郭一軍，徐建明

(1.黃山學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院,安徽 黃山 245041；2.浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，杭州 310032)

0 引 言

近些年來由于移動機(jī)器人在工廠自動化、物流行業(yè)、智能家居、太空探索等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，人們對其跟蹤控制問題的研究引起了極大的興趣。但由于移動機(jī)器人系統(tǒng)本身具有多變量、非線性和強(qiáng)耦合等特點(diǎn)，常規(guī)的控制方法很難滿足其高精度的控制要求。另外，移動機(jī)器人實(shí)際控制過程中會受到系統(tǒng)自身參數(shù)攝動、外部環(huán)境干擾以及執(zhí)行器飽和輸入約束等問題的影響，尤其是執(zhí)行器飽和輸入約束問題不僅會影響系統(tǒng)的控制精度，嚴(yán)重時(shí)可導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。因此，在設(shè)計(jì)控制器時(shí)需要補(bǔ)償執(zhí)行器飽和輸入約束和系統(tǒng)不確定性因素對系統(tǒng)控制精度的不利影響。

當(dāng)前，關(guān)于移動機(jī)器人的跟蹤控制問題，常用的控制方法有反步控制法[1-3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制法[4-5]、滑?？刂品╗6-8]等。針對具有非完整約束移動機(jī)器人跟蹤控制問題，文獻(xiàn)[1-2]利用反步控制算法設(shè)計(jì)跟蹤控制器，實(shí)現(xiàn)了移動機(jī)器人位姿跟蹤誤差全局一致有界。針對存在車輪打滑和外界擾動力矩影響情況下的移動機(jī)器人跟蹤控制問題，文獻(xiàn)[4]提出一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的跟蹤控制器，保證了系統(tǒng)跟蹤誤差的全局漸近穩(wěn)定。為了提高移動機(jī)器人系統(tǒng)的魯棒性能及跟蹤精度，文獻(xiàn)[6]利用自適應(yīng)二階滑模控制技術(shù)設(shè)計(jì)跟蹤控制器，實(shí)現(xiàn)了移動機(jī)器人對期望軌跡的高精度穩(wěn)定跟蹤，并消除了傳統(tǒng)滑模控制中的抖振問題。以上文獻(xiàn)雖從不同的角度實(shí)現(xiàn)了移動機(jī)器人的魯棒跟蹤控制，提高了系統(tǒng)的控制性能，但是已有研究成果多數(shù)只考慮系統(tǒng)內(nèi)外部擾動因素對系統(tǒng)控制性能的影響，在設(shè)計(jì)控制器時(shí)主要考慮如何消除這些擾動對系統(tǒng)控制性能的不利影響，對于實(shí)際系統(tǒng)中存在的執(zhí)行器飽和輸入約束問題研究較少。

在移動機(jī)器人的實(shí)際控制過程中，執(zhí)行機(jī)構(gòu)的飽和問題通常是不可避免的。當(dāng)控制器輸出的控制信號大于執(zhí)行機(jī)構(gòu)所能提供的最大值時(shí)，控制飽和問題就發(fā)生了，如不進(jìn)行有效處理可導(dǎo)致整個控制系統(tǒng)失穩(wěn)。本文先利用雙曲正切函數(shù)對執(zhí)行器的飽和輸入約束作近似處理，再將近似處理的誤差看成系統(tǒng)總和擾動的一部分。從而可以通過韓京清教授提出的自抗擾控制技術(shù)，設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)的總和擾動加以估計(jì)和補(bǔ)償。由于自抗擾控制技術(shù)對系統(tǒng)的總和擾動具有很好的估計(jì)性能，因此，在很多領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用[9-13]。

積分滑模在常規(guī)滑模面中加入誤差變量的積分項(xiàng)可有效消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差[14-15]，提高系統(tǒng)控制精度。本文結(jié)合擴(kuò)張狀態(tài)觀測器和積分滑模控制技術(shù)各自的優(yōu)勢，并考慮執(zhí)行器輸入飽和約束問題來設(shè)計(jì)移動機(jī)器人跟蹤控制器，提出了一種考慮執(zhí)行器飽和補(bǔ)償?shù)囊苿訖C(jī)器人自適應(yīng)積分滑?？刂品椒?。一方面解決了系統(tǒng)輸入飽和約束對跟蹤控制性能的影響；另一方取消了普通滑?？刂浦袑ο到y(tǒng)不確定性因素有界性的假設(shè)約束，使設(shè)計(jì)的滑?？刂破鞲咭话阈浴?/p>

仿真結(jié)果表明，與固定增益的傳統(tǒng)滑?？刂品椒ㄏ啾?，本文所提的考慮執(zhí)行器飽和補(bǔ)償?shù)囊苿訖C(jī)器人自適應(yīng)積分滑?？刂品椒ú粌H可使移動機(jī)器人快速穩(wěn)定跟蹤給定參考軌跡,而且也可有效減弱傳統(tǒng)滑?？刂浦械亩墩瘳F(xiàn)象，有利于控制方法的實(shí)際工程應(yīng)用。

1 問題描述

輪式移動機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)模型[16-17]可表示為

(1)

B(q)τ-AT(q)μ

(2)

由(1)式可得

(3)

將(3)式代入(2)式中，并左乘DT可得

DTBτ-DTATμ

(4)

(5)

考慮系統(tǒng)執(zhí)行器輸入飽和約束，(5)式可重寫為

(6)

(6)式中，sat(τ)=[sat(τ1)sat(τ2)]T為具有飽和約束的系統(tǒng)控制輸入，其形式如下

(7)

(7)式中，uimax>0,uimin<0(i=1,2)為執(zhí)行機(jī)構(gòu)所能輸出控制力矩的上下界。

采用文獻(xiàn)[19]中的方法對飽和約束作近似處理，引入如下雙曲正切函數(shù)

(8)

則sat(τi)可表示為

sat(τi)=g(τi)+d(τi)

(9)

(9)式中，d(τi)=sat(τi)-g(τi)表示飽和約束近似處理誤差，且|d(τi)|滿足關(guān)系

|d(τi)|≤max{uimax(1-tanh(1)),

uimin(tanh(1)-1)}

(10)

進(jìn)一步由拉格朗日中值定理可得

g(τi)=g(τi0)+gξi(τi-τi0)=gξiτi

(11)

將(9)式，(11)式代入(6)式可得

(12)

2 控制器設(shè)計(jì)

由移動機(jī)器人模型(1)式、(2)式，可將系統(tǒng)分為速度環(huán)和位置環(huán)，需要分別設(shè)計(jì)運(yùn)動學(xué)回路控制器和動力學(xué)回路控制器：①通過設(shè)計(jì)運(yùn)動學(xué)回路控制器ηc，可以控制移動機(jī)器人的運(yùn)動軌跡，使得其可以跟蹤給定期望軌跡；②設(shè)計(jì)動力學(xué)回路控制器τ，使得(12)式中的η可以收斂于ηc。

2.1 運(yùn)動學(xué)回路控制器設(shè)計(jì)

設(shè)系統(tǒng)的期望軌跡為

(13)

(13)式中，υr,ωr分別為移動機(jī)器人參考軌跡的線速率和角速度。

則當(dāng)前移動機(jī)器人位姿相對于期望位姿的偏差在移動機(jī)器人本地坐標(biāo)系中可表示為

(14)

由(1)式，(13)式，(14)式可得

(15)

依據(jù)(15)式，運(yùn)動學(xué)回路控制器[19]設(shè)計(jì)為

(16)

(16)式中：β1,β2,β3>0為待設(shè)計(jì)的運(yùn)動學(xué)控制器參數(shù)；υc，ωc分別為運(yùn)動學(xué)回路控制器的線速度和角速度。

2.2 動力學(xué)回路控制器設(shè)計(jì)

2.2.1 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)

(17)

(18)

(18)式中，x2可看成系統(tǒng)的總和擾動由系統(tǒng)的參數(shù)攝動、飽和約束近似處理誤差以及系統(tǒng)外部擾動等組成。在實(shí)際系統(tǒng)中總和擾動是不可測的，但可通過設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器獲得其估計(jì)值。擴(kuò)張狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)為

(19)

(19)式中：e1=[e11e12]T，e2=[e21e22]T為觀測誤差矢量；z1，z2為擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的狀態(tài)矢量；K1=diag{k11k12}>0,K2=diag{k21k22}>0為擴(kuò)張狀態(tài)觀測器增益矩陣；非線性函數(shù)fal(·)的形式為

(20)

(20)式中：i=1,2；α1=0.5，α2=0.25；σ>0為待整定參數(shù)。

由文獻(xiàn)[20-22]可知，通過選擇合適的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器增益矩陣K1，K2，系統(tǒng)(19)就能很好地估計(jì)系統(tǒng)(18)中的狀態(tài)變量，總和擾動估計(jì)誤差矢量e2中的各元素有界且可收斂到原點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)，即滿足關(guān)系|e21|≤l1，|e22|≤l2，其中，li(i=1,2)為正常數(shù)。

2.2.2 自適應(yīng)積分滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

定義速度跟蹤誤差矢量為

e=ηc-η

(21)

為了使得系統(tǒng)滑動模態(tài)漸近穩(wěn)定及提高系統(tǒng)的控制精度和魯棒性，本文選擇如下積分型滑模面

(22)

由(18)式，(21)式及(22)式可得

(23)

(24)

當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)不在滑模面上，或系統(tǒng)受到不確定因素影響，那么系統(tǒng)狀態(tài)軌跡就會偏離滑模面。所以在等效控制設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，還需要設(shè)計(jì)切換控制項(xiàng)τsw以保證系統(tǒng)狀態(tài)在偏離滑模面時(shí)迫使其回到滑模面上來。因此，完整的滑模控制律可表示為

(25)

(25)式中，K3=diag{k31k32}>0為切換控制項(xiàng)增益矩陣，其范數(shù)需滿足‖K3‖>max{l1l2}，其中，max{l1l2}為系統(tǒng)總和擾動估計(jì)誤差上界的最大值。

由于系統(tǒng)估計(jì)誤差的上界是未知的且難以準(zhǔn)確獲得。針對該問題，本文將結(jié)合參數(shù)自適應(yīng)技術(shù)設(shè)計(jì)自適應(yīng)積分滑?？刂坡搔訛?/p>

(26)

參數(shù)自適應(yīng)更新律設(shè)計(jì)為

(27)

(27)式中：ka1>0；ka2>0。

2.2.3 穩(wěn)定性證明

定理1對于給定系統(tǒng)(12)和積分型滑模面(22)，在所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)積分滑?？刂坡?26)和參數(shù)自適應(yīng)更新律(27)的作用下，系統(tǒng)速度跟蹤誤差將漸近收斂于零。

證取候選Lyapunov函數(shù)

(28)

對(28)式求導(dǎo)可得

(29)

證畢。

3 仿真研究

為了驗(yàn)證本文所提算法的有效性，下面將對考慮執(zhí)行器飽和補(bǔ)償?shù)钠胀ɑ？刂品椒ê捅疚乃岬姆椒ㄟM(jìn)行仿真對比研究。

方法1考慮執(zhí)行器飽和補(bǔ)償?shù)淖赃m應(yīng)積分滑模控制，自適應(yīng)更新律參數(shù)設(shè)置為ka1=ka2=0.5。

方法2考慮執(zhí)行器飽和補(bǔ)償?shù)钠胀ɑ？刂??；Ｃ嬖O(shè)計(jì)同(22)式，控制律設(shè)計(jì)為

(30)

2種控制方法的控制效果如圖1～圖3所示，圖1為跟蹤誤差曲線；圖2為擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)總和擾動的觀測誤差曲線；圖3為控制信號曲線，圖4為方法1中參數(shù)ka1，ka2自適應(yīng)變化曲線。

圖1 2種方法跟蹤誤差曲線Fig.1 Tracking errors of two different control methods

圖2 2種方法觀測誤差曲線Fig.2 Observation errors of two different control methods

圖3 2種方法控制信號Fig.3 Control signals of two different control methods

圖4 參數(shù)自適應(yīng)曲線Fig.4 Parameter adaptive curve

4 結(jié) 論

本文針對執(zhí)行器輸入飽和約束和系統(tǒng)不確定性因素影響下的移動機(jī)器人跟蹤控制問題，提出一種自適應(yīng)積分滑?？刂品椒?。首先，利用雙曲正切函數(shù)對系統(tǒng)飽和約束作近似處理，并將系統(tǒng)方程表示為仿射函數(shù)形式；然后，設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對執(zhí)行器飽和約束和不確定性因素進(jìn)行補(bǔ)償，在此基礎(chǔ)上結(jié)合參數(shù)自適應(yīng)技術(shù)設(shè)計(jì)系統(tǒng)自適應(yīng)積分滑?？刂破?，在保證系統(tǒng)跟蹤誤差快速穩(wěn)定收斂的同時(shí)，還可減弱系統(tǒng)抖振幅度，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性；最后，仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提控制方法的有效性。