江蘇省姜堰第二中學(xué) 翟愛(ài)國(guó)

求初相是學(xué)習(xí)函數(shù)f（x）=A sin（ωx+φ）中的一個(gè)難點(diǎn)，也是確定函數(shù)解析式的重要步驟，許多同學(xué)由于掌握不住確定φ的有效方法致使解題出錯(cuò)．如何求初相？本文介紹六種方法，供同學(xué)們參考．

一、五點(diǎn)法

“五點(diǎn)法”作圖時(shí)，要抓住五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，使函數(shù)式中的ωx+φ取通過(guò)列表作出函數(shù)的圖象．由方程的思想可知，利用“五點(diǎn)法”來(lái)確定初相φ，即在五點(diǎn)中找到兩個(gè)特殊點(diǎn)列出方程組解出φ．

例1函數(shù)f（x）=A sin（ωx+φ）（其中的圖象如圖1所示，求φ的值．

圖1

由五點(diǎn)法求φ時(shí)，要分清所選擇的點(diǎn)是“五點(diǎn)法”的第幾個(gè)點(diǎn)，并能正確列式求解．

二、初始點(diǎn)法

這里把“五點(diǎn)法”中的第一零點(diǎn)叫初始點(diǎn)．如果函數(shù)圖象提供了初始點(diǎn)的坐標(biāo)，又能根據(jù)周期求出ω，利用初始點(diǎn)坐標(biāo)x0代入ωx0+φ=2kπ，k∈N即可求出φ．

例2如圖2，是函數(shù)y=A sin（ωx+圖象的一部分，求φ的值．

圖2

如果從圖象可確定振幅和周期，則可直接確定函數(shù)y=A sin（ωx+φ）中的參數(shù)A和ω，再尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)點(diǎn)（即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn)）為突破口．

三、圖象平移

先確定函數(shù)的基本函數(shù)y=A sinωx，根據(jù)圖象平移規(guī)律就可以確定相關(guān)的參數(shù)．

例3如圖3，是函數(shù)y=A sin（ωx+的一段圖象，求φ的值．

圖3

如果圖象給定的點(diǎn)是五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)中的非最值點(diǎn)，則可以通過(guò)平移法來(lái)確定，平移時(shí)要注意法則“左加右減”．

四、利用最值點(diǎn)

對(duì)于函數(shù)y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），當(dāng)時(shí)，y取最大值；當(dāng)時(shí)，y取最小值．

例4如圖4，是函數(shù)y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的一段圖象，由圖中條件，求出φ的值．

圖4

如果圖象給定的點(diǎn)是五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的最值點(diǎn)，則可以代入最值點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)確定，若題目對(duì)φ有范圍限制，則可以選取適當(dāng)?shù)膋來(lái)確定φ的值．

五、利用單調(diào)性

我們知道，已知三角函數(shù)值求角，在一個(gè)周期內(nèi)一般有兩個(gè)解，我們可在一個(gè)限定的范圍內(nèi)利用函數(shù)的單調(diào)性求出其唯一解．

例5函數(shù)y=2sin（2x+φ）（|φ|＜π）的圖象如圖5所示，求φ的值．

圖5

如果圖象給定的點(diǎn)不是五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)中的任何一個(gè)，則此時(shí)可以考慮利用三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間來(lái)確定；如果圖象上只有平衡點(diǎn)（與x軸的交點(diǎn)）時(shí)，這時(shí)要分清平衡點(diǎn)（與x軸的交點(diǎn)）是在遞增的一段圖象上還是在遞減的一段圖象上，即觀察圖象的走勢(shì)．總之，既要思考所過(guò)點(diǎn)，又要思考點(diǎn)所在的單調(diào)區(qū)間，整體處理解出初相角．

六、利用對(duì)稱性

函數(shù)y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形時(shí)，可以根據(jù)它的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心與φ的關(guān)系，求出φ的值．

例6設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求φ的值．

解析 函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即直線是f（x）=sin（2x+φ）的一條對(duì)稱軸，那么我們可以知道當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）取得最大值或最小值，把代入有所以又因?yàn)?π＜φ＜0，故．

同學(xué)們，上面介紹破解初相的六種方法，其實(shí)這些方法不是彼此孤立的，而是互相有關(guān)聯(lián)的．如果能把每一道題多角度思考，舉一反三，一定能融會(huì)貫通，受益匪淺．