)概念的內(nèi)容緊密聯(lián)系，并認(rèn)為后者深受前者的影響。這種從數(shù)學(xué)實(shí)踐歷史來(lái)追溯數(shù)學(xué)內(nèi)容來(lái)源的做法，凸顯了一種語(yǔ)義外在主義的訴求。所以，平科克的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想體現(xiàn)出一種內(nèi)在主義與外在主義之間的張力。

二、平科克結(jié)構(gòu)說(shuō)明的外在主義擴(kuò)展

在應(yīng)用數(shù)學(xué)的“結(jié)構(gòu)說(shuō)明”中，平科克設(shè)定了一個(gè)物理具體結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系(二者元素之間形成了一種形式的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，諸如同構(gòu)的關(guān)系)。這種結(jié)構(gòu)關(guān)系存在，使得物理系統(tǒng)(相關(guān)的特性在該系統(tǒng)之上被定義)被視為是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的一種例示。通過(guò)這種結(jié)構(gòu)的對(duì)應(yīng)，科學(xué)表征被賦予了數(shù)學(xué)內(nèi)容，而此內(nèi)容對(duì)于確證該表征，頗有助益。原因在于，該內(nèi)容可以提供一些條件確保表征的精確性[2]83。通過(guò)結(jié)構(gòu)說(shuō)明，平科克將“科學(xué)表征中的數(shù)學(xué)應(yīng)用”與“數(shù)學(xué)信念先驗(yàn)論證的必要性”二者聯(lián)系起來(lái)。

事實(shí)上，結(jié)構(gòu)說(shuō)明包含著兩個(gè)核心的內(nèi)容，一是語(yǔ)義實(shí)在論，但該實(shí)在論并不意味著柏拉圖主義，所以不論實(shí)在論還是反實(shí)在論(二者對(duì)是否存在數(shù)學(xué)對(duì)象有分歧)都能與結(jié)構(gòu)說(shuō)明相兼容。二是觀念的內(nèi)在主義，但該內(nèi)在主義并不意味著一種激進(jìn)的語(yǔ)義推論主義，相反地其不否認(rèn)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)有所指。這二者正是其數(shù)學(xué)信念的先驗(yàn)辯護(hù)必要性的來(lái)源。

平科克認(rèn)為，行動(dòng)者必須有理由相信其接受的表征。數(shù)學(xué)的語(yǔ)義實(shí)在論是相信相關(guān)科學(xué)表征的前提條件。同時(shí)，一旦認(rèn)可內(nèi)在主義的假設(shè)，數(shù)學(xué)表述的概念應(yīng)該提供科學(xué)表征的所有數(shù)學(xué)內(nèi)容。這就意味著，不允許憑借一些外在的所指來(lái)判定數(shù)學(xué)表述是否為真，也就排除了數(shù)學(xué)外在辯護(hù)的可能性。在概念內(nèi)在主義與語(yǔ)義實(shí)在論的框架下，數(shù)學(xué)信念的辯護(hù)內(nèi)在于純數(shù)學(xué)，而獨(dú)立于其他證據(jù)。為此，平科克為數(shù)學(xué)信念的先驗(yàn)辯護(hù)設(shè)定了三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：一是獨(dú)立于經(jīng)驗(yàn)證據(jù)，二是內(nèi)在于純數(shù)學(xué)，三是在應(yīng)用于科學(xué)之前(亦即數(shù)學(xué)信念在認(rèn)識(shí)論上優(yōu)先于其應(yīng)用)[2]86。

平科克一方面要先驗(yàn)地辯護(hù)數(shù)學(xué)信念，另一方面又要考慮數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展。出于這兩方面的考慮，平科克提出了前述的EBE。借助EBE，平科克展示了一個(gè)似乎可信的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論應(yīng)該如何通過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)歷史重構(gòu)而得以支撐。這樣平科克一定程度上迎合某種自然主義的需求：數(shù)學(xué)觀念與理論的發(fā)展貫穿于數(shù)學(xué)實(shí)踐的歷史，對(duì)該過(guò)程的重建應(yīng)該為數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)論提供基礎(chǔ)。

這里平科克引入了其所謂的“數(shù)學(xué)觀念的歷史擴(kuò)張”觀點(diǎn)，該觀點(diǎn)借鑒了沃爾森關(guān)于物理學(xué)概念的論述。在沃爾森看來(lái)，通過(guò)思考幾個(gè)“意義互補(bǔ)領(lǐng)域的網(wǎng)絡(luò)”，概念的復(fù)雜性就可以追蹤到。這一圖景意在闡明我們觀念的“多值性”，因?yàn)槲覀兊母拍畈荒鼙灰暈橐粋€(gè)不可變的實(shí)體，相反地，這些概念視其語(yǔ)境和實(shí)踐用途而不斷予以發(fā)展[2]88。

但是，EBE隱含著一種外在主義的訴求。原來(lái)，審視特定數(shù)學(xué)概念在發(fā)展中的歷史情節(jié)，是平科克的純數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)論進(jìn)路的重要一環(huán)。換言之，他通過(guò)尋覓關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展的“世界驅(qū)動(dòng)的描述”，來(lái)知曉其所相信的數(shù)學(xué)主張是否得以辯護(hù)[2]91。由此，我們可將平科克的探究路線歸納如下：他為人們提供數(shù)學(xué)概念歷史發(fā)展的具體案例分析，并從中得出理論主張。這樣，數(shù)學(xué)實(shí)踐發(fā)展的歷史事實(shí)，將融入數(shù)學(xué)概念內(nèi)容的特征化過(guò)程之中。顯然，這種訴求與其先驗(yàn)辯護(hù)所彰顯的內(nèi)在主義相沖突，造成了平科克理論體系中的一種內(nèi)在張力。

如果外在的歷史事實(shí)能融入數(shù)學(xué)概念的定義中，內(nèi)在主義就不再是合適的立場(chǎng)了。我們不妨按照艾莫夸特的建議，在平科克的結(jié)構(gòu)說(shuō)明中，引入語(yǔ)義的外在主義。這樣，我們由秉承語(yǔ)義實(shí)在論和語(yǔ)義內(nèi)在主義，轉(zhuǎn)變?yōu)樵V諸語(yǔ)義實(shí)在論和語(yǔ)義外在主義。

事實(shí)上，為了兼容麥蒂的數(shù)學(xué)自然主義，我們也需要一種外在主義的進(jìn)路。我們知道，麥蒂旗幟鮮明地反對(duì)康德，認(rèn)為其哲學(xué)是一種雙層次論：

在康德致力于闡述世界先驗(yàn)知識(shí)的過(guò)程中，他采取了一個(gè)完全迥異于日?？茖W(xué)的先驗(yàn)的探究方式(這里康德而不是第二哲學(xué)家(3)在提出數(shù)學(xué)自然主義之后，為了在微妙而根本的方式上與其他自然主義立場(chǎng)相區(qū)別，麥蒂將其哲學(xué)體系稱之為“第二哲學(xué)”，并自詡為“第二哲學(xué)家”。參見(jiàn)Penelope Maddy.Second Philosophy: A Naturalistic Method.Oxford University Press,2007,1。，劃定了科學(xué)與非科學(xué)的界限，這是一種典型的雙層次論)康德的經(jīng)驗(yàn)探究在方法論上完全獨(dú)立于其先驗(yàn)的思考，也就是說(shuō)，日?？茖W(xué)完全是為經(jīng)驗(yàn)探究而準(zhǔn)備的，這就是觀點(diǎn)成為雙層的原初意蘊(yùn)……[5]4

普特南指出康德哲學(xué)事實(shí)上是一種內(nèi)在主義，他說(shuō)：“我們讀康德時(shí)最好把他理解成第一次提出我所謂的‘內(nèi)在論的’或‘內(nèi)在實(shí)在論’的真理觀的人，盡管康德本人從未道破這一點(diǎn)?！盵6]

基于麥蒂對(duì)康德哲學(xué)的否定態(tài)度，我們認(rèn)為，她應(yīng)該主張一種語(yǔ)義外在主義立場(chǎng)。而且，一旦采用這種外在主義，我們就能規(guī)避前述維特根斯坦的困境。維特根斯坦認(rèn)為純數(shù)學(xué)不過(guò)是一種符號(hào)游戲而已，對(duì)其無(wú)法予以辯護(hù)，這一立場(chǎng)與其本人語(yǔ)義的內(nèi)在主義的立場(chǎng)，恐怕有莫大的關(guān)聯(lián)。與之相對(duì)照，我們知道，EBE本身即是一種關(guān)于純數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)論方案，當(dāng)其放棄了語(yǔ)義的內(nèi)在主義立場(chǎng)，將會(huì)對(duì)純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)一視同仁，從而將純數(shù)學(xué)的辯護(hù)納入數(shù)學(xué)實(shí)踐的歷史視野。同樣，麥蒂應(yīng)該是主張將純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)都放在同一框架內(nèi)予以考量的，她之所以有“應(yīng)用數(shù)學(xué)變成了純數(shù)學(xué)”這一提法[7]6，即是一個(gè)佐證。

但人們難免有這樣的顧慮：一旦轉(zhuǎn)向了語(yǔ)義的外在主義，我們是否就要做出數(shù)學(xué)對(duì)象的本體論承諾，從而陷入一種形而上學(xué)的困境？

我們知道，維特根斯坦反對(duì)形而上學(xué)的獨(dú)斷，他批判哈代的哲學(xué)思想，認(rèn)為其將數(shù)學(xué)圖景錯(cuò)誤地指向了數(shù)學(xué)對(duì)象的自然史，造成人們只是一門心思地關(guān)注數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)[3]167。同理，我們之所以有上述顧慮，是因?yàn)槲覀冏呷肓伺c哈代類似的誤區(qū)：一旦我們宣稱某個(gè)表述是真的，并把我們的理由看作是相關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象所賦予的，我們實(shí)則秉持了一種關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象的本體實(shí)在論。

我們?nèi)绾螆?jiān)持一種外在主義，同時(shí)又能避免走入上述誤區(qū)呢？不妨采取這樣的辦法，即將數(shù)學(xué)概念(或者理論等)的發(fā)展與數(shù)學(xué)實(shí)踐的歷史關(guān)聯(lián)起來(lái)。同時(shí)守住兩個(gè)底線：一是要以一種開放態(tài)度來(lái)對(duì)待那些共享著結(jié)構(gòu)背景的反實(shí)在論立場(chǎng)。二是不能將數(shù)學(xué)概念視作一成不變的實(shí)體，反而要以實(shí)踐的目標(biāo)為依托，通過(guò)數(shù)學(xué)理論的歷史發(fā)展而使其不斷演化[2]96。

我們?nèi)绾我砸环N外在的自然主義視野來(lái)審視數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)論基礎(chǔ)，同時(shí)又不將其歸結(jié)為數(shù)學(xué)對(duì)象的本體實(shí)在(即一個(gè)外在的不變的實(shí)體)？盡管平科克本意并非要回應(yīng)這樣的問(wèn)題，但事實(shí)上其給我們指明了方向。在EBE中，數(shù)學(xué)概念的內(nèi)容決定于數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的偶聯(lián)性事實(shí)[2]97。正是這樣的事實(shí)構(gòu)成了數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論的基礎(chǔ)，同時(shí)也成為數(shù)學(xué)實(shí)踐本身自主性的源泉。

三、“數(shù)學(xué)深刻性”的后形而上學(xué)詮釋

麥蒂的“數(shù)學(xué)深刻性”沒(méi)有一個(gè)確切的普遍性定義，事實(shí)上也不可能有，因?yàn)辂湹俾暦Q：

……提供一個(gè)何為數(shù)學(xué)深刻性的普遍性闡釋的企圖，對(duì)其有效性我表示懷疑。對(duì)我來(lái)說(shuō)，這一短語(yǔ)(指數(shù)學(xué)深刻性)最好理解為一攬子的各種不同優(yōu)點(diǎn)，在關(guān)于概念形成與公理選擇的說(shuō)明性的案例中，我們明顯能感受到這些優(yōu)點(diǎn)。[7]81

我們只能泛泛地將其指涉為一種獲得數(shù)學(xué)“豐富性”的能力，這里數(shù)學(xué)的觀念、理論、陳述等的豐富性，不僅表現(xiàn)在數(shù)學(xué)自身內(nèi)部(例如集合論的基礎(chǔ)作用)，而且表現(xiàn)在數(shù)學(xué)應(yīng)用于經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的外在方面(例如確立了經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)的麥克斯韋方程)[8]。

既然無(wú)法提供一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)深刻性的普遍性闡釋，麥蒂詳述一些不同案例，以為人們提供數(shù)學(xué)深刻性像什么的感觀。她的案例主要集中于集合論與群論中的概念形成，以及選擇公理的形成和應(yīng)用等方面。遺憾的是，這些案例不足以清晰地闡明我們所要尋找的概念。艾莫夸特解釋了其原由。

首先，在選擇公理這個(gè)例子中，麥蒂?zèng)]有讓我們真正深入洞察公理的豐富性，而且她也沒(méi)有談到公理與發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)深刻性之間的聯(lián)系：

對(duì)于非空集合中的每一個(gè)集合，存在一個(gè)選擇函數(shù)，其能在每一集合中選擇一個(gè)元素。麥蒂對(duì)集合豐富性的描述并非如人們所設(shè)想的那么完善：她提到了選擇公理的幾個(gè)應(yīng)用，但是她僅僅明確交代了幾何學(xué)中選擇公理的應(yīng)用，并使之與巴拿赫-塔爾斯基悖論相關(guān)聯(lián)。她并未提到該公理在其他方面的應(yīng)用，如在代數(shù)中、拓?fù)鋵W(xué)和解析等方面。她只是提醒我們注意那些青睞公理的內(nèi)在數(shù)學(xué)考慮。[9]230

其次，在群論的例子中，麥蒂指出群論有著多樣化的用途，它的豐富性在于，其有能力統(tǒng)合共享著某些特性的不同結(jié)構(gòu)，途徑是使用同樣的模型來(lái)表征它們。正因?yàn)槿绱?，要闡明何為數(shù)學(xué)深刻性，關(guān)于群概念的應(yīng)用實(shí)例可資利用。盡管如此，麥蒂并沒(méi)有詳盡闡述群論及其應(yīng)用，群論的豐富性與數(shù)學(xué)深刻性現(xiàn)象之間的關(guān)聯(lián)性，自然也就語(yǔ)焉不詳[9]230。

最后，麥蒂的集合論案例(因其是麥蒂關(guān)注的重點(diǎn))給了我們關(guān)于數(shù)學(xué)深刻性的更多認(rèn)知。通過(guò)分析數(shù)學(xué)歷史以及數(shù)學(xué)與經(jīng)驗(yàn)世界研究之間聯(lián)系的進(jìn)化脈絡(luò)，麥蒂確認(rèn)，對(duì)于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及其語(yǔ)言的統(tǒng)一，集合論是必需的：如果存在一個(gè)統(tǒng)一模型，使得我們研究不同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和方法，由數(shù)學(xué)的自主性可知，該模型必然來(lái)自數(shù)學(xué)本身[9]230。這就意味著，該模型能夠提供一個(gè)共享的框架，在數(shù)學(xué)中發(fā)揮某種統(tǒng)一的作用。這是一種什么樣的統(tǒng)一作用呢？用麥蒂的話說(shuō)即是：

集合論所做的是，提供一個(gè)廣闊和統(tǒng)一的舞臺(tái)，所有關(guān)于一致性和證據(jù)的問(wèn)題都能在此展示。這樣，集合論為我們配備了一個(gè)工具，借此給予存在和一致性等問(wèn)題以明確的含義；使過(guò)去不清晰的概念和結(jié)構(gòu)得以明晰；完美地識(shí)別一般的基礎(chǔ)預(yù)設(shè)(其以不同的模樣出現(xiàn)在不同的領(lǐng)域)；促進(jìn)不同數(shù)學(xué)分支(如今以統(tǒng)一的面目示人)之間的聯(lián)系；闡述和回答可證性與可反駁性的問(wèn)題；為引入新的強(qiáng)有力的假設(shè)打開了方便之門，以解決老的懸而未決的問(wèn)題，等等。在這一哲學(xué)上適度而數(shù)學(xué)上豐富的意義上，集合論堪稱開創(chuàng)了當(dāng)代純數(shù)學(xué)。[8]34

綜上所述，從麥蒂的案例中，盡管我們能夠窺探到數(shù)學(xué)深刻性的些許端倪，但我們無(wú)法明確地企及數(shù)學(xué)深刻性的奧妙所在，我們需要對(duì)其進(jìn)一步予以闡發(fā)。

借由平科克結(jié)構(gòu)說(shuō)明的分析，我們提出一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)深刻性概念的詮釋方案：不應(yīng)該將“那些數(shù)學(xué)深刻性的事實(shí)”視為“數(shù)學(xué)的理論事實(shí)”，而應(yīng)當(dāng)將其視為關(guān)于“特定觀點(diǎn)、陳述或理論的豐富性運(yùn)用(在數(shù)學(xué)實(shí)踐的歷史中)的歷史事實(shí)”(4)艾莫夸特指出，將數(shù)學(xué)事實(shí)指涉為歷史事實(shí)，而非一成不變的實(shí)在的對(duì)象，有一個(gè)優(yōu)勢(shì)是，可以回避將數(shù)學(xué)概念指涉嚴(yán)格意義上的物理對(duì)象時(shí)，人們所遭遇的貝納塞拉夫的責(zé)難。。

誠(chéng)如艾莫夸特所言，簡(jiǎn)單地指涉數(shù)學(xué)實(shí)踐歷史，可能并不能滿足要求，因?yàn)閿?shù)學(xué)歷史并非都是成功的歷史，有些歷史未必能讓我們洞悉到有關(guān)概念的深刻性。因此，艾莫夸特建議，不妨把數(shù)學(xué)歷史視為一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程，類似于某種自然選擇，其推動(dòng)豐富性的數(shù)學(xué)觀念予以發(fā)展，而將非豐富性的數(shù)學(xué)觀念淘汰出局。如此一來(lái)，數(shù)學(xué)深刻性的事實(shí)，即可看作“數(shù)學(xué)觀念(或者數(shù)學(xué)理論等)豐富性運(yùn)用的事件”，其在數(shù)學(xué)實(shí)踐的視野中被展露無(wú)余[9]234。

我們認(rèn)為這樣的闡發(fā)是符合麥蒂初衷的。一方面，數(shù)學(xué)深刻性的事實(shí)顯然是經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，因其是當(dāng)前數(shù)學(xué)實(shí)踐和數(shù)學(xué)歷史的一部分。既然歷史事實(shí)是經(jīng)驗(yàn)的，則無(wú)需解釋數(shù)學(xué)深刻性的事實(shí)為何是客觀的。數(shù)學(xué)實(shí)踐歷史中的某些觀念(或者理論等)的豐富性使用，是后驗(yàn)的，獨(dú)立于主觀的數(shù)學(xué)直覺(jué)。通過(guò)將數(shù)學(xué)豐富性的表述與數(shù)學(xué)深刻性相關(guān)聯(lián)，事實(shí)上我們得到了一種后形而上學(xué)的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論基礎(chǔ)，其并不依托理論的客觀性(其依賴于數(shù)學(xué)對(duì)象的本體論存在)，而是植根于數(shù)學(xué)實(shí)踐的客觀經(jīng)驗(yàn)實(shí)在[9]。另一方面，數(shù)學(xué)深刻性的這種豐富性形式，對(duì)數(shù)學(xué)陳述和理論而言，是一個(gè)外在的辯護(hù)。麥蒂認(rèn)為，一個(gè)數(shù)學(xué)理論陳述的辯護(hù)是內(nèi)在的，如果該陳述的真理性可由其對(duì)象所屬的性質(zhì)予以推知的話；另一方面，一個(gè)陳述的外在辯護(hù)，是從結(jié)果(無(wú)論理論之內(nèi)還是之外)角度而進(jìn)行的辯護(hù)。在她看來(lái)，數(shù)學(xué)理論在完善我們數(shù)學(xué)內(nèi)外知識(shí)方面，已經(jīng)取得一定成效，數(shù)學(xué)理論的使用，本身即是在理論中使用該數(shù)學(xué)理論的一個(gè)很好的辯護(hù)，且是一種外在的辯護(hù)[9]232。

不難看出，上述方案既能投維特根斯坦所好，同形形色色的形而上學(xué)劃清界限，又能引入外在的辯護(hù)，占據(jù)原本只有柏拉圖主義者才享有的有利視域，將純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)置于統(tǒng)一的框架予以考察，從而祛除維氏在純數(shù)學(xué)方面的癥結(jié)。

最終我們完成了對(duì)麥蒂數(shù)學(xué)深刻性的后形而上學(xué)的詮釋。雖然麥蒂?zèng)]有明確地如此表述，但是這種實(shí)踐導(dǎo)向的詮釋，與麥蒂數(shù)學(xué)深刻性的應(yīng)有之義，并不沖突，因?yàn)閺谋举|(zhì)上講麥蒂將數(shù)學(xué)理解為一種“人類實(shí)踐”[5]361。

當(dāng)今數(shù)學(xué)哲學(xué)界迎來(lái)了新一波的潮流，將人們的視野轉(zhuǎn)向了職業(yè)數(shù)學(xué)家的具體實(shí)踐，平科克和麥蒂無(wú)疑是該潮流的代表人物。但是，數(shù)學(xué)實(shí)踐的復(fù)雜性，決定了我們對(duì)數(shù)學(xué)的辯護(hù)，切不可采取一種單向度的思維，而要以審慎的態(tài)度加以思考。我們要全方位、多角度地審視數(shù)學(xué)實(shí)踐中那些生動(dòng)的歷史案例，關(guān)于數(shù)學(xué)的任何認(rèn)識(shí)論探究的目標(biāo)，都要從這些案例中尋找。換言之，涉及關(guān)注數(shù)學(xué)對(duì)象與表達(dá)的本體論問(wèn)題，必須在數(shù)學(xué)內(nèi)部得以回答。無(wú)論是麥蒂，還是平科克，事實(shí)上都深諳此道，難怪二者都將數(shù)學(xué)的實(shí)踐和歷史作為其關(guān)注焦點(diǎn)，并得出了相差無(wú)幾的論斷。

綜合平科克和麥蒂二者數(shù)學(xué)哲學(xué)思想，我們走向了一條后形而上學(xué)的數(shù)學(xué)實(shí)踐之路，其要義不僅完全兼容麥蒂的數(shù)學(xué)自然主義，而且滿足我們的平衡之道。這種后形而上學(xué)的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論基礎(chǔ)，既堅(jiān)持了外在主義的立場(chǎng)，又沒(méi)有落入形而上學(xué)的陷阱，同時(shí)既接納入了實(shí)踐語(yǔ)境的辯護(hù)，又沒(méi)有將純數(shù)學(xué)排除在外。