關(guān)注函數(shù)的最值（值域）?？碱愋?/h1>
2019-01-07 01:36方佳佳
中學(xué)教學(xué)參考·理科版 2019年12期
方佳佳
[摘? ?要]分析函數(shù)的最值（值域）?？碱愋筒⑻岢銎浣鉀Q策略，以幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，逐步提升解題能力.
[關(guān)鍵詞]函數(shù);最值;值域;類型
[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）35-0002-02
函數(shù)的最值（值域）是近年高考中的必考點(diǎn)，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等.求解函數(shù)的最值（值域）問(wèn)題時(shí)，往往需要靈活運(yùn)用函數(shù)圖像與性質(zhì)（主要是單調(diào)性）加以分析，有時(shí)還會(huì)涉及基本不等式的靈活運(yùn)用.
?？碱愋鸵?、根據(jù)函數(shù)的解析式，求函數(shù)的值域
由函數(shù)的解析式求函數(shù)的值域是一類常見(jiàn)且較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，常用方法：遇到二次函數(shù)求值域利用配方法;遇到熟悉的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)或者能夠確定單調(diào)性的函數(shù)，求值域利用函數(shù)的單調(diào)性法.破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)為：
①分析函數(shù)結(jié)構(gòu).求解函數(shù)的值域時(shí)，需要先厘清函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，如分析其是指數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)，還是對(duì)數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)，或者是二次函數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)等.
②靈活選用方法.結(jié)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活選用解題方法，如與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)緊密聯(lián)系起來(lái)的，選用函數(shù)的單調(diào)性法;與二次函數(shù)緊密聯(lián)系起來(lái)的，選用配方法.
[典例1]函數(shù)[y=log12x+1x]的值域是（? ? ? ? ）.
A. [（-∞，-1]]? ? ? ? ? ? ? ? B. [（-∞，0]]
C. [[-1，+∞）]? ? ? ? ? ? ? ? D. [[0，+∞）]
分析：本題需要先利用基本不等式求[x+1x]的取值范圍，再靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)[f（x）=log12x]的單調(diào)性加以求解.
解：由[x+1x>0]可得函數(shù)的定義域?yàn)閇（0，+∞）]，所以由基本不等式得[x+1x≥2]，當(dāng)且僅當(dāng)[x=1]時(shí)，等號(hào)成立.又[f（x）=log12x]在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，所以可得[y=log12x+1x≤log122=-1].故函數(shù)的值域?yàn)閇（-∞? ，-1]] .故選A.
評(píng)注：一般地，求解函數(shù)的值域時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域;否則，極易出錯(cuò).例如，求解如下問(wèn)題.
已知[f（x）=2+log3x] [（1≤x≤9）]，則函數(shù)[y=[f（x）]2+f（x2）]的最大值是（? ? ? ? ）.
A. [6]? ? ? ? ? ? ?B. [13]? ? ? ? ? ? C. [22]? ? ? ? ?D. [23]
本題極易忽略準(zhǔn)確求解新函數(shù)的定義域，而根據(jù)1[≤x≤9]，得到函數(shù)最大值為22，導(dǎo)致錯(cuò)選C.正確解答：由[1≤x≤9，1≤x2≤9，]得新函數(shù)的定義域?yàn)閇x1≤x≤3]，則[0≤log3x≤1]，又整理得y = [[fx]2]+ f （x2）= [（log3x+3）2]-3，所以函數(shù)y的最大值為[13].故選B.
常考類型二、根據(jù)函數(shù)的最值，求參數(shù)的取值范圍
對(duì)于“由函數(shù)的最值，求參數(shù)的取值范圍”這類問(wèn)題，往往需要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、圖像，先分析最值情景，再構(gòu)建不等關(guān)系加以求解.破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)為：
①分析最值情景.具體問(wèn)題中，一般需要根據(jù)相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性或圖像，以便準(zhǔn)確分析當(dāng)自變量取何值時(shí)函數(shù)取得的最值.
②構(gòu)建不等關(guān)系.根據(jù)題設(shè)所給最值，并結(jié)合最值情景，通過(guò)構(gòu)建不等關(guān)系，準(zhǔn)確求解參數(shù)的取值范圍.
[典例2] 已知函數(shù)[f（x）=（x-a）2，x≤0x+1x+a，x>0]，若[f（0）]是函數(shù)[f（x）]的最小值，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是（? ? ? ?）.
A.[[-1，2]]? ? ? ? ? ?B.[[-1，0]]? ? ? ? ? C.[[1，2]]? ? ? ? ? D.[[0，2]]
分析：本題需要分[a<0，a=0，a>0]三種情況加以討論;在每種情況下，可利用函數(shù)的單調(diào)性或圖像加以分析，最后整體總結(jié)，即可獲得所求參數(shù)的取值范圍.
解析：當(dāng)[a<0]時(shí)，根據(jù)[f（x）]在[[a，0]]上是增加的，可知[f（0）]不是函數(shù)[f（x）]的最小值，所以[a<0]不滿足題意;當(dāng)[a=0]時(shí)，若[x>0]，則[f（x）=x+1x≥2];若[x≤0]，則[f（x）=x2≥0]，所以[f（0）] 是函數(shù)[f（x）]的最小值，所以[a=0]滿足題意;當(dāng)[a>0]時(shí)，如圖1所示，畫出函數(shù)[f（x）]的大致圖像，由已知“[f（0）]是函數(shù)[f（x）]的最小值”，可知[a2≤2+a]，又[a>0]，從而解得[0評(píng)注：本題具有一定的綜合性，側(cè)重考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，也考查了“分類與整合思想”“數(shù)形結(jié)合思想”在解題中的靈活運(yùn)用，較好地培養(yǎng)了考生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).
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[摘? ?要]分析函數(shù)的最值（值域）?？碱愋筒⑻岢銎浣鉀Q策略，以幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，逐步提升解題能力.
[關(guān)鍵詞]函數(shù);最值;值域;類型
[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）35-0002-02
函數(shù)的最值（值域）是近年高考中的必考點(diǎn)，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等.求解函數(shù)的最值（值域）問(wèn)題時(shí)，往往需要靈活運(yùn)用函數(shù)圖像與性質(zhì)（主要是單調(diào)性）加以分析，有時(shí)還會(huì)涉及基本不等式的靈活運(yùn)用.
?？碱愋鸵?、根據(jù)函數(shù)的解析式，求函數(shù)的值域
由函數(shù)的解析式求函數(shù)的值域是一類常見(jiàn)且較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，常用方法：遇到二次函數(shù)求值域利用配方法;遇到熟悉的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)或者能夠確定單調(diào)性的函數(shù)，求值域利用函數(shù)的單調(diào)性法.破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)為：
①分析函數(shù)結(jié)構(gòu).求解函數(shù)的值域時(shí)，需要先厘清函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，如分析其是指數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)，還是對(duì)數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)，或者是二次函數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)等.
②靈活選用方法.結(jié)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活選用解題方法，如與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)緊密聯(lián)系起來(lái)的，選用函數(shù)的單調(diào)性法;與二次函數(shù)緊密聯(lián)系起來(lái)的，選用配方法.
[典例1]函數(shù)[y=log12x+1x]的值域是（? ? ? ? ）.
A. [（-∞，-1]]? ? ? ? ? ? ? ? B. [（-∞，0]]
C. [[-1，+∞）]? ? ? ? ? ? ? ? D. [[0，+∞）]
分析：本題需要先利用基本不等式求[x+1x]的取值范圍，再靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)[f（x）=log12x]的單調(diào)性加以求解.
解：由[x+1x>0]可得函數(shù)的定義域?yàn)閇（0，+∞）]，所以由基本不等式得[x+1x≥2]，當(dāng)且僅當(dāng)[x=1]時(shí)，等號(hào)成立.又[f（x）=log12x]在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，所以可得[y=log12x+1x≤log122=-1].故函數(shù)的值域?yàn)閇（-∞? ，-1]] .故選A.
評(píng)注：一般地，求解函數(shù)的值域時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域;否則，極易出錯(cuò).例如，求解如下問(wèn)題.
已知[f（x）=2+log3x] [（1≤x≤9）]，則函數(shù)[y=[f（x）]2+f（x2）]的最大值是（? ? ? ? ）.
A. [6]? ? ? ? ? ? ?B. [13]? ? ? ? ? ? C. [22]? ? ? ? ?D. [23]
本題極易忽略準(zhǔn)確求解新函數(shù)的定義域，而根據(jù)1[≤x≤9]，得到函數(shù)最大值為22，導(dǎo)致錯(cuò)選C.正確解答：由[1≤x≤9，1≤x2≤9，]得新函數(shù)的定義域?yàn)閇x1≤x≤3]，則[0≤log3x≤1]，又整理得y = [[fx]2]+ f （x2）= [（log3x+3）2]-3，所以函數(shù)y的最大值為[13].故選B.
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對(duì)于“由函數(shù)的最值，求參數(shù)的取值范圍”這類問(wèn)題，往往需要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、圖像，先分析最值情景，再構(gòu)建不等關(guān)系加以求解.破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)為：
①分析最值情景.具體問(wèn)題中，一般需要根據(jù)相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性或圖像，以便準(zhǔn)確分析當(dāng)自變量取何值時(shí)函數(shù)取得的最值.
②構(gòu)建不等關(guān)系.根據(jù)題設(shè)所給最值，并結(jié)合最值情景，通過(guò)構(gòu)建不等關(guān)系，準(zhǔn)確求解參數(shù)的取值范圍.
[典例2] 已知函數(shù)[f（x）=（x-a）2，x≤0x+1x+a，x>0]，若[f（0）]是函數(shù)[f（x）]的最小值，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是（? ? ? ?）.
A.[[-1，2]]? ? ? ? ? ?B.[[-1，0]]? ? ? ? ? C.[[1，2]]? ? ? ? ? D.[[0，2]]
分析：本題需要分[a<0，a=0，a>0]三種情況加以討論;在每種情況下，可利用函數(shù)的單調(diào)性或圖像加以分析，最后整體總結(jié)，即可獲得所求參數(shù)的取值范圍.
解析：當(dāng)[a<0]時(shí)，根據(jù)[f（x）]在[[a，0]]上是增加的，可知[f（0）]不是函數(shù)[f（x）]的最小值，所以[a<0]不滿足題意;當(dāng)[a=0]時(shí)，若[x>0]，則[f（x）=x+1x≥2];若[x≤0]，則[f（x）=x2≥0]，所以[f（0）] 是函數(shù)[f（x）]的最小值，所以[a=0]滿足題意;當(dāng)[a>0]時(shí)，如圖1所示，畫出函數(shù)[f（x）]的大致圖像，由已知“[f（0）]是函數(shù)[f（x）]的最小值”，可知[a2≤2+a]，又[a>0]，從而解得[0 評(píng)注：本題具有一定的綜合性，側(cè)重考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，也考查了“分類與整合思想”“數(shù)形結(jié)合思想”在解題中的靈活運(yùn)用，較好地培養(yǎng)了考生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).
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