張炎伙

如何培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念？首先，空間是三維的，是學(xué)生能夠直接感知的真實(shí)存在，而教材呈現(xiàn)的卻是“具有象征意義”的平面形式的“空間”，即把三維空間表達(dá)在二維平面上。因?yàn)槿S和二維的穿梭轉(zhuǎn)化，學(xué)生常常覺(jué)得 “空間”抽象晦澀。其次，空間觀念（尤其是高年級(jí)以度量為主線的空間觀念）的建立不是一蹴而就的，需要學(xué)生不斷經(jīng)歷觀察、想象、操作、推理、歸納等數(shù)學(xué)化過(guò)程，潛移默化、漸次推進(jìn)。下面，筆者將以北師大版五下“長(zhǎng)方體的體積”為例，談?wù)勅绾位诙攘恳曈?，發(fā)展學(xué)生空間觀念。

一、由觀察到猜想——積累空間表象

空間觀念是抽象的，它的理解需要建立在形象的空間感知之上，需要豐富的實(shí)物表象支撐。這就需要教師設(shè)計(jì)多維活動(dòng)，使學(xué)生通過(guò)觀察、想象、分析、推理等活動(dòng)，加強(qiáng)對(duì)長(zhǎng)方體體積大小和結(jié)構(gòu)的感知與體驗(yàn)，促進(jìn)其形成豐富的直觀表象。

本課教學(xué)從觀察立體圖形、數(shù)體積單位開(kāi)始，讓學(xué)生分別數(shù)出不同形狀的立體圖形的體積，提出問(wèn)題：你覺(jué)得哪些圖形的體積比較容易數(shù)？學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的體積容易數(shù)，將研究的目光聚焦到長(zhǎng)方體體積中。接著教師以問(wèn)題引領(lǐng)教學(xué)：是不是所有長(zhǎng)方體體積都用數(shù)？（如長(zhǎng)方體冰箱、長(zhǎng)方體倉(cāng)庫(kù)的體積）逼迫學(xué)生思考尋找長(zhǎng)方體體積計(jì)算的一般方法。接著出示問(wèn)題：猜想長(zhǎng)方體的體積可能與什么有關(guān)。學(xué)生由“長(zhǎng)方形面積與長(zhǎng)、寬有關(guān)”，想到長(zhǎng)方體的體積與長(zhǎng)、寬、高有關(guān)，再借助多媒體的直觀演示，讓學(xué)生分別觀察“長(zhǎng)方體寬、高不變，改變長(zhǎng);長(zhǎng)、高不變，改變寬;長(zhǎng)、寬不變，改變高，體積都在變化”的動(dòng)畫，形成豐富表象經(jīng)驗(yàn)。

本環(huán)節(jié)的教學(xué)意在幫助學(xué)生積累體積的空間表象，突顯體積的度量意義——先用數(shù)學(xué)化的方法對(duì)立體圖形進(jìn)行測(cè)量，再數(shù)一數(shù)它由幾個(gè)相同體積單位累加，最后用“數(shù)”（shù）來(lái)表示。在這里，看似簡(jiǎn)單的“數(shù)（shǔ）和猜”，實(shí)則有深意，學(xué)生在觀察、分析中，豐富了對(duì)體積的表象感悟，使原本模糊、不確定的感知逐漸清晰完整起來(lái)——長(zhǎng)方體的體積與長(zhǎng)、寬、高有關(guān)。

二、由想象到操作——豐富空間思維

在空間觀念的建立中，想象和操作是發(fā)展空間思維的“利器”，在操作前讓學(xué)生先進(jìn)行基于已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的大膽想象，在頭腦中對(duì)圖形對(duì)象進(jìn)行綜合分析、加工改造更能實(shí)現(xiàn)空間觀念的真實(shí)發(fā)生。

教學(xué)中，教師出示一個(gè)沒(méi)有標(biāo)注任何數(shù)據(jù)的長(zhǎng)方體實(shí)物（為學(xué)生準(zhǔn)備長(zhǎng)方體學(xué)具和1 cm3的小方塊），拋出問(wèn)題：長(zhǎng)方體的體積與長(zhǎng)寬高有什么關(guān)系？可以怎么知道這個(gè)長(zhǎng)方體的體積？學(xué)生自然想到在長(zhǎng)方體里擺小正方體。此時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察長(zhǎng)方體和1 cm3的小方塊展開(kāi)豐富想象。學(xué)生的表達(dá)可能是“20 cm3，長(zhǎng)擺5個(gè)，寬擺2個(gè)，高擺2層”或“24 cm3，長(zhǎng)擺4個(gè)，寬擺3個(gè)，高擺2層”等。此時(shí)的“腦中操作”比“動(dòng)手操作”更能逼迫學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)、空間內(nèi)涵進(jìn)行深刻理解，讓接下來(lái)的“擺”具備目的性與驅(qū)動(dòng)力。

在學(xué)生“窮盡所有想象”時(shí)，再讓學(xué)生充分操作并填寫數(shù)據(jù)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)一行擺了4個(gè)小正方體，擺了3行，底面積是12 cm2，高擺了2層，長(zhǎng)方體的體積便是24 cm3。通過(guò)觀察數(shù)據(jù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)長(zhǎng)方體的體積剛好為長(zhǎng)×寬×高?？墒且粋€(gè)例子就能總結(jié)出這樣的規(guī)律嗎？請(qǐng)每個(gè)小組再擺出一個(gè)長(zhǎng)方體，記錄數(shù)據(jù)，全班匯報(bào)，發(fā)現(xiàn)每組擺出的長(zhǎng)方體的體積都等于長(zhǎng)×寬×高。教師出示問(wèn)題：在小正方體不夠的情況下，你能想辦法測(cè)量出長(zhǎng)方體盒子的體積嗎？學(xué)生嘗試發(fā)現(xiàn)：只擺最底下一層，再擺出高就能知道體積。甚至有學(xué)生發(fā)現(xiàn)只擺出長(zhǎng)寬高的框架或在頭腦中想象出長(zhǎng)方體的模型，就能推算出所需小正方體的塊數(shù)，進(jìn)而得到體積。

教師巧妙設(shè)問(wèn)：長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)×寬×高，那長(zhǎng)、寬、高分別表示什么？學(xué)生結(jié)合直觀圖形自然建構(gòu) “長(zhǎng)方體的長(zhǎng)代表每排個(gè)數(shù)”“長(zhǎng)方體的寬代表排數(shù)”“長(zhǎng)方體的高代表層數(shù)”的本質(zhì)聯(lián)系。

本環(huán)節(jié)教學(xué)從頭腦想象到實(shí)踐操作，讓學(xué)生基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，在頭腦中主動(dòng)調(diào)動(dòng)“數(shù)體積”“搭長(zhǎng)方體”的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)沒(méi)有任何數(shù)據(jù)的長(zhǎng)方體展開(kāi)豐富想象，在頭腦中進(jìn)行合情推理，形成思維策略，并逐漸產(chǎn)生“擺一擺”的強(qiáng)烈欲望，著力點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生去真想象、真思考、真操作、真分析、真發(fā)現(xiàn)、真歸納，促進(jìn)空間觀念的有效發(fā)展，促進(jìn)學(xué)習(xí)力的真提升。

三、由計(jì)算到度量——提升空間觀念

在長(zhǎng)方體體積探究中，“體積公式計(jì)算”是顯性的，“體積單位度量”是隱性的，學(xué)生記住的往往是形式化的公式，而忽視了用度量單位來(lái)測(cè)量?？臻g觀念的建立，需要讓學(xué)生不斷進(jìn)行“數(shù)與形”的穿梭轉(zhuǎn)換，由“形”想到“數(shù)”，由“數(shù)”回溯 “形”，理解度量的本質(zhì)內(nèi)涵——選取恰當(dāng)?shù)亩攘繂挝粚?duì)圖形進(jìn)行度量，進(jìn)而用數(shù)量對(duì)圖形中所隱藏的屬性進(jìn)行抽象表達(dá)。

在學(xué)生深刻理解長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式后，教師提出問(wèn)題：體積是8的長(zhǎng)方體可能是怎樣的？學(xué)生自由表達(dá)：可能是“長(zhǎng)4 cm，寬2 cm，高1 cm”“長(zhǎng)8 cm，寬1 cm，高1 cm”“長(zhǎng)2 cm，寬2 cm，高2 cm”。教師提出問(wèn)題：三個(gè)長(zhǎng)方體中，哪個(gè)最特別，特別在哪？經(jīng)過(guò)這樣的思考過(guò)程，“正方體體積等于棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)”也就呼之欲出了。接著教師以2個(gè)具有思考價(jià)值的問(wèn)題帶領(lǐng)學(xué)生走向深處，問(wèn)題1：為什么3個(gè)長(zhǎng)方體形狀不同，體積都一樣？問(wèn)題2：體積是8的正方體只有“長(zhǎng)2 cm，寬2 cm，高2 cm”這一種情況嗎？學(xué)生陷入深深的思考，教師再出示“長(zhǎng)2 dm，寬2 dm，高2 dm”的大正方體實(shí)物，并用多媒體展示“長(zhǎng)2 m，寬2 m，高2 m”的不同空間的照片，學(xué)生驚訝之余，想到了原來(lái)也可以是8 dm3、8 m3。在這樣一次又一次的想象、操作、質(zhì)疑、討論、辨析中，學(xué)生獲得了實(shí)實(shí)在在的感悟，也正是因?yàn)椴粩啾平鼣?shù)學(xué)本質(zhì)的追問(wèn)，學(xué)生在潛移默化中發(fā)展了空間觀念，受到了極限、變與不變、數(shù)形結(jié)合等思想方法的浸潤(rùn)，經(jīng)歷了一回科學(xué)理性思考的深度體驗(yàn)。

四、由單一到融通，建構(gòu)空間度量體系

空間觀念的建立需要站在學(xué)科整體化、系統(tǒng)化的高度進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的教學(xué)，幫助學(xué)生主動(dòng)叩問(wèn)“知識(shí)來(lái)自哪里，又將要流向何方”，理清空間知識(shí)間的邏輯關(guān)系，通曉知識(shí)的前后聯(lián)系，形成強(qiáng)大的遷移力和生長(zhǎng)力。

教師借助多媒體課件演示點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體，計(jì)量單位的變化，長(zhǎng)度、面積、體積度量方法的對(duì)比。促使學(xué)生從單向思維中跳出，以縱觀全局的視角在“一維、二維、三維”中自由穿梭，在“長(zhǎng)度、面積、體積單位”中輕松轉(zhuǎn)換，在“直尺測(cè)量、面積計(jì)算、體積公式”中來(lái)回說(shuō)理。學(xué)生在思考和探究的強(qiáng)大領(lǐng)域中，在直觀動(dòng)態(tài)的真實(shí)情境中不斷思辨、反復(fù)尋理，實(shí)現(xiàn)了對(duì)空間度量的結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)。

弗賴登塔爾認(rèn)為：幾何是對(duì)空間的把握，這個(gè)空間是兒童生活、呼吸和運(yùn)動(dòng)的空間。為了更好地把握、理解這個(gè)空間，兒童需要身處其間，在適切的現(xiàn)實(shí)情境中，經(jīng)歷完整的觀察、猜想、想象、操作、思辨、推理等數(shù)學(xué)化過(guò)程，站在更高的度量視域中洞悉度量本質(zhì)、形成結(jié)構(gòu)化的空間理解和把握，自然提升空間觀念。

（作者單位：福建省晉江市安海鎮(zhèn)莊頭小學(xué) 本專輯責(zé)任編輯：王彬）