史朋真,王春燕,賈廷臣

(太原科技大學(xué) 機械工程學(xué)院，太原 030024)

弧齒錐齒輪是一種重要的傳動零件，由于它具有傳動平穩(wěn)、噪聲低、承載能力大等特點。被廣泛應(yīng)用于汽車、船舶、機床、飛機等機械領(lǐng)域中，因此人們更加重視對弧齒錐齒輪的設(shè)計和制造領(lǐng)域的研究?；↓X錐齒輪復(fù)雜的空間齒面和不規(guī)則的空間曲線給人們建模帶來了困難。傳統(tǒng)的設(shè)計建模方法是將弧齒錐齒輪的球面漸開線近似為基錐平面上的平面漸開線，以螺旋線代替齒輪嚙合節(jié)線，這樣的建模方法影響了弧齒錐齒輪的建模精度，建立出來的弧齒錐齒輪齒面在嚙合傳動中容易產(chǎn)生干涉的現(xiàn)象。本文根據(jù)推導(dǎo)的齒輪嚙合傳動節(jié)線和球面漸開線的數(shù)學(xué)表達式，通過球面漸開線形成原理和弧齒錐齒輪的加工方法，建立弧齒錐齒輪的齒廓曲線，在UG建模模塊環(huán)境下以傳動節(jié)線作為齒面線來掃掠出弧齒錐齒輪的輪齒齒面，從而保證一對輪齒齒面是共軛的。在UG裝配模塊環(huán)境下對一對弧齒錐齒輪進行虛擬裝配，在動力學(xué)模塊環(huán)境下對一對弧齒錐齒輪的進行動力學(xué)仿真，以此來提高弧齒錐齒輪建模和裝配的高效性和準(zhǔn)確性[1]。

1 弧齒錐齒輪齒廓形成原理

在推導(dǎo)弧齒錐齒輪的輪齒齒廓前，我們需要知道弧齒錐齒輪的基本參數(shù)和這些參數(shù)之間對應(yīng)的關(guān)系，如表(1)所示給出了弧齒錐齒輪的模數(shù)、齒數(shù)、壓力角、螺旋角和根據(jù)這些參數(shù)所查到的齒高系數(shù)、徑向、切向變位系數(shù)、名義刀盤半徑等。

1.1 球面漸開線形成原理

如圖1當(dāng)基圓錐以O(shè)為定點在平面OPR做純滾動時，基圓錐母線上與OPR重合的A點運動到B點，形成于球面相重合的AB空間曲線，這就是基圓錐在平面OPR上做純滾動所形成的球面漸開線[2]。由于AB在球面上，所以AB上的點到頂點O都是相等的，以O(shè)為原點建立空間坐標(biāo)系，使XOY平行于AOR。利用空間幾何知識可得到球面漸開線的方程(1)。

圖1 球面漸開線的形成
Fig.1 Formation of spherical involute

(1)

表1 弧齒錐齒輪建模的基本參數(shù)
Tab.1 Basic parameters of spiral bevel gear

大端模數(shù)m3.5齒數(shù)zz1=12 z2=30壓力角α20°螺旋角β35°刀盤半徑rc50.8頂隙系數(shù)c*0.188齒高系數(shù)h*a0.85徑向變位系數(shù)x0.327切向變位系數(shù)xt0分錐角δδ=arctan(z1/z2)分度圓直徑dd=mz基圓直徑dbdb=mzcosα齒頂圓直徑dada=d+2hacosδ齒根圓直徑dfdf=d-2hfcosδ齒頂高haha=(h*a+x)m齒根高hfhf=(h*a+c*-x)m節(jié)錐距RR=d/2sinδ基圓錐錐距RbRb=db/2sinδb齒頂角θaθa=arctan(ha/R)齒根角θfθf=arctan(hf/R)頂錐角δaδa=δ+θa根錐角δfδf=δ-θf齒基高hbhb=(d-db)/2cosδ基圓齒角θbθb=arctan(hb/R)基錐角δbδb=δ-θb

根據(jù)弧齒錐齒輪的嚙合原理和球面漸開線方程，推導(dǎo)齒輪大端和小端的齒面輪廓線。由圖2可知，pp1為球面漸開線，?為p1o1在XOY投影內(nèi)與x軸的夾角，即動點p1的偏角。θ為基圓展開角，Φ為∠p1o1m平面XOY的投影。為平面展開角，ω為動點p1的轉(zhuǎn)角，p1p0hh0是一個矩形，并且垂直于平面omm1，由幾何關(guān)系可得：

圖2 基圓的球面漸開線
Fig.2 Spherical involute of base circle

γ=θsinδb?=θ-Φ

(2)

(3)

(4)

聯(lián)立式(2)、(3)、(4)令ω為節(jié)錐角δ、齒頂角δa、齒根角δf.可分別得到分度圓處偏角?，齒頂處偏角?a，齒根處偏角?f，如式(5)所示。

(5)

由(5)式求得?a，根據(jù)(2)、(3)可以推導(dǎo)出式(6)式可求得基圓展開角θ，基圓展開角確定了，相應(yīng)的齒廓曲線就已知了，如式(7)

(6)

(7)

由當(dāng)量齒輪可以計算出當(dāng)量齒輪的弧齒厚，齒厚角是齒厚所對的圓心角，即弧齒厚除以所對應(yīng)的半徑[3]。ρe分度圓齒厚角，ρa頂圓齒厚角，ρb基圓齒厚角，ρf根圓齒厚角，它們之間的關(guān)系如式(8)所示。

(8)

由式(7)、(8)可得到大端齒頂圓和齒根圓方程

(9)

(10)

假設(shè)(9)、(10)為大端凸齒齒廓線，改變方程球面漸開線的展開方向，生成大端凹齒齒廓線，為了保證大端基圓弧齒厚，通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣?yán)@z軸旋轉(zhuǎn)ρe度，如式(11).同理改變方程里的基錐距的大小為Rb-0.5b生成弧齒錐齒輪小端的凸凹齒面曲線，由于小齒輪凸凹齒面曲線沿傳動節(jié)線轉(zhuǎn)過一定的轉(zhuǎn)角β0度如式(12)，可再次通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣進行變換，如式(13).

(11)

(12)

(13)

1.2 弧齒錐齒輪傳動節(jié)線推導(dǎo)

為了幾何表達的準(zhǔn)確和清晰性，一般把弧齒錐齒輪展成一個扇形，通過調(diào)節(jié)刀盤的水平和豎直的安裝距離來切出弧齒錐齒輪的齒形[4]。如圖3所示為展開后的弧齒錐齒輪和刀盤的平面投影圖，齒輪的嚙合節(jié)線為一圓弧，在以O(shè)1的坐標(biāo)系下建立參數(shù)方程，如式(14).在以O(shè)坐標(biāo)系下平面上弧齒錐齒輪任意一點的節(jié)錐距為刀盤投影到弧齒錐齒輪展開的扇形平面的圓心的距離，根據(jù)加工弧齒錐齒輪刀盤的刀號和半徑，可以推出它們之間的幾何關(guān)系，求得刀盤安裝位置。其中Rm為中點錐距，S為冠狀刀盤中心距，V為刀盤豎直安裝距，如式(15)。

圖3 平面節(jié)線圓弧平面刀盤位置
Fig.3 The position of the cutter head

(14)

(15)

如圖4把扇形平面卷成一個錐形，可以得到齒面節(jié)線在三維坐標(biāo)下的方程式(16)，文獻[5]已證明此節(jié)線方程在一對弧齒錐齒輪嚙合中是共軛的。

圖4 卷起后的節(jié)錐
Fig.4 The tapered knot

(16)

2 弧齒錐齒輪參數(shù)化建模

根據(jù)已建立的曲線表達式，輸入齒輪的基本參數(shù)，以嚙合節(jié)線為引導(dǎo)線，通過掃掠大端和小端的齒廓曲線來生成弧齒錐齒輪的輪齒面體，用縫合命令使輪齒的面體轉(zhuǎn)化成實體，將輪齒實體通過UG的陣列功能生成整個齒輪的輪齒，最后進行倒角來修飾齒輪，形成一個完整的弧齒錐齒輪的模型，實現(xiàn)弧齒錐齒輪的參數(shù)化建模，過程如圖5所示。

(a)

(b)

(c)

(d)

圖5 弧齒錐齒輪的參數(shù)化建模過程
Fig.5 Parametric modeling process of spiral bevel gears

3 弧齒錐齒輪的虛擬裝配及動力學(xué)仿真

弧齒錐齒輪對安裝誤差較為敏感，為驗證已建好的模型是否滿足齒輪的嚙合傳動性能，需在虛擬環(huán)境下對弧齒錐齒輪進行裝配[6]。為了能實現(xiàn)一對齒輪模型的正常運轉(zhuǎn)，使建立的模型更加接近真實狀況，對裝配好的齒輪進行碰撞干涉檢查如圖6，結(jié)果表明，兩個齒輪之間沒有干涉，說明了裝配的合理性。

在UG的動力學(xué)模塊下，對裝配好的大小齒輪進行動力學(xué)仿真分析，大小齒輪的齒數(shù)分別為z2=30 ,z1=12, 定義兩個旋轉(zhuǎn)副，位置為大小輪齒的中心，定義兩個齒輪的接觸為無摩擦接觸，小輪為驅(qū)動，速度為100 rad/s，設(shè)定結(jié)算案列，進行結(jié)算，過程如圖7.最后進行動畫演示，可以得到大齒輪的角速度為ω2如圖8，ω1/ω2= 2.5,大小齒輪的傳動比滿足設(shè)計的要求。

圖6 齒輪的虛擬裝配
Fig.6 Virtual assembly of gears

圖7 齒輪運動仿真
Fig.7 Gear motion simulation

圖8 大輪角速度
Fig.8 Wheel angular velocity

4 結(jié)束語

本文以球面漸開線的形成原理為依據(jù)，推導(dǎo)了弧齒錐齒輪齒頂圓弧曲線、齒根圓弧曲線數(shù)學(xué)方程，通過UG表達式窗口輸入這些曲線表達式，建立了輪齒齒廓曲線，生成了輪齒實體，實現(xiàn)了輪齒建模的參數(shù)化。大大降低了弧齒錐齒輪建模的時間，并提高了弧齒錐齒輪建模的準(zhǔn)確性。在虛擬環(huán)境下模擬了一對弧齒錐齒輪的安裝，并檢驗了齒輪嚙合的性能。為今后弧齒錐齒輪設(shè)計和改進提供了便利，更為齒輪的設(shè)計工作者能夠在虛擬環(huán)境下對弧齒錐齒輪的其它性能研究奠定了基礎(chǔ)。