余小芬

(四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 641100)

數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的學(xué)習活動提供了主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標、實施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源.同時，教材是制定教學(xué)大綱和高考考試大綱的基本依據(jù).羅增儒教授指出：“教材是課程的載體，因此高考命題最具體、最方便的依據(jù)其實是教材.”歷年高考命題中有大量試題直接源于教材或由教材中的例、習題改編而來.比如：2011年高考數(shù)學(xué)陜西卷文理18題直接考教材上余弦定理的敘述及證明、2016年四川卷理10題改編于教材一道求線段中點軌跡方程的例題、2017年全國卷Ⅲ文12題的雙曲正弦、余弦函數(shù)背景源于教材習題.因此，高考復(fù)習，回歸教材是正道.什么是回歸教材呢？回歸教材指帶著一定的目的、任務(wù)或問題回到教材中重新審視教材的過程.由此可見，回歸教材不是簡單閱讀教材、不是簡單羅列知識、不是簡單梳理方法、不是對教學(xué)過程的簡單重現(xiàn)，而是對學(xué)科知識脈絡(luò)的建構(gòu)、對教材編者意圖的領(lǐng)悟、對教材隱性知識的挖掘、對學(xué)科知識本質(zhì)的把握.具體到操作層面應(yīng)該怎么做呢？筆者認為，高三復(fù)習回歸教材可從四個方面展開：厘清知識脈絡(luò)、拓展教材內(nèi)容、開發(fā)“二手”結(jié)論、落實解題變式.

1 厘清知識脈絡(luò)——高三復(fù)習的基本任務(wù)

美國著名學(xué)者布魯納認為：“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu).這是在運用知識方面的最低要求，它有助于解決學(xué)生在課外所遇到的問題和事件，或者在日后訓(xùn)練中遇到的問題.”

因此，厘清知識脈絡(luò)，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系，對高三復(fù)習意義重大，這不僅能扎實基礎(chǔ)知識、掌握基本技能，更能啟發(fā)學(xué)生積極主動地思考、提升數(shù)學(xué)學(xué)習能力、提高應(yīng)試能力和應(yīng)試技巧.下文以人教版函數(shù)與導(dǎo)數(shù)為例，從宏觀和微觀兩個角度進行知識體系的建構(gòu).

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).如果說中學(xué)數(shù)學(xué)的研究對象可分為較單純狀態(tài)的“數(shù)量關(guān)系”、“空間形式”或兩者混合狀態(tài)的“數(shù)形結(jié)合”，那從宏觀角度分析，函數(shù)將不同研究對象有機聯(lián)系了起來，它覆蓋面廣，具有絕對的統(tǒng)率作用(如圖1)：數(shù)可以看成特殊函數(shù)；數(shù)的運算可以看成特殊的二元函數(shù)；代數(shù)式可以容易地被改造成一個函數(shù)；數(shù)列是特殊的函數(shù)；解方程也可納入函數(shù)問題的討論中；解三角形化歸為一個三角函數(shù)問題；函數(shù)與平面曲線具有影子一樣的密不可分關(guān)系.[1]

圖1

從微觀學(xué)習上看，高中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識分布在必修1，選修2-2兩個模塊.包括集合與函數(shù)概念、基本初等函數(shù)Ⅰ、函數(shù)的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用四個學(xué)習專題，涉及概念、公式、法則相當多，且知識零散，不利于學(xué)生對知識的系統(tǒng)把握.因此，筆者結(jié)合教材正文、習題、閱讀材料等內(nèi)容，圍繞函數(shù)的概念、基本性質(zhì)、圖象問題、導(dǎo)數(shù)等核心知識展開梳理，構(gòu)建了如圖2的思維導(dǎo)圖(限于篇幅，以“函數(shù)的性質(zhì)”為例).該思維導(dǎo)圖意義深刻：首先，圖2具有“索引”功能，能讓學(xué)生“按圖索驥”，為復(fù)習鞏固、查缺補漏提供線索和圖示；其次，圖2具有整合功能，實現(xiàn)零散知識的有效整合、相關(guān)知識的緊密銜接，最終保障知識的融合與內(nèi)化；最后，圖2具有育人功能.構(gòu)建圖2對培養(yǎng)學(xué)生形成自主學(xué)習、獨立思考、歸納整理、交流合作等良好習慣方面發(fā)揮獨特作用.陶行知先生曾說：“活的人才教育不是灌輸知識，而是將開發(fā)文化寶庫的鑰匙，盡我們知道的交給學(xué)生.”由此可見，厘清知識脈絡(luò)，構(gòu)建知識體系，正是陶行知先生所倡導(dǎo)的“不是教學(xué)生，乃是教學(xué)生學(xué)”的積極嘗試，是激發(fā)學(xué)習興趣、孕育創(chuàng)新精神的良好途徑.

圖2

2 拓展教材內(nèi)容——高三復(fù)習的廣度保障

教材是知識和能力的載體.教材內(nèi)容往往以學(xué)習形態(tài)、教育形態(tài)呈現(xiàn).因此，教材安排的內(nèi)容從深度和廣度來看是有限的.因此，高三復(fù)習需要拓寬教材內(nèi)容.教材內(nèi)容不僅僅限于正文部分、例題部分、練習題部分、習題部分、復(fù)習題部分，還應(yīng)拓寬到章前語、旁白、閱讀材料等等.比如：選修2-2第一章《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》第20頁閱讀材料“探究與發(fā)現(xiàn)”中介紹了牛頓法——用導(dǎo)數(shù)方法求方程的近似解.該內(nèi)容是對教材正文內(nèi)容的補充和延展，具有深刻的意義：

(1)體現(xiàn)新舊知識有機地銜接.在必修1中，安排了方程的根與函數(shù)的零點之間的關(guān)系、利用二分法求方程的近似解的教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生初步形成了利用數(shù)值法求解指數(shù)方程、對數(shù)方程等超越方程和高次方程的能力；在必修3中，安排了算法和程序框圖的教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生體驗了算法在科學(xué)技術(shù)和社會發(fā)展中的重要作用，培養(yǎng)了算法思想，發(fā)展了有條理地思考與數(shù)學(xué)表達的能力；在選修2-2中，安排了導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義及導(dǎo)數(shù)計算的教學(xué)內(nèi)容，為用牛頓法求方程近似解提供了理論基礎(chǔ).

(2)豐富求解方程近似解的算法，為實現(xiàn)算法的優(yōu)化提供可能.求方程的近似解是一類重要的數(shù)學(xué)問題，解決問題的關(guān)鍵是確定有根區(qū)域和精確近似根.二分法和牛頓法求解方程的近似解各具特點：二分法適用于“閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)，且滿足f(a)·f(b)<0”的情形，是通過計算區(qū)間中點函數(shù)值，縮小有根區(qū)域不斷接近零點的一種線性收斂算法.華羅庚先生將二分法視為特殊情況的優(yōu)選法，它在利用中點縮小有根區(qū)域時不依賴于函數(shù)f(x)，但它不能計算復(fù)根和重根；牛頓法是用曲線f(x)在點(xn,f(xn))處的切線與x軸交點的橫坐標xn+1作為方程f(x)=0的近似解的一種二階方法.牛頓法求非線性方程單根時具有二階收斂速度，但它對初始值x0要求苛刻，而且還要求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).由此可見，兩種方法各有優(yōu)缺點，因此在實際應(yīng)用時常將兩種方法結(jié)合起來，先通過二分法縮小有根區(qū)域，再利用牛頓法迭代運算，從而節(jié)約求解時間，提高運算效率，保障運算精確性，實現(xiàn)算法的組合與優(yōu)化.

(3)蘊涵深刻的數(shù)學(xué)思想.“數(shù)學(xué)思想蘊涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象和概括.”[2]牛頓法求解高次代數(shù)方程蘊含了以直代曲、逼近、近似代替精確、數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想.這樣將數(shù)學(xué)知識與思想方法辯證統(tǒng)一地結(jié)合，能有效促進學(xué)生對知識的理解，對數(shù)學(xué)思想的感悟.

(4)滲透數(shù)學(xué)文化.材料詳細介紹了牛頓在其著作《流數(shù)法》中求解高次代數(shù)方程的數(shù)值解法.同時，材料中思考題還要求學(xué)生進一步了解古今中外對方程根求解的探索歷程，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認識數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學(xué)的價值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識和人文素養(yǎng).

(5)命制高考試題的典型素材.該材料被多次運用到高考命題中，比如：2007年四川高考理科21題就以牛頓法求方程的近似解為命題背景,試題如下：

例1(2007年四川卷·理21)已知函數(shù)f(x)=x2-4，設(shè)曲線y=f(x)在點(xn,f(xn))處的切線與x軸的交點為(xn+1,0)(n∈N*),其中x1為正實數(shù).

(Ⅰ)用xn表示xn+1；

(Ⅱ)證明：對一切正整數(shù)n，xn+1≤xn的充要條件是x1≥2；

圖3

因此，教師應(yīng)充分利用該教材資源，展開研究性學(xué)習：讀材料——明白學(xué)習內(nèi)容和探究問題；思原理——體會利用切線去“以直代曲”地“逼近”方程近似解的數(shù)學(xué)本質(zhì)，能推導(dǎo)牛頓法公式；說流程——能設(shè)計算法框圖表達牛頓法求方程近似解的操作流程；作對比——能體會二分法與牛頓法求解方程近似解的聯(lián)系與區(qū)別，實現(xiàn)新舊知識的有機結(jié)合；悟心得——能反思問題解決中的成功與失敗，能分享古今中外對方程近似解求解方法的探索歷程；活應(yīng)用——通過精選例題，感受牛頓法的應(yīng)用價值，檢驗知識把握程度.總之，學(xué)生在主動閱讀問題、思考問題、解決問題、反思問題的過程中不斷完善認知結(jié)構(gòu)，這對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、創(chuàng)新精神和實踐能力具有深遠的意義.

3 開發(fā)“二手”結(jié)論—高三復(fù)習的深度依靠

高考命題“既源于教材，又高于教材”.因此，高三復(fù)習需要對教材二次開發(fā).二次開發(fā)教材也稱為教材的文本再構(gòu)，主要指教師基于《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》、《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱》，結(jié)合高考命題實際，對教材中的某些內(nèi)容進行刪減、拓展、補充、改進、增補、變式、整合等.通過二次開發(fā)，將學(xué)習形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為應(yīng)試形態(tài)的數(shù)學(xué)、將教材結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為應(yīng)試結(jié)構(gòu).

教材中結(jié)論主要以公式、定理、法則的形式直接呈現(xiàn).事實上，教材中間接隱含了一些結(jié)論(這里稱為“二手”結(jié)論)需要開發(fā).“二手”結(jié)論往往是高考命題的重要取材、是解答高考試題的重要工具.比如：選修2—2習題1.3B組第1題：利用函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式ex>x+1,x≠0，并通過函數(shù)圖象直觀驗證.正如前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家奧加涅所說“很多習題潛在著進一步擴展其教學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可能性……”該習題既有教學(xué)價值，也有應(yīng)用價值.

價值1該習題介紹了證明不等式的重要方法：構(gòu)造函數(shù)法；

價值2利用該習題可以培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)；

價值3由該習題可以得到兩個重要不等式結(jié)論：

結(jié)論1ex≥x+1(x≥0)，當且僅當x=0時等號成立；

結(jié)論2lnx≤x-1(x>0)，當且僅當x=1時等號成立.

結(jié)論1、2在本質(zhì)上是一致的：結(jié)論1指數(shù)化即為結(jié)論2，結(jié)論2取對數(shù)即為結(jié)論1.結(jié)論1、2是眾多高考試題的“生長點”.例如，2017年全國卷Ⅲ理科第21題：

例2(2017年全國卷Ⅲ·理21)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.

(Ⅰ)若f(x)≥0，求a的值；

利用結(jié)論1、2還可作以下探討：

由此可見，結(jié)論1,2是解決高考試題的有力工具.事實上，近年高考中不乏利用結(jié)論1,2解決的試題，例如：2017年全國卷Ⅲ文21題、2017年全國卷Ⅱ理21題、2016年全國卷Ⅲ文21題、2010年全國卷理21題等.正如教育家葉圣陶先生所說：“教材無非是個例子，它只能作為教課的依據(jù).要教得好，使學(xué)生受益，還要靠教師善于運用.”

4 落實解題變式——高三復(fù)習的有效機制

所謂數(shù)學(xué)解題變式，就是數(shù)學(xué)解題中，相對于某種范式(即數(shù)學(xué)教材中具體的數(shù)學(xué)思維成果，含問題情境、基本知識、知識結(jié)構(gòu)、典型問題、思維模式等)的變化形式，在數(shù)學(xué)解題過程中不斷變更數(shù)學(xué)問題中的情境或改變思維的角度，變換問題中的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容，配置各種實際應(yīng)用的環(huán)境等，以期暴露問題的本質(zhì)特征或內(nèi)在聯(lián)系的教學(xué)方法.但這些變化所得到的不同表現(xiàn)形式和原有的問題之間保持一定的相似性，這些變化所得到的不同表現(xiàn)形式成為原來問題的變式.[3]布魯納從心理學(xué)的角度指出：“早期的多樣化訓(xùn)練，是產(chǎn)生理智行為的條件之一，除非學(xué)生經(jīng)歷某些變化，否則難以形成一般編碼.”在布魯納看來，一般性編碼就是較高層次的規(guī)則，而這無疑是我們通常意義上的程序性知識，或稱技能，要形成一般性編碼就要進行變式練習.在解題中運用變式對學(xué)生認識問題的本質(zhì)、完善認知結(jié)構(gòu)有積極的作用.

選修2-2習題1.2 A組第6題(下文簡稱例3)：已知函數(shù)y=xlnx.(1)求這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；(2)求這個函數(shù)的圖象在點x=1處的切線方程.

例3難度不大，考查知識常規(guī).但試題中的函數(shù)模型y=xlnx內(nèi)涵豐富，具有典型性、深刻性，是歷年高考命題的重要素材.因此，從不同角度開發(fā)模型的變式顯得尤為重要.

視角1圍繞利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進行變式

變式1：已知曲線C:y=x-1-xlnx，求曲線C在點(2,1-2ln2)處的切線方程.

變式2：已知曲線C:y=x-1-xlnx，求過點(0,3)的曲線C的切線方程.

變式3：已知函數(shù)f(x)=x-1-xlnx，若過點P(1,t)存在2條直線與曲線y=f(x)相切，求t的取值范圍.

視角2圍繞利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題進行變式.

變式4：求函數(shù)f(x)=x-1-xlnx的單調(diào)區(qū)間.

變式5：已知函數(shù)f(x)=ax-a-xlnx在[1,+∞)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

視角3圍繞利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值、最值問題進行變式.

變式6：求函數(shù)f(x)=x-1-xlnx的極值.

變式8(極值偏移問題)：已知函數(shù)f(x)=x+a-xlnx有兩個零點.

(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個零點，證明x1+x2>2.

視角4圍繞函數(shù)——不等式恒成立問題進行變式.

變式9：設(shè)函數(shù)f(x)=ax-a-xlnx，若當x∈[1,+∞)時，f(x)≤0，求a的取值范圍.

變式10：設(shè)函數(shù)f(x)=x-1-axlnx，若當x∈(0,1)時，f(x)≤0，求a的取值范圍.

視角5圍繞高等數(shù)學(xué)背景——函數(shù)的凹凸性進行變式.

變式12：已知函數(shù)f(x)=x-1-xlnx，設(shè)0

視角6圍繞定積分的幾何意義及簡單應(yīng)用進行變式.

數(shù)學(xué)教育家G·波利亞指出：“如果不‘變化問題’，我們幾乎不能有什么進展.”可以看出，圍繞教材中的看似不起眼的例3，通過變式衍生了一系列經(jīng)典的問題，而這些經(jīng)典的問題幾乎覆蓋高考導(dǎo)數(shù)部分的所有題型，這對于實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)脈絡(luò)化、模塊知識系統(tǒng)化、關(guān)聯(lián)知識整體化有積極意義，對學(xué)生尋“根”究“本”尤為重要.解題變式，無疑是高三復(fù)習的有效機制.

高三復(fù)習，回歸教材是正道.其中，厘清知識脈絡(luò)是基本任務(wù)、拓展教材內(nèi)容是廣度保障、開發(fā)“二手”結(jié)論是深度依靠、落實解題變式是有效機制.這四個方面相為犄角、相互促進，構(gòu)成了回歸教材一個意義系統(tǒng)，為回歸教材構(gòu)建了范式.