任勝兵,黃 飛,劉 媛

(中南大學(xué) 軟件學(xué)院,長沙 410075)

1 引 言

信息物理融合系統(tǒng)[1](Cyber-Physical System,CPS)是集計(jì)算系統(tǒng)與物理系統(tǒng)于一體的下一代智能系統(tǒng),通過嵌入式系統(tǒng)與網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)了兩者之間的實(shí)現(xiàn)深度融合與實(shí)時(shí)交互[2].未來CPS將廣泛應(yīng)用于重要基礎(chǔ)設(shè)施的監(jiān)測與控制、智能交通系統(tǒng)、智能高速公路、智能電網(wǎng)和智慧醫(yī)療等諸多領(lǐng)域.CPS自被美國國家委員會(huì)提出以來,受到了各國政府的廣泛關(guān)注,美國總統(tǒng)科學(xué)技術(shù)顧問委員會(huì)(NSF)把CPS列為關(guān)鍵的研究領(lǐng)域之一,并舉辦了一系列關(guān)于CPS的研討會(huì).自2006年提出至今,CPS的發(fā)展得到了許多國家政府的大力支持和資助,成為學(xué)術(shù)界、科技界研究的重要方向.

由于離散的計(jì)算過程與連續(xù)的物理過程并存于CPS之中,兩者之間的融合特征很難能夠用單一的模型進(jìn)行刻畫.且CPS具有的時(shí)空特性和動(dòng)態(tài)非確定性,現(xiàn)有的建模語言也難以適應(yīng).因此,如何建立可靠的CPS模型成為研究和應(yīng)用CPS的瓶頸.

本文在數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)建模方法的基礎(chǔ)上,將模型的參數(shù)估計(jì)問題看成是一個(gè)集合反演問題,結(jié)合區(qū)間分析思想,提出了區(qū)間GMDH(interval Group Method of Data Handling,iGMDH)算法.由于集合反演求解的SIVIA(Set Inverter via Interval Analysis,SIVIA)算法采用二分法對(duì)估計(jì)參數(shù)的先驗(yàn)搜索域進(jìn)行搜索,使得搜索的空間過大,算法的計(jì)算量成指數(shù)級(jí)增加,需要大量的時(shí)間和內(nèi)存,甚至?xí)苟窒萑胨梨i.為此,本文提出的算法首先對(duì)SIVIA算法進(jìn)行改進(jìn),通過引入收縮算子[3]使算法能夠在解集保持不變的情況下,對(duì)估計(jì)參數(shù)的區(qū)間進(jìn)行壓縮,從而減少計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度.其次,將GMDH算法的輸入及模型計(jì)算轉(zhuǎn)變成區(qū)間數(shù)和區(qū)間運(yùn)算,以區(qū)間的形式實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)和運(yùn)算,并應(yīng)用改進(jìn)后的cSIVIA算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì),進(jìn)一步計(jì)算求得區(qū)間估計(jì)的點(diǎn)估計(jì),并依據(jù)外準(zhǔn)則對(duì)產(chǎn)生的中間模型進(jìn)行篩選,從而建立最終的系統(tǒng)模型.

2 相關(guān)工作

CPS建模是CPS系統(tǒng)研究的熱點(diǎn).伯克利大學(xué)的Lee,Edward A通過總結(jié)現(xiàn)有的仿真控制建模方法提出了“信息系統(tǒng)物理化和物理系統(tǒng)信息化”的概念[4],來解決物理實(shí)體和信息實(shí)體的建模以及二者的交互問題.文獻(xiàn)[5]將CPS系統(tǒng)精化為計(jì)算實(shí)體和物理實(shí)體,并通過分析UML語言及simulink/RTW建模工具構(gòu)建計(jì)算實(shí)體模型和物理實(shí)體模型的可行性提出了基于UML框架的兩種異質(zhì)模型融合方法.文獻(xiàn)[6]利用AADL對(duì)CPS建模進(jìn)行擴(kuò)展,給出了一種新的建模語言CPSADL的編譯方法.并以月球車輛自主行走系統(tǒng)為例,說明了CPSADL的應(yīng)用.文獻(xiàn)[7]通過深入分析諸如異構(gòu)、分布式車載CPS軟件的特點(diǎn),提出了一種車載CPS軟件的建模方法,以擴(kuò)展混合自動(dòng)機(jī)為形式化的建模工具,從服務(wù)提供的角度出發(fā),分別將監(jiān)控設(shè)備實(shí)體置主體作為設(shè)備服務(wù).最后,以車輛速度控制系統(tǒng)為例說明了建模方法的有效性.文獻(xiàn)[8]通過對(duì)現(xiàn)有軟件體系結(jié)構(gòu)進(jìn)行擴(kuò)展,提出了一種新的CPS體系結(jié)構(gòu)模式,滿足了信息物理系統(tǒng)的建模需求,增加了對(duì)CPS的物理系統(tǒng)和信息系統(tǒng)之間交互的建模支持.并以鍋爐溫度控制系統(tǒng)為例,論證了CPS體系結(jié)構(gòu)模式的應(yīng)用.以上提出的CPS建模方法,在建立模型之前,建模者都需掌握其運(yùn)行環(huán)境及所經(jīng)狀態(tài),以及每個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)換所需的事件.而隨著CPS復(fù)雜度的增加,面臨環(huán)境的日益復(fù)雜,在構(gòu)建系統(tǒng)框架或分析系統(tǒng)時(shí)這些方法都變得難以適應(yīng).

基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的CPS建模是復(fù)雜CPS建模的另一類重要方法.通過使用經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)來對(duì)CPS運(yùn)行過程中的主要屬性(自相似、非平穩(wěn)性)進(jìn)行描述,根據(jù)系統(tǒng)特征從數(shù)據(jù)中找出普遍規(guī)律并建立模型.文獻(xiàn)[9]提出了一種從數(shù)據(jù)出發(fā)建立CPS系統(tǒng)模型的方法,從獲取的離散數(shù)據(jù)中提取能夠反映系統(tǒng)屬性的特征值,運(yùn)用GMDH算法[10,11]建立系統(tǒng)模型,實(shí)現(xiàn)了連續(xù)物理事件與離散計(jì)算系統(tǒng)的深度融合.GMDH算法是一種啟發(fā)式自組織的建模方法,它能夠根據(jù)輸入、輸出變量原始的信息構(gòu)造出模型,并利用外準(zhǔn)則選取最優(yōu)模型,實(shí)現(xiàn)對(duì)研究系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的模擬.其在結(jié)構(gòu)上具有的自組織、全局選優(yōu)的特性,使其能夠有效地對(duì)復(fù)雜多變量系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)[12,13].然而,由于計(jì)算機(jī)字長有限導(dǎo)致的數(shù)據(jù)不精確性以及隨機(jī)噪聲引起的數(shù)據(jù)不確定性,使得計(jì)算機(jī)在處理程序時(shí)得到的浮點(diǎn)計(jì)算結(jié)果與理論計(jì)算之間存在著誤差,GMDH算法在進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì)的過程中,其計(jì)算產(chǎn)生的誤差,再次參與運(yùn)算時(shí)將在原有的基礎(chǔ)上進(jìn)一步產(chǎn)生誤差.尤其是在建立分層模型的過程中不斷擴(kuò)大進(jìn)而產(chǎn)生誤差累積的作用,最終可能得到無效結(jié)果.

區(qū)間分析[14]是R.E.Moore等人為了研究計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算所產(chǎn)生的誤差問題,于上世紀(jì)60年代初提出的.區(qū)間分析能夠以區(qū)間的形式實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)與運(yùn)算,從而避免浮點(diǎn)運(yùn)算所產(chǎn)生的誤差,保證了計(jì)算結(jié)果的可靠性.另外,還可以把某些不確定性表述為區(qū)間,并直接包含在區(qū)間算法之中,可以很好地表示其可行集.因此,區(qū)間分析被認(rèn)為是系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)的一個(gè)有力工具.

SIVIA算法作為區(qū)間分析在非線性系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)中的經(jīng)典算法,能夠在給定精度內(nèi)求出參數(shù)值的全部全局最優(yōu)解,并能給出包含最優(yōu)解且滿足要求的任意小區(qū)間.文獻(xiàn)[15]根據(jù)先驗(yàn)知識(shí),實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和模型的附屬要求將數(shù)據(jù)與相應(yīng)模型輸出之間的誤差包含在已知的可行域中,并描述出了貝葉斯最優(yōu)置信域.文獻(xiàn)[16]提出了一種基于區(qū)間分析的有界誤差估計(jì)方法來識(shí)別定向井有桿抽油系統(tǒng)的粘滯阻尼系數(shù)和庫侖摩擦系數(shù),與傳統(tǒng)的估計(jì)方法相比,該方法不僅具有全局性且不需要初始化,還能夠避免由于測量輸出數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換而產(chǎn)生的數(shù)量誤差.文獻(xiàn)[17]通過將非線性邊界誤差估計(jì)問題看做一種反演集合,提出了一種根據(jù)機(jī)器人車載傳感器、環(huán)境傳感器以及其他機(jī)器人的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)估計(jì)移動(dòng)機(jī)器人位置的方法,解決了大型協(xié)作環(huán)境中移動(dòng)機(jī)器人的定位問題.然而,SIVIA算法在采用二分法對(duì)先驗(yàn)搜索域進(jìn)行搜索時(shí),使得算法需要大量的時(shí)間和內(nèi)存,甚至?xí)苟窒萑胨梨i.因此,本文提出的算法首先對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn).

3 基于區(qū)間分析的iGMDH算法

GMDH算法通常采用最小二乘估計(jì)對(duì)建立的模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì).但由于觀測誤差、模型的結(jié)構(gòu)誤差以及隨機(jī)噪聲等不確定因素的存在,容易造成輸入數(shù)據(jù)不精確、難以確定的問題.為了解決這個(gè)問題,本文通過引入?yún)^(qū)間分析的算法,將GMDH算法的輸入轉(zhuǎn)變成區(qū)間數(shù),基于區(qū)間進(jìn)行運(yùn)算,建立了具有區(qū)間參數(shù)的CPS系統(tǒng)模型,其具體的建模流程如圖1所示.

圖1 區(qū)間GMDH算法的建模流程Fig.1 Modeling process of interval GMDH algorithm

其中x1,x2,…,x5為系統(tǒng)5個(gè)可能的輸入變量,對(duì)輸入變量兩兩組合之后,運(yùn)用SIVIA算法進(jìn)行區(qū)間估計(jì)得到待估參數(shù)的估計(jì)集,生成第一層的中間模型u1,u2,…,u10.計(jì)算出所得估計(jì)集的中心,作為參數(shù)估計(jì)的點(diǎn)估計(jì).并根據(jù)算法的外準(zhǔn)則篩選出第二層的輸入變量,重復(fù)上述步驟,依次產(chǎn)成第二層的中間模型z1,z2,…,z6,在外準(zhǔn)則達(dá)到最優(yōu)時(shí),停止建模并得到最優(yōu)模型y.

由于SIVIA算法在進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的過程中,采用二分對(duì)先驗(yàn)搜索域(priori search set)進(jìn)行遞歸地搜索,這會(huì)使算法的計(jì)算量成指數(shù)級(jí)增加,從而耗費(fèi)大量的時(shí)間和內(nèi)存,甚至?xí)苟窒萑胨梨i.為此,本文的算法中首先對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn),通過引入收縮算子,在解集保持不變的情況下對(duì)估計(jì)參數(shù)的搜索域進(jìn)行壓縮,從而減少計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度(子塊pavings中box的數(shù)量),提高算法的速度和效率.

3.1 SIVIA算法及其改進(jìn)

3.1.1 SIVIA算法

(1)

公式(1)中的y(xi)表示輸入xi的觀測值,ym(p,xi)為輸入xi的理論輸出.由式子可以看出隨著樣本容量的增多,S包含的范圍將逐步縮小,參數(shù)集S的長度也就越小,當(dāng)樣本容量足夠多時(shí),待估參數(shù)的可行值越接近系統(tǒng)模型的真實(shí)參數(shù).由于f是多參數(shù)非線性函數(shù)時(shí),式(1)表示的S不能準(zhǔn)確的計(jì)算出來,所以通過f的反函數(shù)f-1轉(zhuǎn)化為式(2)的集合反演問題來進(jìn)行求解.

S=f-1(Y)∩P

(2)

(3)

3.1.2 改進(jìn)的SIVIA算法cSIVIA

圖2 改進(jìn)的SIVIA算法cSIVIA
Fig.2 Improved SIVIA algorithm cSIVIA

3.2 iGMDH算法

在UBB(unknow-but-bounded)[18]假設(shè)下,iGMDH算法在對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí),只需知道待估參數(shù)取值的范圍,不需要其他人為的假設(shè),這在一定程度上避免了人的主觀因素對(duì)參數(shù)估計(jì)結(jié)果的影響.與GMDH算法相比,iGMDH算法能夠?qū)MDH算法的輸入及模型計(jì)算轉(zhuǎn)變成區(qū)間數(shù)和區(qū)間運(yùn)算,并把系統(tǒng)模型的參數(shù)估計(jì)看成是集合反演問題,應(yīng)用cSIVIA算法求得待估參數(shù)近似但可靠的估計(jì)集,從而很好地解決浮點(diǎn)運(yùn)算所產(chǎn)生的誤差及誤差累積問題.經(jīng)過進(jìn)一步計(jì)算,還可以得到待估參數(shù)的點(diǎn)估計(jì).并且,即使在只有少量輸入數(shù)據(jù)的情況下也可以進(jìn)行參數(shù)的估計(jì),且隨著數(shù)據(jù)量的增多,提供的信息越豐富,估計(jì)的精度也就越高.

若系統(tǒng)有m個(gè)輸入x1,x2,…,xm,y為該系統(tǒng)的輸出.則給定一組輸入值就必有一y值與之對(duì)應(yīng).假定有N組x的值及對(duì)應(yīng)的輸出y,則iGMDH算法建立系統(tǒng)模型的流程如圖3所示.圖3為iGMDH算法的偽代碼,算法第1步首先對(duì)數(shù)據(jù)集進(jìn)行了處理,通過提取反映系統(tǒng)本質(zhì)的特征屬性m,確定系統(tǒng)輸入變量—輸出變量的樣本集合N,并將其分為訓(xùn)練集Nt和測試集Nc,其中,Nt≥Nc且Nt∪Nc=N,Nt∩Nc=φ.其次,通過2～3步構(gòu)造K-G多項(xiàng)式,如公式(4)所示.

(4)

(5)

重復(fù)進(jìn)行上述步驟,依次產(chǎn)生第二層、第三層的中間模型,如果新一層的Rmin不再減小時(shí),則建模停止,并得到系統(tǒng)的最終模型(最優(yōu)復(fù)雜度模型).

圖3 iGMDH算法
Fig.3 iGMDH algorithm

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

實(shí)驗(yàn)選用文獻(xiàn)[9]中的數(shù)據(jù)集,該數(shù)據(jù)集由加州大學(xué)歐文分校(UCI)在實(shí)際運(yùn)行環(huán)境下測得,表1給出了數(shù)據(jù)集的一些相關(guān)屬性.表1所述的數(shù)據(jù)集中有在各種特征條件下汽車的自動(dòng)規(guī)約值、風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)和與指定的其他汽車相比其歸一化的損耗值.在開始測試各數(shù)據(jù)之前會(huì)根據(jù)汽車的價(jià)格為每一種類型初始化分配一個(gè)安全等級(jí),如果該汽車測試得出其安全性能降低(升高),則相應(yīng)的增大(減小)其對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)等級(jí),+3便是汽車的安全性能最低,-3表示其安全系數(shù)最高.實(shí)際上,原始數(shù)據(jù)集包含26個(gè)屬性,但由于其中的10條對(duì)進(jìn)行分析的對(duì)象(安全系數(shù))的影響系數(shù)較低,因此可以忽略不計(jì),直接剔除.在實(shí)驗(yàn)的過程中,將風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)設(shè)為輸出變量,其他15個(gè)屬性作為輸入變量來構(gòu)建系統(tǒng)的連續(xù)模型.本文進(jìn)行的所有實(shí)驗(yàn)都是在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理后進(jìn)行的.

4.2 參數(shù)估計(jì)性能實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)對(duì)以汽車的“歸一化損耗”為輸出變量,“輪距”和“車速”為輸入變量建立的模型分別運(yùn)用cSIVIA算法和SIVIA算法對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行了估計(jì).本實(shí)驗(yàn)中,實(shí)際觀測數(shù)據(jù)與模型輸出間的誤差E為[-1.0,1.0],先驗(yàn)搜索域?yàn)閇-10,10]×[-10,10]×[-10,10]×[-10,10]×[-10,10]×[-10,10],容差參數(shù)ε0為0.01,不動(dòng)點(diǎn)fp為0.001.實(shí)驗(yàn)主要對(duì)兩種算法的計(jì)算時(shí)間和計(jì)算過程中子塊pavings產(chǎn)生的盒子數(shù)量進(jìn)行了對(duì)比.從表2中看出本文提出的cSIVIA算法在時(shí)間和產(chǎn)生的盒子數(shù)量上要少于SIVIA算法.

表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集的屬性
Table 1 Properties of experimental data sets

symbolingNormalized-lossesWheel-baselengthwidthheight-3,-2,-1,0,1,2,3From 65 to 256From 86.6 to 120.9From 141.1to 208.1From 60.3 to 72.3From 47.8to 72.3Curb-weightEngine-sizeborestrokeCompression-ratiohorsepowerFrom 1488 to 4066From 61 to 326From 2.54 to 3.94From 2.07to 4.17From 7 to 23From 48 to 288Peak-rpmCity-mpgHighway-mpgpriceFrom 4150 to 6600From 13 to 49From 16 to 54From 5118to 45400

表2 兩種算法的比較
Table 2 Comparison of two algorithms

算法 計(jì)算時(shí)間產(chǎn)生的盒子數(shù)(boxes)SIVIA136S212381cSIVIA105S168175

4.3 CPS建模實(shí)驗(yàn)

圖4 模型參數(shù)的估計(jì)結(jié)果Fig.4 Estimation results of model parameters

y=[-0.030218,-0.027986]+[0.696037,0.7098921]u1

(6)

u1=[-0.065031,-0.064567]+[0.3891221,0.3902663]x1

(7)

u2=[-0.501329,-0.479862]+[-0.682412,-0.647312]x2

(8)

4.4 建模誤差實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證iGMDH算法的優(yōu)越性,本文做了兩組對(duì)比實(shí)驗(yàn),一組是不含隨機(jī)噪聲的實(shí)驗(yàn),另一組是向?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)集中加入隨機(jī)噪聲的實(shí)驗(yàn),分別用兩組實(shí)驗(yàn)來說明在數(shù)據(jù)不精確性和數(shù)據(jù)不確定性的情況下,運(yùn)用GMDH算法和iGMDH算法建模時(shí)的具體對(duì)比狀況.

4.4.1 不含隨機(jī)噪聲的情況

本文選用平均相對(duì)誤差作為模型誤差來評(píng)估參數(shù)估值偏離真值的程度,圖5和圖6分別為iGMDH算法與GMDH算法建立模型的最小均方根值及模型誤差結(jié)果對(duì)比圖.由圖5和圖6可知,iGMDH算法建模產(chǎn)生的最小均方根值與模型誤差均比GMDH算法的小,兩種算法的誤差及最小均方根值的變化趨勢都呈現(xiàn)出先減小而后增大的趨勢.這是由于在建立前兩層模型時(shí)誤差產(chǎn)生的累積作用較小,而算法本身具有的收斂性,能夠在誤差達(dá)到最小的情況下,選出系統(tǒng)的最優(yōu)模型.但在建立的分層模型中,即使模型誤差再小也具有一定的誤差累積作用,并且隨著模型層數(shù)的增多,所產(chǎn)生誤差的累積作用就會(huì)越大,從而影響模型的精確度.而iGMDH算法則不存在這個(gè)問題,它能夠?qū)⑷≈挡痪_的浮點(diǎn)數(shù)存儲(chǔ)為區(qū)間,基于區(qū)間進(jìn)行計(jì)算.因此,應(yīng)用其建立的模型要比GMDH算法所建的模型更加精確、可靠.

圖5 最小均方根值比較Fig.5 Comparison of the minimum RMS

圖6 模型誤差的比較Fig.6 Comparison of model errors

4.4.2 含有隨機(jī)噪聲的情況

我們向?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)集中加入均值為0,標(biāo)準(zhǔn)差為0.1的正態(tài)隨機(jī)噪聲.實(shí)驗(yàn)將不含隨機(jī)噪聲的實(shí)測數(shù)據(jù)求得的歸一化損耗值作為“真實(shí)值”.將含有隨機(jī)噪聲的實(shí)測數(shù)據(jù)求得的歸一化損耗值作為“實(shí)測值”,這樣做能夠保證參數(shù)估計(jì)的所有誤差僅來源于樣本數(shù)據(jù)及參數(shù)估計(jì)的方法本身,以便于研究隨機(jī)噪聲對(duì)模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果的影響.表3為在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不含隨機(jī)噪聲和含有隨機(jī)噪聲的情況下,iGMDH算法與文獻(xiàn)[12]中GMDH算法選擇相同變量建立模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果.由表3可以看出在有隨機(jī)噪聲干擾的情況下,GMDH算法參數(shù)估計(jì)結(jié)果明顯偏離了參數(shù)的真實(shí)值,而iGMDH算法無論是在有噪聲干擾的情況下還是無噪聲干擾的情況下,都能穩(wěn)健地得到可靠的逼近真實(shí)值的解集.進(jìn)一步計(jì)算求得區(qū)間參數(shù)的點(diǎn)估計(jì),通過計(jì)算模型的相對(duì)誤差來評(píng)估參數(shù)估計(jì)值偏離其真值的程度,即參數(shù)的估計(jì)精度.求得iGMDH的平均相對(duì)誤差為1.56363%,GMDH算法的為3.40609%,由此可以得出,iGMDH算法估計(jì)精度、抗噪性均優(yōu)于GMDH算法.

表3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有噪聲、無噪聲情況下兩種算法參數(shù)估計(jì)結(jié)果對(duì)比
Table 3 Comparison of parameters estimation results between two algorithms with or without noise in experimental data

無隨機(jī)噪聲有隨機(jī)噪聲區(qū)間GMDHGMDH 區(qū)間GMDHGMDH A [-0.030218,-0.027986]-0.0288 [-0.035607,-0.025419]-0.0145 B [0.696037,0.7098921]0.7052 [0.679346,0.72314715]0.8164 C[0.260018,0.275146]0.2738 [0.2589316,0.289710]-0.0221 D [-1.613138,-1.496873]-1.5375 [-1.654271,-1.4867359]-0.6956 E [1.279510,1.2925138]1.2859 [1.27698465,1.3109412]0.9670 F[0.317692,0.335104]0.3248 [0.3068923,0.3449271]0.3078

5 結(jié) 語

為了解決CPS系統(tǒng)建模過程中由于數(shù)據(jù)不精確性以及隨機(jī)噪聲引起的數(shù)據(jù)不確定性產(chǎn)生的誤差及誤差累積問題,本文將GMDH算法用區(qū)間分析的算法加以改進(jìn),首先通過引入收縮算子,對(duì)估計(jì)參數(shù)的搜索域進(jìn)行壓縮,改進(jìn)了SIVIA算法,提出了cSIVIA算法.其次,將GMDH算法的輸入和計(jì)算轉(zhuǎn)變?yōu)閰^(qū)間數(shù)和區(qū)間計(jì)算,利用cSIVIA算法進(jìn)行模型的參數(shù)估計(jì),從而提出新的算法—iGMDH算法,建立了具有區(qū)間參數(shù)的模型.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的iGMDH算法能夠使估計(jì)得到的區(qū)間參數(shù)直接包含在計(jì)算之中,在有無噪聲干擾的情況下都能夠得到待估參數(shù)近似但可靠的估計(jì)集.與GMDH算法相比,算法的精確度高、抗噪性強(qiáng),有效地解決了建模過程中存在的誤差及誤差累積問題,為我們更加準(zhǔn)確地估計(jì)和評(píng)價(jià)所得結(jié)果提供了新的依據(jù).此外,該算法在樣本容量較少的情況下也能夠求得模型參數(shù)的近似估計(jì),這對(duì)于CPS系統(tǒng)的研究與應(yīng)用具有重要意義.