曠菊紅，石艷香，袁利國

（1.五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020；2.山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006；3.華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東 廣州 510642；4.玉林師范學(xué)院 復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化與大數(shù)據(jù)處理廣西高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 玉林 537000）

1 引言與主要結(jié)果

本文主要研究一類具有p-Laplacian算子的高階差分方程

的周期解，這里n為確定的正整數(shù)，p為大于1的常數(shù)，對所有的是一個(gè)正的T周期序列，這里T是一個(gè)正整數(shù).f:Z×R→R，對第一變量是T周期的，對第二變量連續(xù)的.Δ是差分算子：

差分方程出現(xiàn)在很多領(lǐng)域[1-2]，比如經(jīng)濟(jì)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等. 近十年來，離散p-Laplacian問題已經(jīng)成為熱點(diǎn)問題[3-12]，其中采用的方法有上下解的方法、不動點(diǎn)理論、山路引理和環(huán)繞定理等. 最近臨界點(diǎn)理論有一些新的研究成果[7,13-19]，其中G.Bonanno[13]在研究變分泛函為無下界的情形時(shí)，得到最少存在兩個(gè)不同的臨界點(diǎn).

Deng[8]研究了非線性項(xiàng)f在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和零點(diǎn)都是超p次時(shí)，式（1）周期解的存在性，我們[12]用山路引理結(jié)合周期逼近也研究了非線性項(xiàng)f在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和零點(diǎn)都是超p次時(shí)，式（1）同宿解的存在性. 然而，當(dāng)非線性項(xiàng)f在零點(diǎn)處是次p次時(shí)，山路引理不能直接使用，受文獻(xiàn)[5]、[7]和[12]的啟發(fā)，本文要研究當(dāng)非線性項(xiàng)在零點(diǎn)處是p次時(shí)，式（1）的周期解問題.

在本文中，我們假設(shè)以下兩個(gè)條件總是滿足：

（q）q（k）＞0且對所有的k∈? ,q（k+T）=q（k）.和q*分別表示｛q（k）｝的最大值和最小值.

（f）f（k,u）關(guān)于第一變量是T周期的，關(guān)于第二個(gè)變量連續(xù)的，且.

下面首先介紹本文的主要結(jié)果.

定理1假設(shè)條件（q）和（f）成立，且對所有的x＜0 ,k∈[1,T]都有f（k,u）≥ 0 ，

其中

則對每一個(gè)λ∈Λ1，

式（1）至少存在兩個(gè)非零周期解uλ1和uλ2.

推論 1假設(shè)條件（q）和（f）成立，且對所有的x＜0 ,k∈[1,T]都有f（k,u）≥ 0 ，如果對所有的k∈[1 ,T]，

則對每一個(gè)λ∈Λ*，

這里c為任意正數(shù)，式（1）至少存在兩個(gè)非零周期解.

例1取p= 2 ,n= 1 ,T= 2 ，對所有的k∈[1,T]，都有q（k）=1和

定理2假設(shè)條件（q）和（f）成立，如果存在兩個(gè)正常數(shù)a和ρ，使得

而且存在兩個(gè)正常數(shù)c*,d*，并滿足d*＜c*和

其中

式（2）至少存在兩個(gè)非零周期解uλ1和uλ2.

注1假設(shè)定理2所有的條件滿足，而且對任意的k∈?,f（k,u）關(guān)于u是奇函數(shù)，則式（1）至少存在四個(gè)非零周期解±uλ1和±uλ2.

推論2假設(shè)條件（q）和（f）成立，對任意的k∈? ,f（k,u）關(guān)于u是奇函數(shù)，且對任意的k∈[1,T]，有

則對每一個(gè)λ∈Λ*，

這里c為任意正數(shù)，式（1）至少存在四個(gè)非零周期解.

例2取p=2 ,n=1 ,T= 2，對所有的k∈[1,T]，都有和

容易證明，對任意的λ∈（0,13），推論2的所有條件都滿足，所以式（1）至少存在四個(gè)非零周期解.

2 變分框架

本節(jié)我們將建立與方程式（1）相應(yīng)的變分框架，并給出證明主要結(jié)論所需的引理.令

定義S的子集E為

顯然E是S的一個(gè)線性子空間，與RT同構(gòu). 在E中定義范數(shù)如下：

在E上定義泛函

由于

所以

在E上我們又定義范數(shù)如下：

又定義泛函ψ（u），

容易證明 Φ,ψ∈C1(E,R)，且Frechet導(dǎo)數(shù)為

由于

所以

且

由（13）、（14）和（16）可知，Iλ在E上的臨界點(diǎn)是式（1）的周期解.

定義1假設(shè)是一個(gè)序列，如果是有界的且隨著j→+∞，我們稱｛xj｝是I的Palais-Samale序列（P.S序列）. 如果I的任意一個(gè)P.S序列都有一個(gè)收斂的子列，我們稱I滿足P.S條件.

為證明主要結(jié)論，我們需要下面的引理.

引理1[4]X是實(shí)Banach空間，且 Φ,ψ∈C1（X,R），均滿足. 假設(shè)存在r∈R,u*∈X，使得0＜Φ（u*）＜r和

且對任意的

泛函Iλ=Φ-λψ滿足P.S條件且是無下界的. 則對每一個(gè)Iλ至少存在兩個(gè)非零的臨界點(diǎn)uλ1和uλ2，且滿足Iλ（uλ1）＜Iλ（uλ2）.

3 主要結(jié)果的證明

引理2假設(shè)，且對所有的x＜0 ,k∈[1,T]，都有f（k,x）≥ 0 ，則對任泛函Iλ滿足P.S條件且是無下界的.

引理2的證明假設(shè)序列是E中的一個(gè)序列，且滿足隨著j→+∞. 對任意的k∈?，定義｝，則，，且對任意的.

且

所以

由上式可知，存在正常數(shù)M＞0使得對所有的k∈[1,T] ,j∈?+，都有，所以，即

然后，我們證明｛uj｝是有界的. 用反證法，假設(shè)｛uj｝是無界的，也就是是無界的，由可得，存在正常數(shù)δ＞0，使得對所有的s＞δ和k∈[1,T]，都有F（k,s）＞lsp. 定義

再由F（k,u）的周期性和式（20），容易證明

因此，對任意的j∈?+，

定理1的證明因?yàn)棣岛挺追謩e如式（8）和（11）所定義，易證Φ和ψ滿足引理1的所有假設(shè)，為了應(yīng)用引理1，下面只需證明式（17）即可.

任取u∈Φ-1（-∞,r]，則

則

且

這里

則易證 Φ （u*）＜r且

再由式（23）和（3），可得式（17）. 所以由引理1得，對任意的λ∈Λ1，方程（1）至少有兩個(gè)非零的解. 證畢.

定理2的證明首先證明，對任意的，泛函Iλ滿足 P.S條件且是無下界的.

假設(shè)序列｛uj｝是E中的一個(gè)序列，且｛Iλ（uj）｝是有界的，即存在M*使得

定義

易證，

結(jié)合式（9）可得，對任意的j∈?+