江蘇省海門中學(xué) 鄧 杰

數(shù)學(xué)思想作為對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的運(yùn)用與總結(jié)，是解決問(wèn)題的基本思路之一。常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法有推斷、分類討論、數(shù)形結(jié)合、模型化、公理化和隨機(jī)化等，屬于數(shù)學(xué)科目的精髓和靈魂。在高中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，概率題是一種較為特殊的題目，題型也顯得與眾不同，教師需指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法來(lái)分析和解答概率題，從而提高解題的準(zhǔn)確度與速度。

一、運(yùn)用列舉事件思想方法，清晰求解題目答案

高中數(shù)學(xué)中的概率題雖然難度一般，但是對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力和分析能力要求較高，在一般題型中經(jīng)常要用到列舉事件的方式來(lái)求解，現(xiàn)已得到廣泛的使用，這其實(shí)就是對(duì)列舉事件數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。因此，在解決高中數(shù)學(xué)概率題時(shí)，教師要提倡學(xué)生運(yùn)用列舉事件的數(shù)學(xué)思想方法，使其結(jié)合題意，把可能發(fā)生的所有事件都羅列出來(lái)并進(jìn)行逐個(gè)分析，隨后挑選出滿足題目要求的事件，這樣他們能夠清晰、準(zhǔn)確地挑選出正確答案，降低錯(cuò)誤現(xiàn)象的出現(xiàn)。

例如：假如一次同時(shí)拋擲三枚硬幣，那么正好有兩枚反面朝下、一枚正面朝上的概率是多少？解析：在拋擲硬幣時(shí)，每枚硬幣的結(jié)果只有反面與正面兩種情況，三枚硬幣同時(shí)拋擲會(huì)出現(xiàn)以下8種情況：反反反、反反正、反正反、反正正、正反正、正反反、正正反、正正正。其中滿足題目要求的有反反正、反正反和正反反3種，那么要求解的概率是38。又如：在某次數(shù)學(xué)考試中，甲、乙、丙三人及格(互不影響)的概率0.4、0.2、0.5，考試結(jié)束后，最容易出現(xiàn)幾個(gè)人及格？解答：按以下四種情況計(jì)算概率，三人都及格的概率P1；三個(gè)人都不及格的概率P2；恰有兩人及格的概率P3；恰有1人及格的概率P4，通過(guò)計(jì)算，最容易出現(xiàn)的是恰有1人及格的情況。

如此，運(yùn)用列舉事件的數(shù)學(xué)思想方法，把可能出現(xiàn)的所有情況均羅列出來(lái)，幫助學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)題目，把復(fù)雜的概率問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化，通過(guò)認(rèn)真分析和篩選，找出符合題目要求的情況。由淺入深、由此及彼，在教師的引領(lǐng)與啟發(fā)下，讓學(xué)生樂(lè)在其中、學(xué)在其中，漸進(jìn)式地感悟數(shù)學(xué)思想的魅力所在，促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的可持續(xù)發(fā)展。

二、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法，簡(jiǎn)化學(xué)生解題過(guò)程

數(shù)形結(jié)合是一個(gè)慣用的數(shù)學(xué)思想方法，貫穿于整個(gè)教育階段，包括小學(xué)、初中和高中等，適用的題目類型也較為廣泛。在處理高中數(shù)學(xué)概率題時(shí)，部分題目如果直接采用公式法將會(huì)顯得異常復(fù)雜、困難，要想順利解決，針對(duì)條件組合類的概率題，可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。為此，教師應(yīng)結(jié)合具體題目，指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解答概率題，通過(guò)圖像把抽象化的概率題變得直觀化、具體化，優(yōu)化他們的解題思路，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

例如：甲、乙兩人計(jì)劃上午8點(diǎn)至9點(diǎn)之間在體育場(chǎng)見(jiàn)面，規(guī)定無(wú)論誰(shuí)先到體育場(chǎng)均等待15分鐘，假如對(duì)方仍然沒(méi)有到達(dá)就可以離開(kāi)，那么甲、乙兩人可以見(jiàn)面的概率是多少？解析：由于甲、乙兩人計(jì)劃的時(shí)間為8點(diǎn)至9點(diǎn)，共1個(gè)小時(shí)，該時(shí)間段一共是60分鐘，可以建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，分別用x軸與y軸代表甲、乙兩人達(dá)到體育場(chǎng)的時(shí)間，并設(shè)甲、乙兩人達(dá)到體育場(chǎng)的時(shí)間分別是x與y，由于先到15分鐘的可以離開(kāi)，那么兩人可以見(jiàn)面的條件為丨x-y丨≤15，如下圖所示：

其中正方形表示整個(gè)時(shí)間，上下兩個(gè)三角形表示甲、乙無(wú)法見(jiàn)面的時(shí)間，剩余的中間部分則表示甲、乙兩人可以見(jiàn)面的時(shí)間，計(jì)算出該部分所占正方形面積的比例，即求出兩人見(jiàn)面的概率。

上述案例中的概率題很難采用學(xué)習(xí)過(guò)的理論和公式求解，把題目中的已知條件在圖像中呈現(xiàn)出來(lái)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，學(xué)生可以簡(jiǎn)潔、直觀地分析，將問(wèn)題變得直白和簡(jiǎn)單，還容易理解。

三、采用對(duì)立求解思想方法，快速解決概率問(wèn)題

對(duì)立事件指的是：A和B的交集是不可能事件，A和B的并集則是必然事件，那么A事件和B事件就相互對(duì)立，是一組對(duì)立事件，即A事件和B事件必須且僅有一個(gè)發(fā)生，這同樣是一種典型的數(shù)學(xué)思想方法。在解答高中數(shù)學(xué)概率題時(shí)，遇到包含情況較多的求解類事件時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生采用對(duì)立求解的數(shù)學(xué)思想方法。由于所有事件的總概率是1，那么用1減去對(duì)立事件的發(fā)生概率，就能夠求出題目中所要求的概率，從而快速解決問(wèn)題。

例如：將一個(gè)骰子先后投擲兩次，那么出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和小于12的概率是多少？解析：由于題目中是將骰子先后投擲兩次，表明每次投擲的結(jié)果不會(huì)受到外界因素的影響，而且每次投擲結(jié)果是1至6點(diǎn)的概率相同，都是1/6。求的是兩次投擲結(jié)果點(diǎn)數(shù)之和小于12的事件，可以把該事件設(shè)為A，那么兩次投擲結(jié)果點(diǎn)數(shù)之和大于等于12的事件就是A事件的對(duì)立事件，用B來(lái)表示，且B事件發(fā)生的概率為1減去A事件發(fā)生的概率。因?yàn)閮纱瓮稊S結(jié)果點(diǎn)數(shù)之和小于12出現(xiàn)的情況比較多，點(diǎn)數(shù)之和大于等于12的情況僅有一種，即為6、6。兩次投擲骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)一共有6×6＝36種情況，則P（B）＝，得出P（A）＝1-＝，也就是說(shuō)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和小于12的概率是。

針對(duì)上述案例，當(dāng)所求概率對(duì)立事件出現(xiàn)情況較少或容易表示時(shí)，可以使用對(duì)立求解的數(shù)學(xué)思想方法，先求出對(duì)立事件發(fā)生的概率，再求出正確答案，以此減少錯(cuò)誤情況的出現(xiàn)。此時(shí)，數(shù)學(xué)思想方法不僅讓學(xué)生輕松解決了相應(yīng)的問(wèn)題，更讓學(xué)生增長(zhǎng)了智慧與技能，促進(jìn)學(xué)生綜合素養(yǎng)的提升。

高中數(shù)學(xué)中涉及的思想方法有很多，適用于概率題的也不少，教師在日常教學(xué)中，需刻意滲透各種數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生在解題中要善于總結(jié)和積累，根據(jù)具體題目選用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，不斷提升解題的針對(duì)性和效率。