江西省臨川二中 (344100)

黃衛(wèi)民

2018全國一卷理科第12題：

已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為( ).

分析：這道題是出自必修2的研究性課題正方體中有關(guān)截面問題的改編題,本題以學(xué)生最為熟悉的正方體為背景，求與正方體棱所成角相等的截面面積的最大值，解決本題的幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)分別是：確定截面的方向和形狀，明確截面面積何時(shí)取得最大值，最后求出最大值.

解法一：因?yàn)橐唤M平行線與已知平面所成的角都相等，而正方體有12條棱，共構(gòu)成三組平行線，故每條棱與截面所成的角可化歸為同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱與截面所成角.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)?zāi)苤庇^感知到平面AB′D′是符合要求的平面(圖1)，由對稱性可知，平面BDC′也是符合要求的平面(圖2)，且與平面AB′D′平行的平面都與這三條直線所成角相等.

根據(jù)以上分析，易知該截面的形狀為：由小變大的正三角形——六邊形——正六邊形——六邊形——由大到小的正三角形.根據(jù)基本活動經(jīng)驗(yàn)學(xué)生可以判斷(或猜想)出當(dāng)截面形狀為正六邊形時(shí)，截面面積應(yīng)該最大(圖3).

圖1 圖2 圖3

圖4 圖5

點(diǎn)評：解法二的計(jì)算對截面形狀的判斷要求很高，尤其是截面六邊形在正三角形內(nèi)學(xué)生不易想到，可考慮將截面積的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為投影面的計(jì)算，將問題簡化，于是有解法三.

對于空間感不強(qiáng)，空間位置判斷不好的同學(xué)，也可以考慮用空間坐標(biāo)系來尋找解決方法.

圖6

圖7

結(jié)語：本題以正方體為背景，通過求與正方體棱所成的角相等的截面面積的最大值這一問題，綜合考察了學(xué)生分析問題、數(shù)學(xué)抽象、猜想論證、數(shù)學(xué)建模、函數(shù)最值的求法等多種知識和能力.