江蘇省天一中學(xué) 周新偉 吳利華

在高三復(fù)習(xí)中，導(dǎo)數(shù)試題中含有參數(shù)是最常見的問題．一般處理參數(shù)問題，常用的兩種思路是：分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題或轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（小）值問題，此法有時(shí)會(huì)失效，不贅述；或者直接將參數(shù)參與運(yùn)算求證的過程中，在此過程中再對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．

一、提出問題

先看一道試題：

設(shè)函數(shù)f（x）=x2ln x-x+1．

（1）證明：當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥（x-1）2；

（2）若當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥m（x-1）2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解析 對(duì)于第一問，f（x）-（x-1）2=x2ln x+x-x2，設(shè)g（x）=x2ln x+xx2（x≥1），則g′（x）=2x ln x-x+1，g″（x）=2ln x+1．顯然，g″（x）=2ln x+1＞0，由此可得g′（x）在［1，+∞）上單調(diào)遞增，故g′（x）≥g′（1）=0，所以g（x）在［1，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）≥g（1）=0，所以f（x）≥（x-1）2．

第二問的一般解答形式如下：

設(shè)h（x）=x2ln x-x-m（x-1）2+1（x≥1），

則h′（x）=2x ln x+x-2m（x-1）-1（x≥1）．

由（1）知x2ln x≥（x-1）2+x-1=x（x-1），所以x ln x≥x-1．

故h′（x）≥3（x-1）-2m（x-1）=（3-2m）（x-1）．

則h″（x）=2ln x+3-2m．令h″（x）=2ln x+3-2m=0，得當(dāng)x∈［1，時(shí)，h′（x）單調(diào)遞減，則h′（x）≤h′（1）=0，所以h（x）在上單調(diào)遞減，h（x）≤h（1）=0，即h（x）≥0不恒成立．

審視第二問的解答，可以發(fā)現(xiàn)：在處理過程中，用到了前一問的結(jié)論，然后對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行了放縮，而后才開始對(duì)參數(shù)m進(jìn)行分類討論，技巧性比較強(qiáng)．同時(shí)，從系統(tǒng)的觀點(diǎn)來看，對(duì)于第二問，結(jié)合（1），可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)m≤1時(shí)，不等式f（x）≥m（x-1）2一定恒成立，那么只要在m＞1的前提下，求解使不等式f（x）≥m（x-1）2成立的m的取值范圍即可．如此，解題過程可以考慮進(jìn)一步優(yōu)化．

二、優(yōu)化思路

接上，當(dāng)m＞1時(shí)，設(shè)h（x）=x2ln x-x-m（x-1）2+1（x≥1），

則h′（x）=2x ln x+x-2m（x-1）-1（x≥1），h″（x）=2ln x+3-2m（x≥1）．

不難發(fā)現(xiàn)，h（1）=0，h′（1）=0，因此，若要當(dāng)x≥1時(shí)，只需要h′（x）≥h′（1）=0，h（x）≥h（1）=0即可．而這就需要h″（x）=2ln x+3-2m在［1，+∞）上恒大于等于零，也即即可．

至此，我們找到了一個(gè)使h（x）=x2ln x-x-m（x-1）2+1≥0在x∈［1，+∞）恒成立的一個(gè)充分條件，即

顯然，由h″（x）=2ln x+3-2m在［1，+∞）上恒大于等于零所得的m范圍，即應(yīng)該是答案A的子集A1，這也就是說，我們找到了使“x≥1時(shí)，h（x）≥0”成立的一個(gè)充分條件．而當(dāng)即m∈?RA1時(shí)，“x≥1時(shí)，h（x）≥0”卻不恒成立，那么就間接得到使h（x）≥0成立的必要條件是m∈A1，也即要想讓h（x）≥0（x≥1）恒成立，參數(shù)m的范圍不能大于故是“h（x）≥0（x≥1）”成立的必要條件，進(jìn)而知m的取值范圍就是集合A1．這種思路清晰明了，簡單易操作，正所謂“充分必要總相宜”，不失為處理導(dǎo)數(shù)問題中參數(shù)問題的一種比較好的求解策略．

三、方法實(shí)踐

例1設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2．

（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0，求a的取值范圍．

答案（1）a=0時(shí)，易得f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

例2已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，其中實(shí)數(shù)a＞0．

（1）求a的值；

（2）若對(duì)任意的x∈［0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求實(shí)數(shù)k的最小值．

答案（1）a=1；