張 利，陳俊超，陳國達，傅昱斐

(浙江工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，浙江 杭州 310032)

0 引 言

鈦合金人工關(guān)節(jié)是一種植入人體的醫(yī)療器械，預(yù)期使用壽命為10～20年，甚至更長[1]。人們對它的表面質(zhì)量要求很高。然而鈦合金材料具有導(dǎo)熱系數(shù)低、塑性弱、硬度高、彈性模量低等特點，導(dǎo)致切削加工性能差[2-3]，人工關(guān)節(jié)表面結(jié)構(gòu)又普遍比較復(fù)雜，所以傳統(tǒng)的機械加工方法很難達到理想的效果。

針對這種表面質(zhì)量需求較高，但構(gòu)造卻比較復(fù)雜的鈦合金工件，學(xué)者們提出了許多新型的加工方法，比如振動拋光[4]、電化學(xué)拋光[5]、磁性研磨拋光[6]等。這些加工方法各有優(yōu)缺點：比如振動拋光方法所需的裝置簡單，適用性強，但拋光質(zhì)量相對較低，且容易產(chǎn)生二次損傷；電化學(xué)拋光為非接觸式拋光，它能有效避免工件表面產(chǎn)生殘余應(yīng)力及二次損傷，但該方法難以保證工件表面材料去除的均勻性，整體拋光效果較差；磁性研磨拋光根據(jù)介質(zhì)不同可以細(xì)分為磁性磨料研磨和磁性流體研磨，實際拋光中磁性流體研磨效果相對更好，但它主要適宜加工一些凸形零件的表面，加工范圍存在局限性。

針對復(fù)雜結(jié)構(gòu)化表面的超精密加工，計時鳴等[7]提出了一種軟性磨粒流加工方法。該方法首先仿照復(fù)雜表面的幾何結(jié)構(gòu)設(shè)計相對應(yīng)的仿形約束流道，再用弱粘性的流體與磨粒混合制備軟性磨粒流，最后把軟性磨粒流循環(huán)通入仿形約束流道，對待加工表面進行加工[8]。該方法較其他加工方法普適性強，針對不同的表面結(jié)構(gòu)易于調(diào)整加工參數(shù)，加工效果良好，適合加工各類復(fù)雜的鈦合金表面。

軟性磨粒流是一種固-液兩相流，在兩相流領(lǐng)域，對于固相和液相的耦合方式有兩種比較典型的描述，分別是歐拉-歐拉描述和歐拉-拉格朗日描述[9]。兩種描述的區(qū)別主要在于對固相的描述不同。軟性磨粒流的顆粒濃度一般較低，可以忽略固相對液相的影響，所以一般采用歐拉-拉格朗日法對其進行數(shù)學(xué)建模。

在對仿真過程中的湍流運動進行描述時，雷諾時均法是一種比較常見的建模方法[10]。該方法的優(yōu)點是計算量小，得到的結(jié)果已經(jīng)能夠滿足大多數(shù)實際工程的需要；缺點是對湍流物理量進行時間平均后抹平了所有的脈動值，無法體現(xiàn)湍流特有的無序脈動這一特點。比如李瓊等[11]在模擬液壓油箱中固體顆粒的運動和李紹武等[12]在模擬粉塵運動時，都采用了基于雷諾時均法的湍流模型，他們模擬得出的顆粒運動軌跡雖然無序，但軌跡本身并不會隨時間而改變；從觀測顆粒運動的角度出發(fā)，這不是希望得到的結(jié)果。

因此，為了盡可能真實地模擬顆粒的運動，本文提出一種湍流分散方法，在雷諾時均法的基礎(chǔ)上還原湍流的速度脈動特征，然后在此基礎(chǔ)上進行流場分析，最后進行加工實驗進行驗證。

1 流場數(shù)學(xué)模型

1.1 基于歐拉法的液相湍流方程

湍流方程由兩部分組成：第一部分為運用雷諾時間平均思想在經(jīng)典Navier-Stokes方程(以下簡稱N-S方程)基礎(chǔ)上[13-14]推導(dǎo)出的湍流基本方程，即雷諾時均方程；第二部分是應(yīng)用最廣泛的標(biāo)準(zhǔn)k-ε湍流雙方程，該方程是為了使雷諾時均方程封閉而選用的湍流補充方程。

湍流區(qū)別于層流的關(guān)鍵在于湍流內(nèi)部存在尺度不一的渦旋運動，這些渦旋運動一般被認(rèn)為仍然符合N-S方程的描述[15]。在不考慮溫度變化的情況下，理論上對湍流的每一個瞬時狀態(tài)用N-S方程中的連續(xù)性方程和動量方程就可以準(zhǔn)確地描述湍流運動，但這種直接數(shù)值模擬方法涉及的計算量很大[16]，不能滿足實際工程的需要。

因此，本文依據(jù)雷諾時間平均思想在N-S方程基礎(chǔ)上構(gòu)建雷諾時均方程(RANS方程)。

連續(xù)性方程如下：

(1)

動量方程(以x方向為例)如下：

(2)

(3)

(4)

(5)

用同樣的方法可推導(dǎo)出湍流在y、z方向上的動量方程，然后結(jié)合湍流連續(xù)性方程，整理得出RANS方程如下：

(6)

(7)

式中：ρ—流體密度；▽—梯度算子；V—速度矢量；u，v，w—速度分量；p—壓強；μ—流體粘性系數(shù)；fx，fy，fz—作用在單位質(zhì)量上的體積力分量。另外，各個變量上方的橫線表示該變量是運用雷諾時均法后得到的時均值。

(8)

針對新增的k與μt兩項，本文選用LAUNDER和SPALDING[18]提出的標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型(Standardk-εModel)建立其內(nèi)在聯(lián)系：

(9)

(10)

其中，方程中各模型常數(shù)一般取值為：

C1ε=1.44，C2ε=1.92，Cμ=0.09，σk=1，σε=1.3。

1.2 基于拉格朗日法的顆粒運動模型

根據(jù)牛頓第二運動定律可以得出單顆顆粒的運動方程：

(11)

式中：mp—顆粒質(zhì)量；Vp—顆粒速度；t—時間；∑Fi—作用在顆粒上的各種力之和。

顆粒在流體中運動時會受到很多力的作用，其中曳力是在任何情況下都不可以忽略的力。本文只考慮顆粒受到曳力的情形。

曳力的大小與流體密度ρ、迎流面積Sp、速度差(v-vp)有關(guān)。參考空氣阻力的經(jīng)驗公式有:

(12)

可以得到曳力計算公式：

(13)

假設(shè)顆粒為球形并考慮曳力的作用方向，上式變?yōu)椋?/p>

(14)

式中：ρ—密度；v—速度；μ—流體粘度；r—顆粒半徑。下標(biāo)p—該物理量為顆粒物理量；未標(biāo)下標(biāo)p—除了某些無歧義的物理量外皆為流體物理量；Cd—曳力系數(shù)，其值由顆粒雷諾數(shù)Rep決定:

(15)

(16)

從曳力的計算公式中可以看出，流體速度是影響曳力大小的主要因素。前文的雷諾時均法抹平了湍流中所有尺度的脈動情況，只體現(xiàn)了所有物理量的平均結(jié)果。從研究顆粒運動的角度來說，這種情況體現(xiàn)不出湍流對于顆粒的無序驅(qū)動作用。因此，本文在模擬顆粒運動時，擬在一定程度上還原湍流運動特有的無序狀態(tài)，即湍流分散方法。

在標(biāo)準(zhǔn)k-ε湍流模型中湍流動能k的表達式為：

(17)

(18)

（3）依據(jù)前期設(shè)計要求，在確定爆破孔及預(yù)裂孔位置無誤后，可進行鉆孔設(shè)備合理選擇。為保證鉆孔精度，本次工程選擇110B型潛孔鉆機作為預(yù)鉆機，其具有鉆孔基面小、精度高、操作便捷等優(yōu)點；而在緩沖孔、主爆破孔鉆孔設(shè)備選擇時，則主要采用CM353型鉆機。結(jié)合角度尺的應(yīng)用，可以保證緩沖孔坡度的有效控制。

(19)

記速度脈動矢量為U′，那么有：

(20)

式中：I—隨機單位向量，用于表示速度脈動的方向。

對于上式中由3個隨機參數(shù)λ1，λ2，λ3組成的系數(shù)，采用一個新的隨機參數(shù)λ代替，即：

(21)

上式的關(guān)鍵是隨機參數(shù)λ的取值，理論上來說λ的取值有無限的可能，但實際應(yīng)用中卻不能在無限范圍內(nèi)對λ取值，具體的取值需要結(jié)合所模擬的流動情況而定。本文中λ的取值是一個均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的隨機分布。

因此，曳力的計算公式中流體的速度用重新構(gòu)建的湍流仿真速度U代替，即：

(22)

2 數(shù)值模擬

2.1 模型及參數(shù)設(shè)定

實際加工中的仿型約束流道如圖1所示。

圖1 仿型約束流道示意圖1-蓋板；2-人工膝關(guān)節(jié)；3-流道；4-流道出口；5-底板；6-螺釘7-固定件；8-密封膠填充槽；9流道入口

圖1中，蓋板1、底板5以及固定件7作為仿型約束配件，三者組成仿型約束流道，人工膝關(guān)節(jié)三維模型與仿真流道模型，如圖2所示。

圖2 物理模型和流道網(wǎng)格劃分1-仿型面A；2-仿型面B；3-過度面

人工膝關(guān)節(jié)模型是參考實際膝關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)而設(shè)計，其中1和2分別是包含6個曲率參數(shù)的仿型面，3是仿型面之間的過度面；仿真流道模型是根據(jù)圖1的仿型約束流道設(shè)計，用COMSOL軟件對其進行自動網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格形狀為正四面體。

為了便于觀測磨粒流流道內(nèi)的流場分布情況，本研究對圖2(b)所示的流道模型進行截面分割，得到的結(jié)果如圖3所示。

圖3 截面示意圖

仿真中的一些關(guān)鍵參數(shù)如表1所示。

表1 關(guān)鍵仿真參數(shù)

2.2 仿真結(jié)果

0.1 s時刻流道截面速度分布如圖4所示。

圖4 截面速度分布

從整體來看，流道中間部分的速度基本高于初始速度5 m/s，靠近出口部分的速度高于靠近入口部分的速度。從單個仿型面來看，仿型面A的截面1、截面2、截面3的速度分布依次呈現(xiàn)高-低-高的趨勢，結(jié)合物理模型分析，從相對位置較低的截面1和截面3到相對位置較高的截面2，途中損失了部分速度，導(dǎo)致速度分布呈現(xiàn)高-低-高這一結(jié)果。仿型面B的情況類似。

0.1 s時刻流道截面壓力分布如圖5所示。

圖5 截面壓力分布

圖5中顯示的結(jié)果與截面速度分布的結(jié)果相反：磨粒流從入口到出口這一過程所受到的壓力減小，從截面1到截面6這一過程中，物理位置相對較高的地方壓力相對較大。綜合上述分析可以得出：磨粒流速度分布和壓力分布符合實際加工經(jīng)驗，兩者之間存在一定程度的負(fù)相關(guān)聯(lián)系，該情況與伯努利方程的內(nèi)涵相符。

為了直觀反映前文提出的湍流分散方法的應(yīng)用效果，設(shè)置如下簡單情形：在10 mm的直管一端以5 m/s的速度通入水，在該端部中間以0.001 s的時間間隔釋放單顆粒子，粒子在水的曳力作用下運動，分別模擬未應(yīng)用湍流分散方法時，顆粒的運動過程與運用湍流分散方法時顆粒的運動過程，得到的結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同模擬方法下顆粒的運動軌跡

從圖6(a)中可以看到：在曳力作用下相同位置釋放的顆粒都沿著相同的軌跡運動；但圖6(b)中相同位置釋放的顆粒在曳力作用下的運動軌跡卻不相同，軌跡之間也相對無序。兩圖中顆粒運動軌跡的差別證實了湍流分散方法的有效性。

本研究結(jié)合湍流分散方法，對磨粒在人工膝關(guān)節(jié)加工流道模型內(nèi)的運動進行模擬仿真，結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同時刻的顆粒運動軌跡

從圖7中可以看到：t=0時刻磨粒在入口處就緒，流道內(nèi)并沒有磨粒；t=0.01 s時刻有兩波磨粒進入了流道，最開始釋放的磨粒已經(jīng)到了流道中部；t=0.02 s時刻已有4波磨粒進入了流道，最初釋放的磨粒已到達流道出口；t=0.02 s時刻到t=0.1 s時刻之內(nèi)磨粒不斷進入流道，同時先前進入流道的磨粒也不斷從出口離開，磨粒運動的軌跡逐漸增多，直到20波磨粒都進入了流道。圖中每條軌跡不同部分的顏色表示粒子運動到該位置時所具有的速度大小。

0.1 s時刻流道內(nèi)湍流動能分布如圖8所示。

圖8 0.1 s時刻的湍流動能分布

圖8中粒子軌跡的顏色表示0.1 s時刻不同位置的流體所具有的湍流動能，從圖中可以看到：絕大部分區(qū)域的流體所具有的湍流動能均低于0.4 m2/s2，只有出口部分的湍流動能高于0.4 m2/s2。從湍流動能的分布可以看出幾乎整個流道內(nèi)的流體都已處于湍流狀態(tài)，但絕大部分區(qū)域的湍流脈動程度相對較小。

綜合上述分析可以得到：磨粒在進入流道后受到流體曳力的作用而做加速運動，運動過程中與壁面碰撞發(fā)生反彈，反彈后的速度方向也因為流體曳力的影響而逐漸變?yōu)榕c流體流動方向一致。但在湍流分散方法的影響下，以相同條件釋放的磨粒的仿真運動軌跡不再重合。

考慮到實際加工中造成磨粒無序運動的因素有很多，比如泵的間歇性推動作用、流道入口之前的管路狀況等，因此磨粒的仿真運動結(jié)果雖然與磨粒的實際運動結(jié)果仍存在一定差距，但對于前文所建立的數(shù)學(xué)模型來說，該仿真結(jié)果是符合預(yù)期的。

3 加工實驗

3.1 平臺搭建及參數(shù)設(shè)定

搭建的實驗平臺如圖9所示。

圖9 實驗平臺示意圖1-渣漿泵；2-磨?；厥粘?；3-加工流道；4-輸送管

渣漿泵是整個磨粒流加工過程的動力源，開式磨粒回收池是整個磨粒流加工循環(huán)的起點和終點。磨粒流的加工流道，內(nèi)部安裝著表面待加工的人工膝關(guān)節(jié)實物。兩條輸送管，其中與泵相連的是加工流道的磨粒流入口管，與磨粒回收池相連的是加工流道的磨粒流出口管。

實驗分為粗加工和精加工兩個過程，實驗參數(shù)如表2所示。

表2 加工實驗主要參數(shù)

實驗加工時，磨粒流循環(huán)流動加工這一過程會產(chǎn)生大量熱能，包括渣漿泵、輸送管、磨粒流、加工流道、磨?；厥粘卦趦?nèi)的所有實驗裝置和實驗材料的溫度都會緩慢升高?？紤]到離心泵的使用壽命，粗加工和精加工過程都以1 h為加工間隔，到達時間后暫停加工，更換基液，等待0.5 h后繼續(xù)加工。同時，因為磨粒流中未加分散劑，需要定時攪拌磨?；厥粘?，防止磨粒沉積。

3.2 實驗結(jié)果及分析

加工前后表面效果對比如圖10所示。

圖10 加工前后表面效果對比

從圖10中可以明顯看到：加工前工件表面很粗糙，劃痕、凹坑等缺陷很多；而加工后工件表面比較平整，沒有明顯的表面缺陷。

在圖10(e～f)中，采用“倒映文字”的方法對工件表面質(zhì)量情況進行宏觀對比分析，從圖中可以清楚地看到，加工前零件的下表面無法映照出紙上的“Mechanical”字樣，而加工后零件的下表面已經(jīng)能清晰地映照出各個字母。此外，憑借肉眼也能清楚地判斷出人工膝關(guān)節(jié)的表面質(zhì)量在經(jīng)過實驗加工后得到了很好的改善。

4 結(jié)束語

本文在經(jīng)典N-S方程基礎(chǔ)上對RANS方程進行了推導(dǎo)，然后根據(jù)湍流動能重新構(gòu)建湍流速度脈動，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)k-ε方程、顆粒受力方程共同建立磨粒流加工流場的數(shù)學(xué)模型，以此為基礎(chǔ)借助Comsol軟件對磨粒流加工流場進行了數(shù)值模擬，參考仿真結(jié)果搭建了實驗平臺，進行了加工實驗。得到的結(jié)論如下：

(1)磨粒流加工流場的速度分布與壓力分布各自符合實際加工經(jīng)驗，兩者之間存在一定程度的負(fù)相關(guān)聯(lián)系，與伯努利方程的內(nèi)涵相符；

(2)經(jīng)仿真結(jié)果驗證，湍流分散方法能在一定程度上還原湍流速度脈動這一特點，從觀測顆粒運動的角度出發(fā)，該方法可以有效提高磨粒流仿真分析的可靠性；

(3)分別從微觀角度和宏觀角度對實驗結(jié)果進行對比分析，得出磨粒流加工方法對人工膝關(guān)節(jié)表面具有良好的加工效果。