■陳國(guó)林

直線與圓是解析幾何初步的內(nèi)容，是學(xué)習(xí)圓錐曲線的基礎(chǔ)，但是很多同學(xué)在初學(xué)時(shí)常因知識(shí)掌握得不夠牢固，而導(dǎo)致解題時(shí)出錯(cuò)。下面以例題形式呈現(xiàn)，給出幾個(gè)有關(guān)直線與圓的問題的巧解方法，希望能給同學(xué)們帶來啟示。

一、理清基本概念

例1下列命題中正確的有( )。

①直線的斜率為tanα，則直線的傾斜角是α;

②直線的傾斜角為α，則直線的斜率為tanα;

③由于垂直于x軸的直線的斜率不存在，所以垂直于x軸的直線的傾斜角也不存在。

A.0個(gè) B.1個(gè)

C.2個(gè) D.3個(gè)

解：直線的斜率為tanα，只有當(dāng)α∈[0，π)時(shí)，α才是直線的傾斜角，①錯(cuò)誤;任一直線的傾斜角均為α∈[0，π)，而當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，②錯(cuò)誤;當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，傾斜角為，③錯(cuò)誤。應(yīng)選A。

評(píng)注:對(duì)于直線與傾斜角問題，需要明確傾斜角α∈[0，π)，所有直線都有唯一的傾斜角，但當(dāng)傾斜角為90°時(shí)，直線的斜率不存在。

二、重視直線斜率不存在的情況

例2直線l過點(diǎn)P(-1，2)且到點(diǎn)A(2，3)和點(diǎn)B(-4，5)的距離相等，則直線l的方程為

解法1：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y-2=k(x+1)，即kx-y+k+2=0。由題意可得即，解得，此時(shí)直線l的方程為)，即x+3y-5=0。當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=-1，也符合題意。綜上可得，直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1。

解法2：當(dāng)AB∥l時(shí)，可得k=kAB=則直線l的方程為y-2=，即x+3y-5=0。當(dāng)l過AB的中點(diǎn)時(shí)，由AB的中點(diǎn)為(-1，4)，可得直線l的方程為x=-1。綜上可知，直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1。評(píng)注:部分同學(xué)在求解直線的方程時(shí)，常常因忽略直線的斜率不存在的情況，而導(dǎo)致漏解或錯(cuò)解。實(shí)際上，在求解此類問題時(shí)，若能夠借助圖形，采用數(shù)形結(jié)合的思想，會(huì)使得題目更直觀，且大大降低解題的出錯(cuò)率。

三、巧用截距為零

例3過點(diǎn)P(2，3)并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為( )。A.2x-3y=0

B.3x-2y=0或x+y-5=0

C.x+y-5=0

D.2x-3y=0或x+y-5=0

解：當(dāng)所求直線與兩坐標(biāo)軸的截距均不為0時(shí)，設(shè)該直線的方程為x+y=a，把點(diǎn)P(2，3)代入所設(shè)的方程，得a=5，則所求直線的方程為x+y=5，即x+y-5=0。當(dāng)所求直線與兩坐標(biāo)軸的截距均為0時(shí)，設(shè)該直線的方程為y=kx，把點(diǎn)P(2，3)代入所設(shè)的方程，得，則所求直線的方程為y=，即3x-2y=0。綜上可得，所求直線的方程為x+y-5=0或3x-2y=0。

評(píng)注:解答本題時(shí)，首先，需要分所求直線與兩坐標(biāo)軸的截距均為0和均不為0兩種情況進(jìn)行討論;其次，通過把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出直線方程。

四、分清傾斜角的取值范圍

例4經(jīng)過點(diǎn)P(0，-1)作直線l，若直線l與連接點(diǎn)A(1，-2)，B(2，1)的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角α的取值范圍是。

解：如圖1所示，為使直線l與線段AB總有公共點(diǎn)，則需kPA≤k≤kPB，而kPB＞0，kPA＜0。當(dāng)k＜0時(shí)，α為鈍角;當(dāng)k=0時(shí)，α=0;當(dāng)k＞0時(shí)，α為銳角。因?yàn)閗PA=所以-1≤k≤1。當(dāng)0≤k≤1時(shí)，當(dāng)-1≤k＜0時(shí)故傾斜角α的取值范圍為

圖1

評(píng)注:在求傾斜角α的取值范圍時(shí)，如果忽略了傾斜角α∈[0，π)，則會(huì)誤解為α∈。在解答這類題目時(shí)，如果能夠借助數(shù)形結(jié)合思想，將會(huì)使問題變得簡(jiǎn)單直觀。

五、注意特殊情況

例5已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為點(diǎn)P(-1，1)和點(diǎn)Q(2，2)，若直線l∶x+my+m=0與線段PQ有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

解：如圖2所示，直線l∶x+my+m=0過定點(diǎn)A(0，-1)。當(dāng)m≠0時(shí)，kPA=-2，因?yàn)?，所以或，解得或?dāng)m=0時(shí)，直線l的方程為x=0，與線段PQ也有交點(diǎn)。綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍為

圖2

評(píng)注:本題中m=0是個(gè)特殊情況，若忽視，會(huì)導(dǎo)致所求的實(shí)數(shù)m的取值范圍為

六、清楚直線和圓的位置關(guān)系

例6已知直線l∶mx+y-2m-1=0，圓C∶x2+y2-2x-4y=0，當(dāng)直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，實(shí)數(shù)

解：由題意知，直線l過定點(diǎn)(2，1)，設(shè)點(diǎn)A為(2，1)，而圓C∶(x-1)2+(y-2)2=5，其圓心C為(1，2)。當(dāng)直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線AC⊥l，則-1，解得m=-1。

評(píng)注:過圓內(nèi)的一點(diǎn)作直線，該直線與圓一定相交，且所截得的最長(zhǎng)的弦為過該點(diǎn)的直徑，最短的弦為過該點(diǎn)與直徑垂直的弦。

七、牢記圓的半徑r＞0

例7過點(diǎn)(1，2)總可作兩條直線與圓x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

評(píng)注:二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓時(shí)，需要滿足D2+E2-4F＞0，如果忽略了這一條件，會(huì)造成待定參數(shù)k的取值范圍擴(kuò)大。

八、挖掘隱含條件

例8若動(dòng)點(diǎn)(x，y)在圓(x-2)2+y2=4上，求6x2+8y2的最大值。

解：由(x-2)2+y2=4得y2=4x-x2，所以6x2+8y2=6x2+8(4x-x2)=-2x2+32x=-2(x2-16x+64-64)=-2(x-8)2+128。因?yàn)?≤x≤4，所以當(dāng)x=4時(shí)，6x2+8y2的最大值為96。

評(píng)注:圓(x-2)2+y2=4是一個(gè)封閉的圖形，表示以(2，0)為圓心，以2為半徑的圓，所以x的取值范圍不是R，而是[0，4]。解答本題時(shí)，若挖掘不出這一隱含條件，會(huì)誤認(rèn)為當(dāng)x=8時(shí)，6x2+8y2的最大值為128。

九、全面考慮情況

例9圓C∶(x-5)2+(y-1)2=36上到直線4x+3y+2=0的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

解：因?yàn)閳AC的半徑為6，圓心(5，1)到直線4x+3y+2=0的距離為5＜6，又因?yàn)閞-d=6-5=1，所以圓C∶(x-5)2+(y-1)2=36上到直線4x+3y+2=0的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3。

評(píng)注:圓上的點(diǎn)到一條直線的距離等于定值，這樣的點(diǎn)可能有0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)等情況，解答此類問題時(shí)，需要謹(jǐn)慎思考，要注意區(qū)分直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與圓上的點(diǎn)到一條直線的距離等于定值的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的區(qū)別。