趙美華，劉 兵，劉海波，胡 雪

(1.遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029;2.鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，遼寧 鞍山 114007)

隨著農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，人們?cè)絹?lái)越關(guān)注害蟲(chóng)種群的控制問(wèn)題.噴灑化學(xué)殺蟲(chóng)劑和投放天敵是比較常用的兩種方法.文獻(xiàn)[1-6]假設(shè)殺蟲(chóng)劑是瞬時(shí)成比例殺死害蟲(chóng)的，考慮到害蟲(chóng)對(duì)殺蟲(chóng)劑的抗性發(fā)展,文獻(xiàn)[6]建立了周期輪換使用殺蟲(chóng)劑并考慮不同時(shí)刻脈沖作用下的害蟲(chóng)綜合治理模型.文獻(xiàn)[7-8]在抗性基礎(chǔ)上引入殺蟲(chóng)劑作用函數(shù)，但只考慮到殺蟲(chóng)劑對(duì)害蟲(chóng)具有殘留效應(yīng).由于許多殺蟲(chóng)劑對(duì)害蟲(chóng)具有殘留作用的同時(shí)往往還有一定的滯后效應(yīng)[9]，噴灑殺蟲(chóng)劑之后，一旦這種滯后效應(yīng)發(fā)生，害蟲(chóng)種群密度不會(huì)立刻下降，反而會(huì)繼續(xù)保持原有的上升趨勢(shì)，直到滯后效應(yīng)消失，害蟲(chóng)種群密度才會(huì)下降，并且這種滯后效應(yīng)一般會(huì)使害蟲(chóng)種群密度超過(guò)經(jīng)濟(jì)臨界值[10].因此，在害蟲(chóng)化學(xué)控制中，有必要把這種滯后效應(yīng)考慮進(jìn)去.本文引入殺蟲(chóng)劑作用函數(shù)，考慮到殺蟲(chóng)劑的殘留和滯后效應(yīng)，建立了一類(lèi)具有抗性發(fā)展的害蟲(chóng)治理模型，分析了害蟲(chóng)滅絕臨界條件，給出了殺蟲(chóng)劑的切換策略,所得出的結(jié)論為相關(guān)問(wèn)題的實(shí)際操作提供了理論依據(jù)，具有現(xiàn)實(shí)的生物意義.

1 模型建立

考慮到殺蟲(chóng)劑的殘留和滯后效應(yīng)，本文假設(shè)周期噴灑殺蟲(chóng)劑，設(shè)周期為T(mén)，采用文獻(xiàn)[9]中的b(t)函數(shù)：

b(t)=m[e-a(t-nT)-e-c(t-nT)]，nT

(1)

其中，m是殺蟲(chóng)劑對(duì)害蟲(chóng)的有效殺死率，滿(mǎn)足m=1-e-kD或m=e-kD，k是正常數(shù)，D是殺蟲(chóng)劑劑量；a是殺蟲(chóng)劑對(duì)害蟲(chóng)的衰減率，c是殺蟲(chóng)劑對(duì)害蟲(chóng)的滯后效應(yīng)率，且滿(mǎn)足c>a.

假設(shè)害蟲(chóng)種群的自然增長(zhǎng)滿(mǎn)足Logistic方程，即

(2)

本文將害蟲(chóng)種群分成易感害蟲(chóng)xS(t)與抗性害蟲(chóng)xr(t)兩種，其中，易感害蟲(chóng)是指沒(méi)有對(duì)殺蟲(chóng)劑產(chǎn)生抗藥性的害蟲(chóng)，設(shè)其在t時(shí)刻所占比例為q(t)；抗性害蟲(chóng)是指對(duì)殺蟲(chóng)劑產(chǎn)生抗性的害蟲(chóng)，t時(shí)刻所占比例為1-q(t)，則xs(t)=q(t)x(t)，xr(t)=(1-q(t))x(t).因此，易感害蟲(chóng)xS(t)與抗性害蟲(chóng)xr(t)滿(mǎn)足如下方程：

(3)

害蟲(chóng)的種群增長(zhǎng)模型變?yōu)?/p>

則系統(tǒng)(3)可變?yōu)?/p>

(4)

其中,x(0)=x0，q(0)=q0，x0代表初始時(shí)刻害蟲(chóng)種群密度，q0代表初始時(shí)刻易感害蟲(chóng)所占比例.通過(guò)計(jì)算，系統(tǒng)(4)在任意區(qū)間nT

(5)

為了說(shuō)明殺蟲(chóng)劑殘留和滯后效應(yīng)對(duì)害蟲(chóng)抗藥性發(fā)展的影響，圖1分別取a=0.2,a=0.5,a=0.8，其它各項(xiàng)參數(shù)取值為T(mén)=1.5,q0=0.99,c=8,m=0.8.模擬出q(t)隨時(shí)間的變化趨勢(shì)，可以看出衰減率a越小抗性發(fā)展越快，也就是殺蟲(chóng)劑的殘留越大抗性發(fā)展越快；圖2分別取c=1,c=3,c=10,其它各項(xiàng)參數(shù)取值為T(mén)=1.5,m=0.8,q0=0.99,a=0.4,m=0.8.模擬出q(t)隨時(shí)間的變化趨勢(shì)，可以看出滯后效應(yīng)率c越大抗性發(fā)展越快.

2 害蟲(chóng)滅絕臨界條件

對(duì)于非自治系統(tǒng)

(6)

引理1假設(shè)系統(tǒng)(6)滿(mǎn)足

(3)?β>0，

(i)當(dāng)t≥0時(shí)，F(xiàn)(t,0)β；

系統(tǒng)(6)以x(0)=x0為初值的解滿(mǎn)足當(dāng)t→時(shí)，x(t)→0.

圖1 殺蟲(chóng)劑的殘留效應(yīng)對(duì)易感害蟲(chóng)比例q(t)發(fā)展影響圖 圖2 殺蟲(chóng)劑的滯后效應(yīng)對(duì)易感害蟲(chóng)比例q(t)發(fā)展影響圖

定理1如果R0(n,T)<1,n∈N時(shí)，則系統(tǒng)(5)滿(mǎn)足以x(0)=x0>0為初值條件的解x(t)，當(dāng)t→時(shí)x(t)→0.其中，

證明系統(tǒng)(5)中,F(t,x(t))=r(1-ηx(t))-b(t)q(t)，顯然引理1的條件(1)成立.

F(s,0)=r-m(e-a(t-nT)-e-c(t-nT))q(t)r，所以條件(3)中(i)成立.

由引理1的條件(3)中(ii)知，如果R0(n,T)<1,那么系統(tǒng)(4)滿(mǎn)足以x(0)=x0>0為初始條件的解x(t)，當(dāng)t→時(shí)，x(t)→0.證畢.

根據(jù)R0(n,T)的表達(dá)式可知，R0(n,T)是關(guān)于n的單調(diào)增函數(shù).圖3是在改變a的情況下R0(n,T)隨著噴灑次數(shù)變化的趨勢(shì)圖，圖3中顯示殺蟲(chóng)劑對(duì)害蟲(chóng)的衰減率a越大，害蟲(chóng)根除臨界值越大，害蟲(chóng)種群越容易爆發(fā).圖4是在改變c的情況下R0(n,T)隨著噴灑次數(shù)變化的趨勢(shì)圖，圖4中顯示殺蟲(chóng)劑對(duì)害蟲(chóng)的滯后效應(yīng)率c越小，害蟲(chóng)根除臨界值越大，害蟲(chóng)種群越容易爆發(fā),其中,基本參數(shù)取值為T(mén)=1,r=0.5,η=0.01,m=0.9,a=0.2,c=8,q0=0.99.圖5模擬的是不同噴灑殺蟲(chóng)劑周期下害蟲(chóng)種群變化趨勢(shì)，其中，基本參數(shù)取值為r=0.5,η=0.01,m=0.9,a=0.2,c=8,q0=0.99.由圖5可以看出在噴灑殺蟲(chóng)劑初期，害蟲(chóng)種群整體趨于下降趨勢(shì)，但隨著害蟲(chóng)抗藥性的發(fā)展，害蟲(chóng)種群下降到一定程度后會(huì)逐步增加，最終會(huì)持續(xù)生存.為了控制害蟲(chóng)種群，本文接下來(lái)給出了兩種切換殺蟲(chóng)劑的策略.

圖3 殺蟲(chóng)劑對(duì)害蟲(chóng)的衰減率a對(duì)臨界值R0(n,T)影響圖 圖4 殺蟲(chóng)劑對(duì)害蟲(chóng)的滯后效應(yīng)率c對(duì)臨界值R0(n,T)影響圖

3 殺蟲(chóng)劑切換策略

方法1以臨界值R0(n,T)為殺蟲(chóng)劑切換依據(jù):

(7)

其中，[]表示取整函數(shù).

圖6中曲線(xiàn)上的黑點(diǎn)表示殺蟲(chóng)劑的切換時(shí)間，由圖6可知，當(dāng)T=1時(shí)，每隔4次切換另一種殺蟲(chóng)劑；當(dāng)T=1.2時(shí)，每隔2次切換殺蟲(chóng)劑；當(dāng)T=1.5時(shí)，每隔1次切換殺蟲(chóng)劑.應(yīng)用這樣的策略切換殺蟲(chóng)劑害蟲(chóng)種群最終會(huì)得到控制，其中，基本參數(shù)取值為r=0.5,η=0.01,m=0.9,a=0.2,c=8,q0=0.99.

圖5 不切換殺蟲(chóng)劑的情況下x(t)隨時(shí)間變化趨勢(shì)圖 圖6 以臨界值為切換依據(jù)害蟲(chóng)種群的變化趨勢(shì)圖

方法2以殺蟲(chóng)劑效率為切換依據(jù)：

對(duì)于固定的周期T，用x(nT)表示在nT時(shí)刻害蟲(chóng)種群數(shù)量，由于x(nT)不是單調(diào)數(shù)列，則存在一個(gè)n1∈N，使得

x(T)>x(2T)>…>x((n1-1)T)，x((n1-1)T)

其中，x(nT)滿(mǎn)足如下迭代公式:

對(duì)于固定的n，由函數(shù)f(n)可以確定一個(gè)自治差分方程，即

對(duì)此，我們作出如下討論:

綜上可知：

這里a(n-1)=R0(n-1,T)>1.因此

(8)

4 結(jié)論

本文考慮到殺蟲(chóng)劑對(duì)害蟲(chóng)具有殘留和滯后效應(yīng)，建立了一類(lèi)殺蟲(chóng)劑作用函數(shù)與害蟲(chóng)抗藥性相結(jié)合的害蟲(chóng)治理模型.研究了害蟲(chóng)根除臨界條件，可以看出殺蟲(chóng)劑對(duì)害蟲(chóng)的殘留和滯后效應(yīng)都會(huì)對(duì)害蟲(chóng)抗藥性發(fā)展產(chǎn)生影響，且隨著害蟲(chóng)抗藥性發(fā)展，害蟲(chóng)最終會(huì)爆發(fā).本文以臨界值和殺蟲(chóng)劑效率為依據(jù)給出了兩種殺蟲(chóng)劑的切換策略.在以后的研究中，我們會(huì)采用化學(xué)控制與生物控制相結(jié)合的方法來(lái)進(jìn)一步延緩害蟲(chóng)抗藥性發(fā)展，最終進(jìn)一步控制害蟲(chóng)數(shù)量.