何 謙 王艾倫 陳中祥 楊 俊

1.湖南師范大學(xué)工程與設(shè)計(jì)學(xué)院，長(zhǎng)沙，410081 2.中南大學(xué)高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙,410083

0 引言

拉桿轉(zhuǎn)子具有質(zhì)量小、剛度大、加工容易以及便于冷卻和維修等突出優(yōu)勢(shì)，被廣泛應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)及大功率重型燃?xì)廨啓C(jī)中[1]。不同于整體轉(zhuǎn)子，拉桿轉(zhuǎn)子通過周向均勻分布的多根拉桿將軸頭和輪盤預(yù)緊連接而成，因而在結(jié)構(gòu)上存在多個(gè)非連續(xù)的接觸界面，物理特性非常復(fù)雜。由于接觸問題的本質(zhì)是非線性的，零件的材質(zhì)、表面形貌、載荷情況等因素都會(huì)對(duì)結(jié)合面的接觸狀態(tài)和接觸剛度造成影響[2]，很難用一個(gè)統(tǒng)一的模型加以描述，這給拉桿轉(zhuǎn)子的深入研究帶來(lái)了巨大的困難?，F(xiàn)階段對(duì)接觸問題的研究主要有兩種方法，即建立解析模型和開展數(shù)值計(jì)算。解析的方法通常依托Greenwood等在1966年提出的GW 模型以及以其為基礎(chǔ)的各種改良模型，如MB 分形接觸模型、GW 修正模型等。以上模型都基于某些假設(shè)，而且在參數(shù)的確定上需要依托實(shí)驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)，操作起來(lái)比較困難[3]，結(jié)果的精度也難以保證。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，以有限元為代表的數(shù)值計(jì)算方法在接觸分析中得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用[4]，其參數(shù)化的設(shè)計(jì)方法不僅能方便高效地獲取實(shí)驗(yàn)樣本，而且更容易發(fā)現(xiàn)或形成規(guī)律性的認(rèn)識(shí)和結(jié)論。將其運(yùn)用于拉桿轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)特性分析，成效顯著[5-7]。

由于彎曲振動(dòng)是拉桿轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性中最為重要的環(huán)節(jié)，故在業(yè)已開展的研究中，絕大部分都是針對(duì)這一問題進(jìn)行的。事實(shí)上，拉桿轉(zhuǎn)子的軸向振動(dòng)問題也不容忽視。據(jù)報(bào)道，2001年廣東月亮灣燃機(jī)電廠燃?xì)廨啓C(jī)發(fā)電機(jī)組投產(chǎn)一周后，就出現(xiàn)了機(jī)組轉(zhuǎn)子因軸向振動(dòng)劇烈而導(dǎo)致的故障[8]。早在20世紀(jì)50年代，燃?xì)廨啓C(jī)轉(zhuǎn)子的軸向振動(dòng)問題就引起人們注意[9]，但由于檢測(cè)困難等原因，研究未能深入。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)轉(zhuǎn)子軸向振動(dòng)問題的研究相對(duì)較少，而關(guān)于拉桿轉(zhuǎn)子軸向振動(dòng)問題的研究更少。文獻(xiàn)[10]用傳遞矩陣法對(duì)多輪盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸向振動(dòng)的固有特性進(jìn)行了研究，但其研究對(duì)象為整體轉(zhuǎn)子。文獻(xiàn)[11]運(yùn)用鍵合圖的方法建立了拉桿轉(zhuǎn)子軸向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，但該方法界面接觸剛度計(jì)算方面主要參照了文獻(xiàn)[12]的結(jié)論，給出的輪廓面積比ηca在某一范圍內(nèi)，實(shí)際確定起來(lái)比較復(fù)雜。

本文在分析和總結(jié)現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上，提出了一種基于有限元分析結(jié)果的輪盤結(jié)合面法向接觸剛度的確定方法，將其與轉(zhuǎn)子的集中質(zhì)量模型結(jié)合，計(jì)算了某型實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)子軸向振動(dòng)的固有頻率，通過對(duì)比理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)的結(jié)果，驗(yàn)證該方法的有效性。

1 輪盤結(jié)合面法向剛度的確定

1.1 三維粗糙表面的生成

THOMAS等[13]已證明指數(shù)自相關(guān)函數(shù)能夠很好地描述現(xiàn)實(shí)世界中的許多隨機(jī)現(xiàn)象；WHITEHOUSE等[14]通過實(shí)驗(yàn)證明了許多工程表面輪廓具有指數(shù)自相關(guān)函數(shù)關(guān)系。一般給定指數(shù)形式的自相關(guān)函數(shù)為

τx=1,2,…,Nτy=1,2,…,N

式中，σ為表面粗糙度；βx、βy分別為x、y方向上的相關(guān)長(zhǎng)度。

根據(jù)輪盤表面的粗糙度數(shù)值，按指數(shù)自相關(guān)值，以粗糙度Ra=3.2 μm為例，在MATLAB中生成相應(yīng)的微觀表面，見圖1。

圖1 微體單元粗糙表面形貌Fig.1 Rough surface features of the microbody

1.2 基于微體單元的結(jié)合面法向剛度的確定

由于零件的宏觀尺寸均遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于用以描述表面形貌的參數(shù)尺寸，故如果考慮表面的微觀形貌直接對(duì)零件開展有限元分析，將會(huì)導(dǎo)致單元和節(jié)點(diǎn)的數(shù)目巨大，可能會(huì)因計(jì)算量過大而無(wú)法進(jìn)行。當(dāng)粗糙表面微型長(zhǎng)方體的宏觀尺寸達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，所得的分析結(jié)果與繼續(xù)擴(kuò)大微體尺寸并無(wú)二致[15]，因此，借助具有合適幾何尺寸的微體單元，所得的結(jié)果完全能反映實(shí)際零件的接觸情況。據(jù)此將MATLAB中所獲得的點(diǎn)云數(shù)據(jù)導(dǎo)入CAD軟件中，生成一個(gè)左端面為粗糙表面的微型長(zhǎng)方體，3個(gè)方向的尺寸分別為1 mm×1 mm×5 mm。

考慮到兩粗糙表面微元體接觸和單個(gè)粗糙面與剛性平面接觸的分析結(jié)果在保證微體單元足夠長(zhǎng)度后并無(wú)差別[16]，本文直接采用相對(duì)簡(jiǎn)單的微體單元與剛性平面接觸的分析方法。將CAD中生成的模型導(dǎo)入ANSYS，網(wǎng)格劃分采用10節(jié)點(diǎn)四面體單元，微體單元定義為彈塑性，各項(xiàng)力學(xué)指標(biāo)依據(jù)輪盤材料給定。分析時(shí)，對(duì)長(zhǎng)方體的底面加以約束，并限制粗糙表面上位于剛性平面內(nèi)的節(jié)點(diǎn)的位移。在與粗糙表面相對(duì)的右端面上，施加一個(gè)由轉(zhuǎn)子預(yù)緊力轉(zhuǎn)換而成的分布力p。查看分析結(jié)果，獲得微體單元在該方向的變形量，由此獲得整個(gè)微體單元在該作用力下的等效法向剛度keq：

keq=pA/Δl

式中，A為微體單元的橫截面面積；Δl為微體單元在該方向的變形。

依據(jù)圣維南原理，粗糙表面的變形情況對(duì)距離其較遠(yuǎn)區(qū)域的影響很小。據(jù)此可按有限元軟件的分析結(jié)果將微體劃分為粗糙段和光滑段兩部分，粗糙段為微體單元受力時(shí)發(fā)生塑性變形的區(qū)域，用lc表示；余下部分視作只發(fā)生彈性變形，用ls表示，見圖2。

圖2 微體單元等效模型Fig.2 Equivalent model of the microbody

顯然，微體單元在不同載荷作用下的粗糙段lc的長(zhǎng)度也不相同。改變壓力p，得到lc與p的變化關(guān)系曲線，見圖3。

圖3 粗糙段長(zhǎng)度與作用力的關(guān)系曲線Fig.3 Relation curve of rough section length & press

由材料力學(xué)可知，彈性軸段ls的法向剛度

ks=EA/ls

式中，E為輪盤材料的彈性模量；ls為彈性光滑段的長(zhǎng)度。

用kc表示粗糙段的剛度。顯然，微體單元各段的剛度kc、ks和等效法向剛度keq三者之間存在以下關(guān)系：

聯(lián)立以上各式，即可求得粗糙段的剛度kc。

定義kj為輪盤結(jié)合面的法向剛度。考慮到實(shí)際情況為兩粗糙表面接觸，故有

kj=kc/2

2 拉桿轉(zhuǎn)子軸向振動(dòng)集中參數(shù)模型

盡管不同廠家及不同型號(hào)的拉桿轉(zhuǎn)子在幾何尺寸上差異明顯，但轉(zhuǎn)子的組成和結(jié)構(gòu)卻基本相同，即均通過長(zhǎng)螺栓將軸頭和輪盤串連而成。為方便說(shuō)明和計(jì)算，本文對(duì)拉桿轉(zhuǎn)子的形態(tài)進(jìn)行了適當(dāng)簡(jiǎn)化，其物理結(jié)構(gòu)見圖4。

圖4 拉桿轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Schematic view of the rodfastening rotor

2.1 拉桿轉(zhuǎn)子質(zhì)量的集中參數(shù)化

結(jié)合軸向振動(dòng)分析的要求以及拉桿轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選取單個(gè)輪盤作為基本單元進(jìn)行集中參數(shù)化：將輪盤的質(zhì)量集中到兩端，將其變形集中到中間。輪盤之間的接觸剛度用一根無(wú)質(zhì)量的彈簧表示。拉桿處理方式與輪盤類似。需要注意的是，由于位居拉桿兩端的螺栓頭和螺母與軸頭沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，故可將拉桿的集中質(zhì)量看作與兩軸頭外側(cè)的質(zhì)量單元固連在一起。相應(yīng)的力學(xué)模型見圖5。

圖5 拉桿轉(zhuǎn)子軸向振動(dòng)集中質(zhì)量模型Fig.5 Lumped-mass model of the rodastening rotor axial vibration

圖5中，kd、krod、kj分別為輪盤、拉桿以及輪盤接合面的法向剛度。kd、krod的確定不考慮塑性變形的影響，依據(jù)式(4)和零件的材料和幾何尺寸獲得，其中，krod為所有拉桿的剛度之和。

2.2 數(shù)學(xué)模型的建立

由于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)一般都是弱阻尼系統(tǒng)，故在建模和計(jì)算過程中可以不計(jì)阻尼。依據(jù)圖5中的集中參數(shù)模型，寫成矩陣的形式，即

X=[x1x2…x2n]TF=[f1f2…f2n]T

K=

據(jù)此可以求得拉桿轉(zhuǎn)子軸向振動(dòng)時(shí)的固有頻率和振型[17]。

3 實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)分析

實(shí)驗(yàn)用拉桿轉(zhuǎn)子由4輪盤8拉桿組成，每根拉桿的預(yù)緊力為4 kN，輪盤的大圓直徑與中心孔直徑分別為100 mm和40 mm，輪盤厚度為30 mm，拉桿的直徑為10 mm，輪盤中心與拉桿中心的距離為35 mm。為排除支承的影響，用兩根繞在轉(zhuǎn)子軸頭的彈性繩將轉(zhuǎn)子水平自由懸掛。用力錘沿軸線方向敲擊轉(zhuǎn)子的端面，用壓電加速度計(jì)測(cè)量響應(yīng)，并借助信號(hào)分析處理系統(tǒng)獲得轉(zhuǎn)子的固有頻率和振型。

為驗(yàn)證2.2節(jié)轉(zhuǎn)子模型的有效性，將實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)子的相關(guān)參數(shù)代入該模型進(jìn)行計(jì)算。作為對(duì)比，還建立了同形態(tài)整體轉(zhuǎn)子的有限元模型。3種渠道所獲得的該型轉(zhuǎn)子前3階軸向振動(dòng)的固有頻率見表1。

表1 軸向振動(dòng)固有頻率比較 (預(yù)緊力為4 kN)

為研究拉桿預(yù)緊力對(duì)拉桿轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)行為的影響，采用1.2節(jié)的方法，從零開始逐步加大拉桿的預(yù)緊力，得到輪盤結(jié)合面法向剛度隨作用力(壓力)變化的曲線,見圖6。將該結(jié)果代入集中質(zhì)量模型進(jìn)行計(jì)算，得到該型轉(zhuǎn)子在不同預(yù)緊力作用下的前3階固有頻率,見圖7。

圖6 結(jié)合面法向剛度與壓力的關(guān)系曲線Fig.6 Relation curve of the contact surface normal stiffness & press

圖7 固有頻率與結(jié)合面壓力的關(guān)系曲線Fig.7 Relation curve of the natural frequency & contact surface press

從表1中數(shù)據(jù)可以看出，拉桿轉(zhuǎn)子與具有相同外部形態(tài)的整體轉(zhuǎn)子的固有頻率差距明顯，而實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)值與用本文方法計(jì)算所得的結(jié)果非常接近,誤差在5%范圍內(nèi)，遠(yuǎn)低于整體轉(zhuǎn)子模型誤差。這表明對(duì)拉桿轉(zhuǎn)子開展動(dòng)力學(xué)特性分析，必須考慮結(jié)合面法向剛度的影響。

由圖6和圖7可知，拉桿轉(zhuǎn)子輪盤結(jié)合面的法向剛度和軸向振動(dòng)的固有頻率主要取決于拉桿預(yù)緊力的大小，但它們之間并非簡(jiǎn)單的線性關(guān)系。特別需要注意的是，當(dāng)預(yù)緊力達(dá)到一定數(shù)值(對(duì)應(yīng)圖6中約100 MPa處)后，增大預(yù)緊力，結(jié)合面剛度和固有頻率的變化很小，即進(jìn)入所謂的預(yù)緊力飽和階段[18]。在這一階段，拉桿轉(zhuǎn)子的固有頻率與整體轉(zhuǎn)子趨于一致[11]。進(jìn)一步加大拉桿的預(yù)緊力，當(dāng)結(jié)合面間的壓力超過200 MPa時(shí)，無(wú)論結(jié)合面剛度還是固有頻率都呈現(xiàn)下降的態(tài)勢(shì)，其原因是壓力值超出了輪盤材料的屈服極限，導(dǎo)致發(fā)生塑性變形的區(qū)域迅速擴(kuò)大(見圖3)。此外，比較轉(zhuǎn)子各階次固有頻率隨結(jié)合面法向剛度變化的情況可以發(fā)現(xiàn)，低階頻率曲線從形態(tài)上與剛度曲線吻合程度更高，表明結(jié)合面剛度對(duì)低階次固有頻率的影響較大，而高階次頻率反映了轉(zhuǎn)子整體剛度的變化。

4 結(jié)論

(1) 具有相同外部形態(tài)的拉桿轉(zhuǎn)子和整體轉(zhuǎn)子在動(dòng)力學(xué)行為上存在較大的差別，分析拉桿轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)特性必須考慮輪盤結(jié)合面法向剛度的影響。用本文方法得到的實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)子的軸向振動(dòng)固有頻率數(shù)值與實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)值非常接近，誤差低于5%，表明該方法切實(shí)可行，并且具有較高的精度。

(2) 拉桿的預(yù)緊力直接影響輪盤結(jié)合面的法向剛度和轉(zhuǎn)子的固有頻率，但并不一直隨著拉桿預(yù)緊力的增大而增加，而是存在預(yù)緊力飽和階段。處于這一階段的拉桿轉(zhuǎn)子的固有頻率也與整體轉(zhuǎn)子趨于一致。

(3) 可借助結(jié)合面法向剛度的分析獲取拉桿轉(zhuǎn)子預(yù)緊力飽和的范圍，此范圍可以作為合理確定拉桿預(yù)緊力的數(shù)值以及保證拉桿轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)完整性的重要設(shè)計(jì)依據(jù)。