丁闖， 馮輔周， 張兵志,2， 吳守軍

(1.陸軍裝甲兵學(xué)院 車輛工程系, 北京 100072； 2.北方特種車輛研究所, 北京 100072)

0 引言

由于行星傳動(dòng)具有質(zhì)量輕、體積小、傳動(dòng)比大、承載能力強(qiáng)、傳動(dòng)效率高等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于多種軍用裝備和民用裝備中[1]。然而行星變速箱的復(fù)雜結(jié)構(gòu)決定了其振動(dòng)響應(yīng)異常復(fù)雜，并存在明顯的非線性、非平穩(wěn)性，且故障響應(yīng)微弱，因此提取其振動(dòng)信號(hào)的有效特征一直是學(xué)者們研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

信息熵能夠有效地檢測(cè)振動(dòng)信號(hào)時(shí)間序列的動(dòng)力學(xué)特性，因此，信息熵在特征提取及故障診斷中的應(yīng)用越來(lái)越受到人們的重視。目前，時(shí)頻熵(TFE)、樣本熵(SE)和排列熵(PE)在機(jī)械系統(tǒng)特征提取及故障診斷中的使用較為普遍，且取得了很好的效果。然而，TFE對(duì)中心頻率較為敏感，而對(duì)邊頻信號(hào)幅值敏感性較弱[2]；SE的計(jì)算過(guò)程尤為繁瑣，耗時(shí)耗力，且抗干擾能力差[3]；PE雖然具有算法簡(jiǎn)單、計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn)，然而，其在子序列升序排列時(shí)僅考慮幅值的相對(duì)大小，沒(méi)有考慮實(shí)際幅值帶來(lái)的影響，造成了其對(duì)時(shí)間序列的幅值不敏感，限制了其發(fā)展[4]。

近年來(lái)，量子理論取得了快速發(fā)展，已經(jīng)成為極具革命性的理論。量子理論與傳統(tǒng)的信息表達(dá)方式存在較大差異，具有優(yōu)異的性能，能準(zhǔn)確地表達(dá)很多客觀存在的規(guī)律[5]。在各學(xué)科領(lǐng)域的大力研究下，量子理論的應(yīng)用也逐漸擴(kuò)展到各個(gè)領(lǐng)域，并在通信、信息加密、數(shù)據(jù)優(yōu)化，圖像處理、快速檢索等領(lǐng)域取得了嶄新的成就[6-7]。

鑒于TFE、SE、PE的不足以及量子理論全新表達(dá)方式的優(yōu)勢(shì)，本文將量子理論引入信息熵，提出一種結(jié)合信息熵和量子理論的特征提取新方法——線性量子信息熵。首先簡(jiǎn)要介紹量子理論，建立振動(dòng)信號(hào)的多量子位系統(tǒng)；然后在振動(dòng)信號(hào)多量子位表達(dá)的基礎(chǔ)上提出量子信息熵的基本原理；最后，以行星變速箱為例，將故障模擬試驗(yàn)臺(tái)采集到的正常、故障等5種狀態(tài)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行線性量子信息熵計(jì)算，并與TFE、SE、PE進(jìn)行對(duì)比。

1 量子理論

量子理論在近年來(lái)取得了廣泛的研究成果，成為一種行之有效的信息處理工具，同時(shí)推動(dòng)著相關(guān)領(lǐng)域的快速發(fā)展。借助量子理論描述微觀世界的全新思想及其特殊的狀態(tài)表達(dá)形式，使其在振動(dòng)信號(hào)的處理方面取得了有效應(yīng)用[8-10]。

1.1 量子理論基礎(chǔ)

量子比特是量子理論體系中描述量子世界的基本單位，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

|φ〉=a|0〉+b|1〉，

(1)

式中：|0〉和|1〉為量子比特的量子基態(tài)；系數(shù)a和b為量子態(tài)概率幅值，為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，概率幅值的模平方為量子概率，即|a|2和|b|2分別表示量子基態(tài)|0〉和|1〉出現(xiàn)的概率，滿足歸一化條件：

|a|2+|b|2=1.

(2)

由(1)式和(2)式可知，量子比特描述的狀態(tài)是不確定的，其表示的是兩種不同概率幅值的兩個(gè)基態(tài)組合而成的各種狀態(tài)，即不同的系數(shù)a和b組合可表示振動(dòng)信號(hào)的不同狀態(tài)。

1.2 線性量子比特

振動(dòng)信號(hào)的量子表達(dá)是進(jìn)行進(jìn)一步數(shù)據(jù)處理的關(guān)鍵。下面推導(dǎo)振動(dòng)信號(hào)的線性量子表達(dá)，用于描述振動(dòng)信號(hào)的狀態(tài)。

假設(shè)振動(dòng)信號(hào)為X={x(i),i=1,2,…，N}，使用公式

(3)

對(duì)信號(hào)X的每個(gè)采樣點(diǎn)元素x(i)進(jìn)行歸一化處理，得到y(tǒng)(i)∈[0,1]。

參考文獻(xiàn)[11]，提出振動(dòng)信號(hào)線性量子表達(dá)的數(shù)學(xué)式，將振動(dòng)信號(hào)從時(shí)域空間映射到量子空間，從而用于分析振動(dòng)信號(hào)的狀態(tài)。歸一化后的振動(dòng)信號(hào)線性量子表達(dá)為

(4)

1.3 振動(dòng)信號(hào)多量子位系統(tǒng)

在行星齒輪箱振動(dòng)信號(hào)處理中，往往需要同時(shí)對(duì)多個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行處理，對(duì)單個(gè)采樣點(diǎn)量子化不能滿足要求，因此需要對(duì)振動(dòng)信號(hào)多個(gè)采樣點(diǎn)量子化。

若振動(dòng)信號(hào)的每個(gè)采樣點(diǎn)都使用量子比特進(jìn)行量子化，則一組l個(gè)采樣點(diǎn)的振動(dòng)信號(hào)Yl可由l個(gè)量子位描述，其中第i個(gè)量子位的狀態(tài)為|y(i)〉=ai|0〉+bi|1〉，該振動(dòng)信號(hào)可用l個(gè)量子比特的直積表示：

(5)

式中：|ia〉為量子系統(tǒng)(振動(dòng)信號(hào))|Yl〉的第i個(gè)態(tài)矢(在多量子位系統(tǒng)中，由于基態(tài)由多位符號(hào)組成，通常將基態(tài)稱之為態(tài)矢)；wi為態(tài)矢|ia〉的概率幅值，概率幅值的模平方|wi|2為態(tài)矢|ia〉的概率，根據(jù)量子理論的歸一化條件，wi應(yīng)滿足：

(6)

為了更清楚地表達(dá)這一過(guò)程，假設(shè)振動(dòng)信號(hào)序列X={x(i),i=1,2,…，N}，取振動(dòng)序列中相鄰3個(gè)采樣點(diǎn)為例說(shuō)明多采樣點(diǎn)的量子化過(guò)程。設(shè)相鄰3個(gè)采樣點(diǎn)為X3={x(h-1),x(h),x(h+1)}，h∈[2,N-1]，使用(3)式對(duì)整個(gè)序列X的每個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行歸一化并記為Y，此時(shí)X3歸一化后為Y3={y(h-1),y(h),y(h+1)}，可將其生成含3個(gè)量子位的量子系統(tǒng)，其態(tài)矢為|ib〉∈{|000〉,|001〉,…,|111〉}。

結(jié)合單采樣點(diǎn)的線性量子化，對(duì)于3個(gè)量子比特系統(tǒng)，共有8個(gè)態(tài)矢，則振動(dòng)信號(hào)的3個(gè)相鄰采樣點(diǎn)可表示為

(7)

由(7)式可知，任意相鄰3個(gè)采樣點(diǎn)都可進(jìn)行線性量子化，量子化過(guò)程中wi為對(duì)應(yīng)態(tài)矢|ib〉的概率幅值，而|wi|2為對(duì)應(yīng)態(tài)矢|ib〉出現(xiàn)的概率，顯然，其滿足歸一化條件，由于概率為線性變化，(7)式亦稱為振動(dòng)信號(hào)的線性量子化。

為了更直觀地反映量子化的實(shí)質(zhì)，X3進(jìn)行的量子化過(guò)程可表示為圖1所示。

2 線性量子信息熵

“熵”的概念最早被Shannon用于描述信息論中信息的不確定性，同時(shí)給出了信息熵的數(shù)學(xué)表達(dá)式，定義一個(gè)不確定的概率分布信息熵為

(8)

式中：pk為第k類事件出現(xiàn)的概率，信息熵大小可定量描述概率系統(tǒng)的平均不確定程度；n為事件數(shù)量。

2.1 線性量子信息熵基本原理

結(jié)合振動(dòng)信號(hào)多量子位表達(dá)和信息熵的概念，提出線性量子信息熵，其基本原理如下：

1)振動(dòng)信號(hào)歸一化。設(shè)振動(dòng)時(shí)域信號(hào)時(shí)間序列X={x(i),i=1,2,…，N}。根據(jù)(3)式對(duì)振動(dòng)信號(hào)時(shí)間序列進(jìn)行歸一化，得歸一化后時(shí)間序列為Y={y(i),i=1,2,…,N}，y(i)∈[0，1]。

2)相空間重構(gòu)。對(duì)時(shí)間序列Y進(jìn)行相空間重構(gòu)，得到矩陣Y0為

(9)

式中：j=1,2,3,…,K；m為嵌入維數(shù)；τ為延遲時(shí)間；K為重構(gòu)矩陣中重構(gòu)分量的個(gè)數(shù)，K=N-(m-1)τ；重構(gòu)矩陣中每一行的Y0(j)為一個(gè)重構(gòu)分量。根據(jù)文獻(xiàn)[4]中的參數(shù)優(yōu)化方法，在相空間重構(gòu)時(shí)，使用當(dāng)前最為有效的參數(shù)優(yōu)化方法，即使用互信息法確定延遲時(shí)間，使用偽近鄰法確定嵌入維度。

3)重構(gòu)分量線性量子化。將重構(gòu)矩陣中的每個(gè)重構(gòu)分量使用多量子比特線性量子化，態(tài)矢?jìng)€(gè)數(shù)n=2m，得

(10)

式中：wj,k為態(tài)矢|ib〉的概率幅值，概率幅值的模平方|wj,k|2為態(tài)矢|ib〉的概率。

4)計(jì)算各態(tài)矢概率。計(jì)算所有重構(gòu)分量中同一態(tài)矢的概率和，得出各態(tài)矢出現(xiàn)的概率為

(11)

式中：k=1,2,3,…,n.

5)計(jì)算量子信息熵。將各態(tài)矢出現(xiàn)的概率作為事件出現(xiàn)的概率，計(jì)算信息熵為

(12)

(13)

根據(jù)Shannon信息熵概念，量子信息熵Hq(X)表示時(shí)間序列X量子化后各態(tài)矢出現(xiàn)概率的隨機(jī)性。Hq(X)越大，說(shuō)明各態(tài)矢出現(xiàn)的概率越均勻，即各態(tài)矢出現(xiàn)的概率接近；反之，Hq(X)越小，說(shuō)明各態(tài)矢出現(xiàn)的概率相差較大。對(duì)于行星齒輪傳動(dòng)，Hq(X)越大，說(shuō)明其運(yùn)行狀態(tài)越穩(wěn)定，即越接近正常狀態(tài)；Hq(X)越小，說(shuō)明行星齒輪箱運(yùn)行狀態(tài)越不穩(wěn)定，即偏離正常狀態(tài)，出現(xiàn)異常。

由前述基本原理可知，線性量子信息熵算法是基于時(shí)間序列各采樣點(diǎn)實(shí)際值的統(tǒng)計(jì)特性而提出的一種算法，具有很強(qiáng)的適用性。Hq(X)變化能夠反映并放大時(shí)間序列的微小變化，線性量子信息熵算法流程如圖2所示。

2.2 與PE算法對(duì)比

由線性量子信息熵的基本原理可知，其計(jì)算過(guò)程與PE算法相似，然而量子信息熵特殊的計(jì)算方式能夠克服PE計(jì)算中的不足，具有很大優(yōu)勢(shì)[12]。相對(duì)線性量子信息熵，PE存在以下不足：

1)PE在評(píng)估時(shí)間序列幅值等級(jí)的差別時(shí)敏感度較低。假設(shè)由3個(gè)采樣點(diǎn)組成的3個(gè)重構(gòu)分量分別為X(1)={x11,x12,x13}，X(2)={x21,x22,x23}，X(3)={x31,x32,x33}，其值如圖3(a)、圖3(b)所示。按照PE的升序排列規(guī)則，圖3(a)中X(1)、X(2)、X(3)為同一種符號(hào)序列，均為{1,2,3}；圖3(b)中X(1)、X(2)、X(3)為同一種符號(hào)序列，均為{1,3,2}，而其實(shí)際值卻相差很大，從而嚴(yán)重影響其最終提取特征的精度。

2)PE抗干擾能力較差。假設(shè)3個(gè)重構(gòu)分量X(1)、X(2)、X(3)，其值如圖3(c)所示。按照PE的升序排列規(guī)則，X(1)、X(2)、X(3)為3種符號(hào)序列，分別為{1,2,3}、{1,3,2}、{3,1,2}，而此3個(gè)重構(gòu)分量的實(shí)際值卻相差很小，因此時(shí)間序列中微弱噪聲即能影響重構(gòu)分量的排序結(jié)果，進(jìn)而影響提取特征的準(zhǔn)確性。

量子信息熵的計(jì)算摒棄了按照大小排列原則，充分考慮了其時(shí)間序列的實(shí)際值，對(duì)各態(tài)矢的概率計(jì)算尤為精確，因此線性量子信息熵能夠克服排列熵存在的不足，具有很大優(yōu)勢(shì)。

3 線性量子信息熵的應(yīng)用

為了檢驗(yàn)上述量子信息熵在復(fù)雜行星齒輪箱特征提取中的應(yīng)用效果，本文使用試驗(yàn)臺(tái)采集到的振動(dòng)信號(hào)驗(yàn)證其實(shí)用性，并使用TFE、SE、PE與線性量子信息熵對(duì)比，進(jìn)一步證明其優(yōu)越性。

對(duì)量子信息熵的有效性驗(yàn)證使用某型行星變速箱多種健康狀態(tài)的振動(dòng)信號(hào)。故障模擬試驗(yàn)臺(tái)如圖4所示，主要由驅(qū)動(dòng)電機(jī)、傳動(dòng)箱、行星變速箱、負(fù)載電機(jī)、轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩儀組成。在實(shí)際運(yùn)行中，通過(guò)液壓油路控制行星變速箱內(nèi)部離合器和制動(dòng)器的分離和結(jié)合，實(shí)現(xiàn)行星變速箱不同的傳動(dòng)比。行星變速箱3擋時(shí)動(dòng)力傳遞原理如圖5所示，其中K1為復(fù)合行星排，K2、K3為簡(jiǎn)單行星排。

在行星變速箱特征提取過(guò)程中，齒輪裂紋是一種常見(jiàn)故障，若不及時(shí)發(fā)現(xiàn)將擴(kuò)展成斷齒，進(jìn)而產(chǎn)生嚴(yán)重的后果；而齒輪裂紋故障信號(hào)微弱，對(duì)于齒輪裂紋的故障識(shí)別一直是一個(gè)難點(diǎn)，因此進(jìn)行齒輪裂紋故障識(shí)別意義重大。為了驗(yàn)證本文所提方法的優(yōu)越性，使用裂紋故障用于檢驗(yàn)本文方法針對(duì)復(fù)雜行星變速箱特征提取的有效性。試驗(yàn)中，振動(dòng)傳感器粘貼在行星齒輪箱的箱體上，采樣頻率設(shè)定為20 kHz. 試驗(yàn)共進(jìn)行了5種健康狀態(tài)下的數(shù)據(jù)采集，分別為齒輪正常、K1小行星輪裂紋、K1大行星輪裂紋、K2行星輪裂紋、K3太陽(yáng)輪裂紋，4種齒輪裂紋故障均為局部故障，即齒輪上某個(gè)輪齒含有裂紋，裂紋由線切割加工產(chǎn)生，裂紋處于輪齒根部，裂紋沿齒厚方向的深度為2 mm，沿齒寬方向貫穿整個(gè)輪齒齒寬。驅(qū)動(dòng)電機(jī)輸入轉(zhuǎn)速為1 500 r/min；兩側(cè)負(fù)載電機(jī)加載扭矩為900 N·m. 每個(gè)樣本采樣時(shí)間設(shè)置為1 s，每種狀態(tài)采集50個(gè)樣本，共250個(gè)樣本。

3.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

行星變速箱3擋時(shí)上述5種狀態(tài)采集到振動(dòng)信號(hào)時(shí)頻如圖6所示，其中圖6(a)～圖6(e)分別代表前文所述的5種狀態(tài)。由5種狀態(tài)的頻域波形可知，各狀態(tài)下的頻率成分特別復(fù)雜，且相差甚微，故障信息并不明顯，因此僅根據(jù)此時(shí)的頻域分析很難判斷行星齒輪箱的運(yùn)行狀態(tài)[13]。

使用本文提出的線性量子信息熵提取5種狀態(tài)的振動(dòng)信號(hào)特征。根據(jù)文獻(xiàn)[4]中的參數(shù)優(yōu)化方法，針對(duì)5種狀態(tài)，在相空間重構(gòu)時(shí)使用當(dāng)前最為有效的參數(shù)優(yōu)化方法，即使用互信息法確定延遲時(shí)間τ=1，使用偽近鄰法確定嵌入維度m=3. 計(jì)算每個(gè)樣本(N=20 000)的線性量子信息熵，結(jié)果如圖7所示。由圖7可知：線性量子信息熵能夠清晰地分辨5種狀態(tài)的信號(hào)，且齒輪正常時(shí)振動(dòng)信號(hào)熵值最大，說(shuō)明其振動(dòng)信號(hào)對(duì)應(yīng)的各態(tài)矢分布更均勻；在出現(xiàn)故障后，由于故障產(chǎn)生的頻率變化及沖擊對(duì)其振動(dòng)信號(hào)有較大影響，造成某些態(tài)矢概率增加、某些態(tài)矢概率減少，態(tài)矢分布均勻性變?nèi)?，?dǎo)致其線性量子信息熵值減小。不同故障對(duì)態(tài)矢分布的影響不同，因此具有不同熵值，各狀態(tài)下的熵值保持穩(wěn)定，說(shuō)明線性量子信息熵具有較好的穩(wěn)定性。由此可見(jiàn)，線性量子信息熵能夠作為判斷行星變速箱狀態(tài)的特征。

3.2 與TFE、PE、SE結(jié)果對(duì)比

由于本文研究的行星變速箱結(jié)構(gòu)復(fù)雜，與目前存在的很多行星齒輪箱試驗(yàn)臺(tái)有較大差異，其不僅有3個(gè)行星排，行星輪個(gè)數(shù)較多、軸承較多，且有很多個(gè)定軸部分傳動(dòng)，使得信號(hào)成分異常復(fù)雜。齒輪發(fā)生裂紋故障時(shí)對(duì)信號(hào)的影響較小，使用當(dāng)前很多方法沒(méi)有很好的效果。而信息熵作為統(tǒng)計(jì)信息無(wú)序程度的特征量，對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)的微小故障特征提取較為有效，目前存在的TFE、PE、SE對(duì)于簡(jiǎn)單行星齒輪箱的特征提取均有很好的效果。此外，TFE、PE、SE和本文所提線性量子信息熵都是由信息熵發(fā)展的特征提取方法。因此，為了證明本文提出的線性量子信息熵對(duì)復(fù)雜行星變速箱的的優(yōu)勢(shì)，使用當(dāng)前較為有效的TFE、PE、SE信息熵方法提取5種狀態(tài)的振動(dòng)信號(hào)特征，計(jì)算結(jié)果如圖8～圖10所示。

由圖8～圖10可知：TFE、PE、SE對(duì)復(fù)雜行星變速箱運(yùn)行狀態(tài)提取的特征波動(dòng)較大、穩(wěn)定性差，且某些狀態(tài)的特征值存在交叉，僅能用于判斷某些運(yùn)行狀態(tài)，并不能作為準(zhǔn)確判斷行星變速箱5種運(yùn)行狀態(tài)的有效特征；而相對(duì)于TFE、PE、SE，線性量子信息熵對(duì)于此復(fù)雜行星變速箱的特征提取更為有效，且穩(wěn)定性好。因此，將線性量子信息熵可作為判斷行星變速箱狀態(tài)的特征。

4 結(jié)論

本文結(jié)合量子理論和信息熵，提出了一種特征計(jì)算的新方法——線性量子信息熵，并將其用于行星變速箱的特征提取，用于判斷行星齒輪箱的運(yùn)行狀態(tài)。得出主要結(jié)論如下：

1)線性量子信息熵作為一種新的特征提取方法，該方法原理簡(jiǎn)單、計(jì)算快捷，用于提取行星變速箱的運(yùn)行特征，具有良好效果。

2)由于線性量子信息熵在計(jì)算態(tài)矢考慮了實(shí)際值，在原理上比PE更有優(yōu)勢(shì)。對(duì)比結(jié)果表明，本文提出的線性量子信息熵在行星變速箱運(yùn)行狀態(tài)振動(dòng)信號(hào)特征提取中更有優(yōu)勢(shì)。

3)線性量子信息熵作為全新的特征提取方法，目前尚處于研究完善階段，對(duì)于行星變速箱中多個(gè)齒輪同時(shí)出現(xiàn)多種裂紋或故障的應(yīng)用效果，有待下一步研究。

4)量子理論作為極具變革的理論，將其引入振動(dòng)信號(hào)分析中將發(fā)揮其巨大的潛力，也必將為振動(dòng)信號(hào)分析方法提供更多新思路。