摘?要：本文利用三角函數的圖象與性質，運用數形結合與整體代換的數學思想，探究由函數零點求參數ω的取值范圍的思路和方法.

關鍵詞：取值范圍;方程;換元;圖象

作者簡介：陳東（1971-），男，甘肅高臺人，本科，中學高級教師，研究方向：高中數學教學.

三角函數f（x）=sinωx+φ是高中數學中的重要初等函數之一，其中求參數ω的取值范圍問題是高考的?？贾R點.本文以2019年全國Ⅲ卷理科第12題結論④為例，探究由函數零點求參數ω的取值范圍的一些思路和方法.

1?試題呈現

題目?（2019年全國Ⅲ卷理12題）設函數f（x）=sinωx+π5ω>0，已知f（x）在0，2π有且僅有5個零點，下述四個結論：

①f（x）在0，2π有且僅有3個極大值點;

②f（x）在0，2π有且僅有2個極小值點;

③f（x）在0，π10單調遞增;

④ω的取值范圍是125，2910?.

其中所有正確結論的編號是（）.

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

2?試題解析

2.1?利用方程求解

解法1?令f（x）=sinωx+π5=0，得ωx+π5=kπk∈Z，則x=kπ-π5ω.

當k=5時，x=5π-π5ω;

當k=6時，x=6π-π5ω.

因為f（x）在0，2π有且僅有5個零點，

所以5π-π5ω≤2π，6π-π5ω>2π，解得125≤ω<2910.

2.2?利用換元求解

解法2?令t=ωx+π5，則f（t）=sint.

因x∈0，2π，則t=ωx+π5∈π5，2πω+π5.

因為f（x）在0，2π有且僅有5個零點，則f（t）在π5，2πω+π5有且僅有5個零點.

畫出函數f（t）的圖象（圖1），可知5π≤2πω+π5<6π，解得125≤ω<2910.

2.3?利用圖象求解

解法3?根據題意，畫出函數f（x）=sinωx+π5（ω>0）的示意圖（圖2），由圖可知2π∈m，n.

由ωm+π5=5π，ωn+π5=6π，解得m=24π5ω，n=29π5ω.

則24π5ω≤2π<29π5ω，解得125≤ω<2910.

2.4?利用周期求解

解法4?由題意，畫出函數fx示意圖（圖2），由圖可知2π∈m，n.由?m=5T2-π5ω≤2πn=3T-π5ω>2π（其中周期T=2πω），解得125≤ω<2910.

對于三角函數中參數ω的取值范圍問題，要充分利用函數的圖象與性質，運用數形結合與整體代換的數學思想，建立關于ω的方程或不等式求解.

（收稿日期：2019-08-18）