林煜珍

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》的總目標(biāo)的第一條：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！皵?shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”是具有本質(zhì)特征和基本重要性的一些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，涉及一些具有程序、步驟、路徑的可操作的“方法”，處于較高的層次。就此，結(jié)合“用分?jǐn)?shù)表示可能性大小”的幾個(gè)片段，通過對(duì)比與分析，探索在概率教學(xué)中，怎樣設(shè)計(jì)和實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，可有效幫助小學(xué)生獲取并積累“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì);概率教學(xué)

新課程改革推進(jìn)至今，一線的教師對(duì)新課改的許多理念已經(jīng)達(dá)成了許多共識(shí)，但在實(shí)踐層面，教師經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生“形似而神不似”的教學(xué)尷尬。在“用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小”教學(xué)中也出現(xiàn)了學(xué)生學(xué)得困難、教師教得困難的兩難尷尬。而且很多老師對(duì)此也存在不少爭(zhēng)議，這引起了筆者的關(guān)注。

一、爭(zhēng)議1：“分?jǐn)?shù)表示可能性的大小的內(nèi)涵”的教學(xué)環(huán)節(jié)

師：盒子中有1個(gè)白球和1個(gè)紅球，從這個(gè)盒子中摸到紅球的可能性是多少呢？

生1：一半。

師：用你們學(xué)過的數(shù)表示可能性“一半”，可以怎么表示？

生2：1/2。

【片段一】

師：你是怎么想的？

生：因?yàn)楹凶又械募t球個(gè)數(shù)占總數(shù)的1/2，所以摸到紅球的可能性是1/2。

師：紅球的個(gè)數(shù)占總數(shù)的1/2，就說摸到紅球的可能性是1/2嗎？

【片段二】

師：1/2中的2表示什么？1又表示什么？

生：2表示盒子中球的總數(shù)，1表示只有1個(gè)紅球

這兩個(gè)片段都因沒很好處理分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵不免使其遜色幾分。筆者覺得這里沒有教師真正的引導(dǎo)分析，沒有學(xué)生真正的思考推理，顯然，對(duì)用分?jǐn)?shù)表示可能性大小的內(nèi)涵只是似是而非的理解。

二、爭(zhēng)議2：“用試驗(yàn)來驗(yàn)證”的教學(xué)環(huán)節(jié)

師：在拋硬幣試驗(yàn)中，正面朝上的可能性是多少呢？

生：1/2。

教師安排試驗(yàn)驗(yàn)證：經(jīng)電腦合計(jì)，結(jié)果顯示如下

出示科學(xué)家的試驗(yàn)結(jié)果

師：科學(xué)家們經(jīng)過無數(shù)次實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)：正面朝上或反面朝上的次數(shù)接近總次數(shù)的1/2，可以用1/2來表示正面朝上或反面朝上的可能性。

這個(gè)片斷的教學(xué)過程從表面上看，體現(xiàn)了該教師科學(xué)的數(shù)學(xué)研究方法：猜想——驗(yàn)證。但是我們發(fā)現(xiàn)，拋硬幣的試驗(yàn)雖然能較好地詮釋正面朝上或反面朝上的可能性相等，而解釋為什么用1/2表示應(yīng)建立在此基礎(chǔ)上的進(jìn)一步推理，可惜的是教師直接得出了結(jié)論，這樣不免顯得牽強(qiáng)附會(huì)。因此，筆者認(rèn)為，這樣的活動(dòng)沒有很好地實(shí)現(xiàn)驗(yàn)證目的。通過研究發(fā)現(xiàn)主要有以下兩種觀點(diǎn)：

（一）不主張?jiān)囼?yàn)

1.像拋硬幣這樣的隨機(jī)試驗(yàn)必須在同樣的條件下進(jìn)行，而由不同的學(xué)生做試驗(yàn)，導(dǎo)致每次拋硬幣的高度或力度都不同，把不同條件下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)相加不符合試驗(yàn)原理，沒有統(tǒng)計(jì)意義。

2.中低年級(jí)多做試驗(yàn)，讓學(xué)生在試驗(yàn)中體驗(yàn)試驗(yàn)結(jié)果的不確定性與規(guī)律性。高年級(jí)的學(xué)生不宜在課堂上花費(fèi)過多的時(shí)間做試驗(yàn)，宜從等可能性的角度分析可能性的大小。

3.既然越分析越糊涂，不如把一些事件發(fā)生的等可能性，作為一種經(jīng)驗(yàn)或常識(shí)來處理，不要去驗(yàn)證它，而是默認(rèn)它，有了這個(gè)前提就能進(jìn)行相關(guān)的分析、判斷與推理。

（二）主張?jiān)囼?yàn)

1.概率學(xué)習(xí)的一個(gè)首要目標(biāo)是使學(xué)生不斷體會(huì)隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)，而這需要學(xué)生在親自試驗(yàn)中，通過對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的分析不斷體會(huì)。

2.試驗(yàn)時(shí)要控制的是明顯影響試驗(yàn)結(jié)果的因素，而非所有因素。比如硬幣被拋出的角度和正反面是否均勻才是明顯的。而拋硬幣時(shí)的力度、高度以及是否同一個(gè)人則是不明顯的。

3.不能無視目的而談理想狀態(tài)的試驗(yàn)，如果從純學(xué)科的角度看，完全相同條件在現(xiàn)實(shí)中即便同一個(gè)人也很難。每次都是完全相同的高度、力度、角度是很難實(shí)現(xiàn)的，因此具有統(tǒng)計(jì)意義。

三、設(shè)計(jì)和實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)獲取“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”

從以上的案例中，我們發(fā)現(xiàn)，在概率教學(xué)中，學(xué)生學(xué)得“困難”，教師教得“困難”，可謂是遇上了兩難尷尬。就此，我們先來研究一下相關(guān)的教材內(nèi)容。教材的編寫更多地考慮普適性，賦予教師一定的使用彈性。教學(xué)的目的在于學(xué)生的有效學(xué)習(xí)與良性發(fā)展，忽視了這一點(diǎn)，任何花樣百出的教學(xué)方法都是無效的。有時(shí)課堂上會(huì)出現(xiàn)：為了活躍課堂氣氛，在學(xué)生體驗(yàn)“一定、不可能”時(shí)，設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)活動(dòng)：每個(gè)小組都有一個(gè)袋子，裝有若干個(gè)紅球和白球。

1.每人每次只能摸出一個(gè)球，再放回，重復(fù)6次，哪個(gè)小組摸到紅球的次數(shù)多，哪個(gè)小組獲勝。

2.匯報(bào)結(jié)果：有的摸到的都是紅球，有的摸到的都不是紅球。

3.討論為什么出現(xiàn)這樣的結(jié)果。

生1：都是紅色的______________。生2：紅色的多，其他的少_____________。

4.打開盒子驗(yàn)證猜測(cè)正確與否（結(jié)果卻是唯一的）。

這樣的教學(xué)，學(xué)生積極參與，課堂氣氛活躍。但在后繼的學(xué)習(xí)中，有些學(xué)生認(rèn)為：如果連續(xù)幾次從盒子中摸到白球（又放回），就認(rèn)為盒子中裝的一定是白球，而實(shí)際上有時(shí)只是碰巧而已。因此，筆者認(rèn)為：切勿為了活躍課堂氣氛而隨意安排試驗(yàn)活動(dòng)。活動(dòng)操作的意義不僅在于動(dòng)手活動(dòng)，更在于探究明理，在操作技能的教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注活動(dòng)的形式怎樣，學(xué)生參與操作活動(dòng)的興致有多高，更要關(guān)注學(xué)生在操作活動(dòng)中是否進(jìn)行了理性思考，否則只是走過場(chǎng)，徒勞無功。

（一）從教材的核心價(jià)值設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)

概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象的科學(xué)，隨機(jī)現(xiàn)象是指這樣一種現(xiàn)象：在相同的條件下重復(fù)同樣的試驗(yàn)，其試驗(yàn)結(jié)果不確定，以至于在試驗(yàn)之前無法預(yù)料哪一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)，但大量的重復(fù)試驗(yàn)后，其結(jié)果就會(huì)趨于一定的規(guī)律。進(jìn)而對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件可能出現(xiàn)的結(jié)果，如果只有有限種且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相等，那么這個(gè)隨機(jī)事件即符合古典概型（可以說等可能是用分?jǐn)?shù)表示古典概型中事件發(fā)生的可能性大小的前提）。假設(shè)事件A的所有等可能事件共有N個(gè)，其子事件B包含的等可能事件有M個(gè)，那么根據(jù)古典概型，事件B發(fā)生的可能性是M/N。

小學(xué)階段學(xué)習(xí)這一部分的內(nèi)容，主要是為了促進(jìn)學(xué)生獲取“隨機(jī)”的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。教材中無論從二年級(jí)的初步感受不確定現(xiàn)象還是到五年級(jí)的定量分析不確定現(xiàn)象，始終圍繞著這個(gè)核心價(jià)值逐一展開。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)應(yīng)能抓住教材內(nèi)容的核心價(jià)值。

（二）從教材的傳承性來設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)

教學(xué)內(nèi)容是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，如果只是關(guān)注某節(jié)課的內(nèi)容容易導(dǎo)致思維局限于某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)而無法突破，特別對(duì)于北師大版的教材，每一模塊的內(nèi)容乍一看是靜止的，但對(duì)于這一模塊各個(gè)學(xué)段的內(nèi)容都存在著豐富的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)，層層遞進(jìn)，在統(tǒng)計(jì)與概率中同樣存在著千絲萬縷的關(guān)系，因此教師應(yīng)關(guān)注教材的縱橫聯(lián)系，從教材的傳承性來設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)。雖然概率學(xué)習(xí)的一個(gè)首要目標(biāo)是學(xué)生不斷體會(huì)隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)，不確定性對(duì)學(xué)生來說是全新的思想，如果缺乏對(duì)不確定現(xiàn)象的豐富體驗(yàn)，學(xué)生往往較難建立這一思想。為此，教材主要結(jié)合具體的情境，直觀認(rèn)識(shí)不確定現(xiàn)象。同時(shí)教材非常重視學(xué)生的動(dòng)手操作，鼓勵(lì)他們?cè)趯?shí)際的操作活動(dòng)中感受不確定現(xiàn)象的特點(diǎn)，然后抽象，實(shí)現(xiàn)內(nèi)化。

二年級(jí)上冊(cè)，教材通過有趣的“猜測(cè)活動(dòng)”，使學(xué)生在實(shí)際操作中初步感受到不確定現(xiàn)象的特點(diǎn)。三年級(jí)上冊(cè)的教材安排了“摸球活動(dòng)”，使學(xué)生感受事件發(fā)生的可能性是有大小的。三年級(jí)下冊(cè)又安排了“轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤活動(dòng)”，讓學(xué)生預(yù)先猜測(cè)指針會(huì)停在哪一個(gè)區(qū)域內(nèi)，然后動(dòng)手旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤。通過多次的旋轉(zhuǎn)后，學(xué)生逐漸體會(huì)到指針落在陰影區(qū)域和落在白色區(qū)域的次數(shù)是不一樣的。到此，學(xué)生不僅對(duì)可能性有了較深的感性認(rèn)識(shí)，而且能列出簡單試驗(yàn)所有可能發(fā)生的結(jié)果。在積累了以上的“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的基礎(chǔ)上，四年級(jí)下冊(cè)的教材中的“游戲公平活動(dòng)”中，緊緊抓住“可能性相等”這一概念，可以說，等可能的學(xué)習(xí)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)用分?jǐn)?shù)表示可能性大小做好了必要準(zhǔn)備。五年級(jí)上冊(cè)教材安排的“用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小”，只是實(shí)現(xiàn)對(duì)可能性的認(rèn)識(shí)由定性感受到定量刻畫的自然過渡而已?；趯W(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)，用一個(gè)分?jǐn)?shù)表示可能性的大小似乎是“水到渠成”。但是我們會(huì)發(fā)現(xiàn)由于“概率”的抽象性，學(xué)生對(duì)其所用分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵卻是模棱兩可，而且也存在形形色色的潛在的對(duì)可能性的模糊認(rèn)識(shí)。所以怎樣讓他們那些不太正規(guī)的知識(shí)與體驗(yàn)上升發(fā)展為科學(xué)的結(jié)論，理解怎樣用分?jǐn)?shù)表示可能性大小的方法與內(nèi)涵。因此，可能性的大小不宜簡單地用解決確定性問題的“猜想——驗(yàn)證”模式來教學(xué)，而應(yīng)該充分展開。

如教師問及為什么可以用表示摸到紅球的可能性時(shí)，教師不應(yīng)該完全放手，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析。

1.任意摸一個(gè)球，我們能事先確定哪種顏色的球嗎？

2.這些球除顏色外盡管是一樣的，但它們卻是不同的球，為了區(qū)分，給它們編上號(hào)碼。

3.可能出現(xiàn)哪些情況呢？

（可能摸出白球，也可能摸出紅球——簡單列出可能事件）

4.每個(gè)球摸到的可能性一樣嗎？

（每個(gè)球被摸到的可能性相等——等可能）

在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生推理：從摸球的情況來看，共有2種可能。因?yàn)榧t球只有1個(gè)，摸到紅球的可能只有1種，因此摸到紅球的可能性是1/2。像這樣，教師利用知識(shí)的傳承性進(jìn)行引導(dǎo)，把學(xué)生從對(duì)球的個(gè)數(shù)的探究轉(zhuǎn)化成對(duì)摸球的可能性事件的探究中，使學(xué)生真正理解用分?jǐn)?shù)表示可能性大小的內(nèi)涵。當(dāng)然，隨著教學(xué)的推進(jìn)，還可以借助生活經(jīng)驗(yàn)，在充分的觀察比較中，體會(huì)用分?jǐn)?shù)表示可能性大小和用分?jǐn)?shù)表示其他事物大小有什么不同，結(jié)果相等和機(jī)會(huì)相等有什么不同，激起學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生在對(duì)比中進(jìn)一步理解可能性的意義。激發(fā)學(xué)生的能動(dòng)性，達(dá)到以動(dòng)手促進(jìn)思維，以思想延伸動(dòng)手，促進(jìn)“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”獲取。

（三）從探究的目的性來設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)

概率的現(xiàn)實(shí)教學(xué)大多以活動(dòng)體驗(yàn)為主，而活動(dòng)體現(xiàn)的次數(shù)總是有限的。那么如何在有限的操作活動(dòng)中使學(xué)生產(chǎn)生有效的感受體驗(yàn)，使學(xué)生進(jìn)行有效的抽象和內(nèi)化是至關(guān)重要的。如爭(zhēng)議2的片斷中，雖然用少數(shù)的試驗(yàn)來驗(yàn)證猜測(cè)的策略有失考慮，但認(rèn)真分析這個(gè)試驗(yàn)的價(jià)值，我們不難發(fā)現(xiàn)：它無形中滲透著這樣一種思想：試驗(yàn)少的時(shí)候，試驗(yàn)結(jié)果不一定與預(yù)測(cè)可能性大小相符。但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，試驗(yàn)結(jié)果將越來越接近預(yù)測(cè)的可能性大小。雖然從教材的編寫來看，并不強(qiáng)調(diào)頻率與概率的關(guān)系，但是讓學(xué)生了解這兩者的關(guān)系，也將成為認(rèn)識(shí)概率逐步完善的過程?？傊瑥奶骄康哪康男詠碓O(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，從數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系入手，從思維原點(diǎn)出發(fā)的教學(xué)，進(jìn)一步幫助小學(xué)生獲取并積累“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳玉英.基于學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的中學(xué)（初中）概率教學(xué)實(shí)踐研究[D].四川師范大學(xué)，2014.

[2]孔德鵬，端木彥.基于數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)的整體分析：以“隨機(jī)事件及其概率”為例[J].中國數(shù)學(xué)教育，2017（20）：2-5.

編輯 張佳琪