仲惟超

【摘要】“四點(diǎn)共圓”因其隱蔽性被稱為“隱圓”.在解決有關(guān)平面幾何問題時(shí)，如若我們能夠發(fā)現(xiàn)問題背景下的“隱圓”，便可借助圓的豐富性質(zhì)解決問題，開拓我們的解題思維，突破解題難點(diǎn).本文從“四點(diǎn)共圓”條件的探究出發(fā)，總結(jié)了發(fā)現(xiàn)圖中“隱圓”的兩條常用條件，并以典型題為例，闡述“隱圓”在解決較復(fù)雜的平面幾何問題中的作用與優(yōu)勢，做到“圖中無圓，心中有圓，解題有方，出奇制勝”.

【關(guān)鍵詞】四點(diǎn)共圓;隱圓;平面幾何;解題思維

初中數(shù)學(xué)圖形與幾何領(lǐng)域主要研究幾何圖形的邊邊關(guān)系、角角關(guān)系以及邊角關(guān)系.而人教版義務(wù)教育教科書九年級上冊“圓”這一章是義務(wù)教育階段平面圖形學(xué)習(xí)的最終章.在圓內(nèi)，我們借助圓內(nèi)有關(guān)性質(zhì)，可以非常方便地進(jìn)行角與角之間的相互轉(zhuǎn)化，同時(shí)，本章數(shù)學(xué)活動(dòng)2“探究四點(diǎn)共圓的條件”又引發(fā)了筆者的思考，如若將一些多邊形問題放在圓的背景下解決，是否會(huì)突破解題難點(diǎn)，開拓解題思路呢？于是筆者進(jìn)行了如下思考.

一、“四點(diǎn)共圓”條件探究

我們知道，根據(jù)圓的定義可知“到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)在同一個(gè)圓上”.這也是我們研究“四點(diǎn)共圓”的理論基點(diǎn)，在此基礎(chǔ)之上，我們可以思考以下問題：

問題1 如圖1所示，△ABC和△ABD都是直角三角形，且∠C=∠D=90°，求證：A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

我們可以取公共斜邊AB的中點(diǎn)E，連接DE，CE，如圖2所示.利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一性質(zhì)，可證DE=CE=AE=BE，由圓的定義知結(jié)論成立.該問題向我們呈現(xiàn)了“四點(diǎn)共圓”的基本模型圖.

在此基礎(chǔ)上，我們將角一般化，思考“對一般角，若有∠ACB=∠ADB，是否可證A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上”？如圖3所示.

該問題的證明利用“反證法”：

與已知“∠ACB=∠ADB”不符，所以E不在圓上.同理，第二種情況可在AC延長線上取一點(diǎn)E，同樣運(yùn)用反證法可證E不在圓上，因此，只能是C與A，B，D共圓.由此可得“四點(diǎn)共圓”的第一個(gè)常見條件：共底的，并有在底邊同側(cè)的相等頂角的兩個(gè)三角形的4個(gè)頂點(diǎn)共圓.

利用剛才證明問題1中的方法，并結(jié)合教材數(shù)學(xué)活動(dòng)2，我們提出新的思考.

問題2 對四邊形ABCD，如果它的對角互補(bǔ)，則四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)是否共圓？我們依然利用“反證法”分兩種情況進(jìn)行證明.如圖4，5所示.

同理，在圖5中，取DC延長線上一點(diǎn)E，也可證E點(diǎn)若在圓上與條件不符，因此，E點(diǎn)只能與C點(diǎn)重合，可證當(dāng)四邊形對角互補(bǔ)時(shí)，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.

由此，我們得到了初中數(shù)學(xué)平面幾何問題中發(fā)現(xiàn)“隱圓”的兩個(gè)重要條件：

（1）共底的，并有在底邊同側(cè)的相等頂角的兩個(gè)三角形的4個(gè)頂點(diǎn)共圓;

（2）對角互補(bǔ)的四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)共圓.

二、“四點(diǎn)共圓”解題應(yīng)用

在解決平面幾何問題的過程中，我們?nèi)绾文軌虬l(fā)現(xiàn)問題背景中的“隱圓”，而圓的有關(guān)性質(zhì)真的能幫助我們突破解題難點(diǎn)嗎？我們以一個(gè)例題為例，與大家分享“隱圓”在解決較復(fù)雜的平面幾何問題中的應(yīng)用.

該解題思路的難度在于學(xué)生習(xí)慣運(yùn)用角的轉(zhuǎn)化證兩角相等，而非通過證角平分線得兩角相等，因此，學(xué)生無法想到通過添加此輔助線進(jìn)行構(gòu)圖;其次對三角形全等性質(zhì)的運(yùn)用往往停留在對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，而非面積相等等，這些思維的局限性導(dǎo)致該問題無法解答.

如果學(xué)生能夠從該問題背景下找到圖形中的“隱圓”，該問題的思維難度將降低不少.如圖所示，在共底的△DPC與△APC中，我們已知底邊PC的同側(cè)頂角∠BDC=∠EAC，則A，C，P，D四點(diǎn)共圓.

此種解題思路正是學(xué)生習(xí)慣使用的利用角的轉(zhuǎn)化證兩角相等，符合學(xué)生的思維習(xí)慣，降低了思維難度.其中的解題核心就是發(fā)現(xiàn)圖中的“隱圓”，并利用圓的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化.

以該題為模型，下面這道變式題也就好想多了：

變式 以△ABC的邊AB，AC為邊，分別向外作正三角形ABD、正三角形ACE，DC，BE交于點(diǎn)F.求∠DFE的度數(shù).

在解決該問題時(shí)，我們可以通過添加輔助線，連接AF，構(gòu)造共圓的四點(diǎn)A，F(xiàn)，C，E（如圖所示）.

根據(jù)題中條件易得△ACD≌△AEB，

可見，發(fā)掘問題背景下的“隱圓”信息對解決較復(fù)雜平面幾何問題的重要性.