胡蕊,郭利平

(山西大學(xué) 理論物理研究所,山西 太原 030006)

0 引言

PT對(duì)稱(chēng)的研究最早是在光波導(dǎo)實(shí)現(xiàn)的[8]。波導(dǎo)折射率n(x)=n1(x)+in2(x),其中描述線性材料的基礎(chǔ)折射率的實(shí)部n1(x)滿(mǎn)足偶宇稱(chēng),n2(x)滿(mǎn)足奇宇稱(chēng),用于表征材料的增益和耗散的虛部,因此n(x)=n*(-x).則由折射率決定的勢(shì)函數(shù)滿(mǎn)足[9-13]

U(x)=U*(-x) .

(1)

當(dāng)光在波導(dǎo)中傳播時(shí),麥克斯韋方程在傍軸近似下的光傳播方程類(lèi)似于含時(shí)薛定諤方程[14-18],另外改變波導(dǎo)的彎曲程度可提供必要的驅(qū)動(dòng)外場(chǎng)[19-20]。當(dāng)周期勢(shì)的實(shí)部和虛部的周期相同,且實(shí)部振幅大于虛部振幅時(shí),系統(tǒng)的哈密頓量處于PT對(duì)稱(chēng)區(qū)域;當(dāng)實(shí)部振幅小于虛部振幅時(shí),PT對(duì)稱(chēng)發(fā)生破缺;兩個(gè)振幅相等時(shí)是奇異點(diǎn)。當(dāng)周期勢(shì)的實(shí)部和虛部周期不同時(shí),其對(duì)PT對(duì)稱(chēng)區(qū)間以及能譜的影響是本文研究的重點(diǎn)。

1 理論模型

我們研究波長(zhǎng)為λ的單色光在(X,Z)平面光波導(dǎo)陣列中的傳輸情況。其中光波導(dǎo)陣列是沿X方向且等間距排列,其間距為a。如果波導(dǎo)沿Z方向是彎曲的,且彎曲程度都一致用X0(Z)=Asin(ωZ)來(lái)描述,其中A是波導(dǎo)管彎曲程度的振幅,ω是其頻率。

Fig.1 Waveguide array schematic diagram圖1 波導(dǎo)陣列示意圖

描述電場(chǎng)振幅ψ的有效傳播方程為[19]

(2)

其中?=λ/2π,ns是基質(zhì)折射率,x=X-X0(Z),U(x)=ns-n(x),n(x)是波導(dǎo)陣列的有效折射率且周期為a,即n(x)=n(x+a).利用規(guī)范變換

(3)

(點(diǎn)表示對(duì)Z求導(dǎo)),方程(2)變?yōu)閇19]

i??ZΨ=H0Ψ-F(Z)xΨ,

(4)

其中

(5)

周期驅(qū)動(dòng)力

F(Z)=nsAω2sin(ωZ),

(6)

本文著重研究周期勢(shì)的實(shí)部和虛部周期不同時(shí)對(duì)PT對(duì)稱(chēng)及能譜的影響。考慮勢(shì)函數(shù)為

U(x)=U1cos(2kx)+iU2sin(4kx),

(7)

(8)

(9)

i?z|aq(z)〉=H0|aq(z)〉,

(10)

其哈密頓量可以寫(xiě)成下面的形式

(11)

我們可以發(fā)現(xiàn)H0?≠H0,雖然每個(gè)矩陣元是實(shí)數(shù),但(11)式是非厄米的哈密頓量。文獻(xiàn)[18]研究的哈密頓量非對(duì)角元只出現(xiàn)在近鄰對(duì)角線上,而(11)式中則出現(xiàn)了次近鄰項(xiàng)。通過(guò)101個(gè)波導(dǎo)數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn):文獻(xiàn)[18]中研究的結(jié)果V1=V2是奇異點(diǎn)發(fā)生的條件(如圖2(a)三角符號(hào)所示,虛線是數(shù)值擬合函數(shù))。在圖2(a)中當(dāng)V2

結(jié)果表明由于勢(shì)函數(shù)實(shí)部和虛部的周期不同，PT對(duì)稱(chēng)區(qū)域縮小了。通過(guò)擬合發(fā)現(xiàn)V1和V2滿(mǎn)足以下關(guān)系:

(12)

另一方面,我們考慮周期勢(shì)函數(shù)形式為

U(x)=U1cos(2kx)+iU2sin(6kx),

(13)

(14)

Fig.2 (a) Relation diagram of V1 and V2 at Exceptional points in [20].(b) Relation diagram of V1 and V2 at Exceptional points from Eq (11).圖2 (a)文獻(xiàn)[20]中奇異點(diǎn)V1和V2的關(guān)系圖;(b)方程(11)奇異點(diǎn)V1和V2的關(guān)系圖

Fig.3 Energy bands of the system as a function of Bloch-momentum and (b) describe thereal and imaginary part of the three lowest bands when respectively. And (c) and (d) show the cases when (a)、(b)當(dāng)時(shí)描述了三個(gè)最低能帶的實(shí)部和虛部;(c)、(d)分別表示的情況。圖3 系統(tǒng)的能帶是布洛赫動(dòng)量的函數(shù)

將(14)式寫(xiě)成演化方程(10)的形式,其哈密頓量可表示為

(15)

在本文中近軸彎曲導(dǎo)致的交替驅(qū)動(dòng)力(6)作用下準(zhǔn)動(dòng)量隨時(shí)間的演化為

q(Z)=q0-nsAωcos(ωZ),

(16)

我們主要集中觀察在PT對(duì)稱(chēng)區(qū)間對(duì)應(yīng)的最低兩能帶能級(jí)免交叉點(diǎn)處的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。根據(jù)Landau-Zener隧穿概率公式[21]

(17)

其中,Δ為免交叉點(diǎn)處的能隙,v為能量變化的速率。以勢(shì)函數(shù)(7)下的能譜為例進(jìn)行研究,根據(jù)數(shù)值結(jié)果(12),在PT對(duì)稱(chēng)區(qū)間中每取定一組V1,V2的值就會(huì)有唯一的Δ和v與之對(duì)應(yīng),從而利用(17)式計(jì)算出Landau-Zener隧穿的隧穿概率。如圖4所示可觀察到由于V2遠(yuǎn)小于V1,隧穿概率隨著V1增大而減小,不隨V2的變化而變化。

Fig.4 Landau-Zener tunneling probability as a function of V1 with different V2.圖4 V2取不同值時(shí)，Landau-Zener隧穿概率隨V1的變化

2 結(jié)論