李鵬

容器中有某種濃度的藥水，加入一杯水后，容器中藥水的濃度為25%，再加入一杯藥粉，容器中藥水的濃度為40%。原來(lái)容器中有幾杯藥水，濃度是多少？

該題是在教學(xué)濃度問(wèn)題后，在配套練習(xí)中設(shè)計(jì)的一道思考題。該題有一種直觀解法：把加入一杯藥粉后的藥水平均分成10份，其中4份是藥粉（占40%），6份是水。（圖1）

用△表示藥粉，用□表示水。加入藥粉前，濃度為25%，也就是藥粉與水之比是1∶3，因此可以是2個(gè)△和6個(gè)□。這樣就知道加入的一杯藥粉是2個(gè)△（圖中圈出部分），一杯水就是2個(gè)□。因此，原來(lái)容器中有2個(gè)△和4個(gè)□。也就是3杯藥水。濃度是2÷（2+4）×100%=33.3%。

初步感知方法后，有學(xué)生提出原題中“再加入一杯藥粉，容器中藥水的濃度為40%”這個(gè)條件是多余的，并用圖2加以說(shuō)明。加入一杯水后，容器中藥水的濃度為25%，藥粉與水的比是1∶3，一杯水是一個(gè)□，用逆推的方法將這杯水取出，即可求出問(wèn)題。以上過(guò)程雖然是錯(cuò)誤的，但是充分展示了學(xué)生的思維過(guò)程。我們應(yīng)當(dāng)及時(shí)讓學(xué)生去辨析，幫助學(xué)生清理障礙：加入一杯水后，容器中藥水的濃度為25%，藥粉與水的比是1∶3，還可以是2個(gè)△和6個(gè)□，如果一杯水是一個(gè)□，用逆推的方法將這杯水取出，藥水的濃度約是28.6%……在解完一個(gè)或一批題目后，能夠作一些更進(jìn)一步的思考，或找出一些普遍的規(guī)律，或歸納提煉出某些一般方法，弄清問(wèn)題的關(guān)鍵和本質(zhì)，這比糊里糊涂地解幾道題甚至幾百道題更加有益。

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，僅靠淺層次的課堂教學(xué)是無(wú)法順利完成的。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂練習(xí)中，教師應(yīng)適當(dāng)安排有一定思維深度（不等于難度）的習(xí)題，幫助學(xué)生提升思維水平和解題能力。筆者在教學(xué)這類習(xí)題的過(guò)程中，運(yùn)用“圖形模擬”的數(shù)學(xué)思想方法，使習(xí)題內(nèi)容具體化、形象化，可以使學(xué)生理解題意，明確數(shù)量關(guān)系，理清解題思路，進(jìn)而很快地得出解法。

（作者單位：南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校 責(zé)任編輯：王彬）