崔乃毅 米儀琳 孫連亮 李春磊 毛志國(guó)

(北方工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100144)

被動(dòng)力存在于有約束的物體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中。例如，滑動(dòng)摩擦力和靜摩擦力,軌道對(duì)質(zhì)點(diǎn)的約束力等。在剛體的有軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，軸對(duì)剛體的約束力也是被動(dòng)力。相對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，被動(dòng)力的存在在剛體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中更不易直觀。教學(xué)中，忽視對(duì)這一問(wèn)題的講解可能導(dǎo)致學(xué)生錯(cuò)誤地理解剛體運(yùn)動(dòng)甚至錯(cuò)誤地求解問(wèn)題。本文結(jié)合幾個(gè)典型習(xí)題，就剛體碰撞中的被動(dòng)力問(wèn)題做一些討論。

1 小球撞懸掛桿問(wèn)題

這是一類典型的被動(dòng)力問(wèn)題，這類問(wèn)題的最普遍的教學(xué)難點(diǎn)是總有相當(dāng)比例的學(xué)生不理解此類碰撞中動(dòng)量為何不守恒，而錯(cuò)誤地對(duì)小球-桿二體系統(tǒng)用動(dòng)量守恒定律求解[1]。教學(xué)中，一般是討論整個(gè)小球-桿二體系統(tǒng)在碰撞中的動(dòng)量變化來(lái)說(shuō)明這一問(wèn)題，但過(guò)程相對(duì)繁瑣[2,3]。而討論桿的懸掛軸處的被動(dòng)力會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)化，同時(shí)也直接切入了該問(wèn)題中動(dòng)量不守恒的關(guān)鍵[4]。為此，只把桿納入討論即可，把小球?qū)U的碰撞簡(jiǎn)單表示為一個(gè)沖量。設(shè)勻質(zhì)細(xì)桿的質(zhì)量為M,長(zhǎng)為L(zhǎng)，無(wú)摩擦懸掛軸距桿的中點(diǎn)(質(zhì)心)C的距離為x。初始時(shí)桿靜止于豎直方向,一大小為I的水平?jīng)_量作用于桿的下端(見圖1(a))。

圖1 小球-桿二體系統(tǒng)(a)小球與懸掛桿碰撞；(b)小球與自由桿碰撞；(c)剛體擺碰撞問(wèn)題的一個(gè)例子

為使描述盡量簡(jiǎn)單以便于學(xué)生理解，僅討論水平方向的動(dòng)量。學(xué)生一般認(rèn)同使用關(guān)于懸掛軸的角動(dòng)量定理求解這一碰撞過(guò)程,因此仍使用這一方法。這里略去推導(dǎo)過(guò)程，很易得到碰撞后桿繞軸的角速度如下：

(1)

這里轉(zhuǎn)動(dòng)正向?yàn)槟鏁r(shí)針，沖量正向向右。再利用碰撞后的瞬間桿的質(zhì)心速度公式vC=ωx，即得懸掛軸對(duì)桿的沖量Ip=ΔMvC-I

(2)

顯然，此式并不永遠(yuǎn)為零，表明碰撞中懸掛軸對(duì)桿確實(shí)施加了水平作用力，使小球-桿二體系統(tǒng)的動(dòng)量發(fā)生變化。該力的沖量即由該式定量計(jì)算。式(2)還指出，決定Ip的值和指向的最重要因素是懸掛軸在桿上的位置x，并且依x不同，Ip可能向右，也可能向左。當(dāng)Ip向右時(shí)，小球和桿的二體系統(tǒng)的總的水平動(dòng)量增加，反之減少。至此，學(xué)生已經(jīng)能夠理解為何該碰撞過(guò)程動(dòng)量是不守恒的。

從由式(2)確定的Ip/I隨x/L變化的函數(shù)曲線(見圖2)可以清楚地看到，在x>L/6區(qū)間，Ip>0，與I同向，碰撞后二體系統(tǒng)的總水平動(dòng)量增大；在x

x=L/6

(3)

時(shí)，Ip=0，表明此時(shí)懸掛軸對(duì)桿沒(méi)有水平力。只有當(dāng)懸掛軸選在這一點(diǎn)時(shí)，小球-桿二體系統(tǒng)同時(shí)滿足水平方向的動(dòng)量守恒和關(guān)于懸掛軸的角動(dòng)量守恒條件?？梢?，這一碰撞問(wèn)題中體系動(dòng)量守恒與否只與懸掛軸在桿上的安裝位置有關(guān)，與小球和桿的質(zhì)量、小球與桿之間的碰撞是彈性或非彈性等因素均無(wú)關(guān)。

圖2 小球撞懸掛軸問(wèn)題中懸掛軸對(duì)桿的被動(dòng)力沖量Ip與軸的位置的關(guān)系，圖中橫軸為比值x/L，縱軸為比值Ip/I

另兩個(gè)特殊點(diǎn)是x=0和x=L/2，前者是把軸安裝在桿的中點(diǎn)，此時(shí)由式(2)得Ip=-I，碰撞中桿受到的水平總沖量為零，質(zhì)心不動(dòng)，碰撞傳遞給桿的動(dòng)量全部被Ip抵消，I的作用只是對(duì)桿產(chǎn)生了繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)。后者是懸掛軸處于桿的上端。這時(shí)由式(2)得到碰撞中軸對(duì)桿的沖量為Ip=I/2，二體系統(tǒng)向右的總水平動(dòng)量增加了I/2。

前面討論的問(wèn)題與小球與無(wú)懸掛點(diǎn)的自由桿的碰撞問(wèn)題密切相關(guān)。如圖1(b)，如沿水平面在桿的一端沿垂直于桿的方向敲擊靜止放置于光滑的水平面上的勻質(zhì)細(xì)桿，則敲擊前后桿上保持不動(dòng)的點(diǎn)的位置(轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心)即為距桿的中心x=L/6處。

2 摩擦輪問(wèn)題

圖3 摩擦輪問(wèn)題

如圖3，兩摩擦輪半徑分別為R1和R2, 其繞過(guò)中心且垂直于輪面的光滑軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2。輪1以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，輪2靜止不動(dòng)。如將兩輪邊緣接觸，則摩擦將使輪2轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)，直到最后接觸點(diǎn)處兩輪線速率相同因而兩輪間不會(huì)再存在滑動(dòng)[5]。該過(guò)程中，如果轉(zhuǎn)動(dòng)軸不存在，兩輪接觸后接觸點(diǎn)處的作用力將使兩輪分別向圖中的上方和下方飛走。而轉(zhuǎn)動(dòng)軸的存在制止了這種運(yùn)動(dòng)。因此轉(zhuǎn)動(dòng)軸處必存在被動(dòng)力。設(shè)接觸點(diǎn)處摩擦力的總沖量的大小為I，由角動(dòng)量定理，對(duì)兩輪分別有

(4)

式中ω1和ω2分別為兩輪接觸后接觸點(diǎn)處滑動(dòng)消失后兩輪各自的角速度，它們之間滿足關(guān)系式ω1R1=ω2R2。利用此式可在式(4)中消去兩個(gè)角速度得到I的表達(dá)式：

(5)

式(5)表明，只要ω0≠0，則兩軸處必有被動(dòng)力。這個(gè)沖量的產(chǎn)生要求接觸點(diǎn)處存在滑動(dòng)摩擦。但沖量值并不與摩擦系數(shù)有關(guān)。

3 剛體摩擦加速問(wèn)題

圖4 剛體摩擦加速問(wèn)題

見圖4，將一個(gè)質(zhì)量為M轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，半徑為R，以角速度ω0旋轉(zhuǎn)的輪子保持豎直并緩慢地放到非光滑的地面上，接觸點(diǎn)處的被動(dòng)力將使輪子加速，直至最后進(jìn)入純滾動(dòng)狀態(tài)。整個(gè)摩擦加速過(guò)程被動(dòng)力f的總沖量可以如下求得。圓盤的平動(dòng)速度v和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω應(yīng)滿足的動(dòng)力學(xué)方程分別為

此處J為圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。將兩方程聯(lián)立消去f后所得到的新方程兩邊可對(duì)整個(gè)加速過(guò)程積分，取積分上、下限分別為初始條件和純滾動(dòng)條件ω=v/R，即

(6)

由式(6)解出v=ω0R/(1+MR2/J)。此即為純滾動(dòng)發(fā)生后圓盤的滾動(dòng)速度。圓盤獲得這一速度的唯一原因是接觸點(diǎn)處的力，因此這一過(guò)程中接觸點(diǎn)處的被動(dòng)力的沖量即為圓盤質(zhì)心獲得的動(dòng)量：

I=Mv=Mω0R/(1+MR2/J)

(7)

與前一個(gè)問(wèn)題類似，這個(gè)沖量的產(chǎn)生也要求接觸點(diǎn)處存在滑動(dòng)摩擦，而沖量值與摩擦系數(shù)也無(wú)關(guān)。如果圓盤是勻質(zhì)的，可把轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=MR2/2代入結(jié)果，得到I=Mω0R/3。

4 結(jié)語(yǔ)

以上對(duì)幾個(gè)實(shí)例通過(guò)求被動(dòng)力的沖量討論了被動(dòng)力在分析剛體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中的作用。涉及被動(dòng)力的剛體力學(xué)問(wèn)題很多。使學(xué)生正確理解和求解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是要說(shuō)明有約束和無(wú)約束時(shí)剛體運(yùn)動(dòng)的不同是因?yàn)榧s束對(duì)剛體施加了力，即被動(dòng)力。即約束是通過(guò)力作用于剛體的。比如在問(wèn)題一中，如果學(xué)生定量計(jì)算出了懸掛軸施于桿的力的值，則很易理解桿的動(dòng)量為何不守恒。因此，在研究剛體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中決不能忽視被動(dòng)力的存在，否則導(dǎo)致錯(cuò)誤地求解問(wèn)題。而這正是在目前大學(xué)物理教學(xué)中的薄弱環(huán)節(jié)。在分析力學(xué)中，可以用更加嚴(yán)密、更為快捷的辦法計(jì)算約束力。