陳長(zhǎng)青，解永春

（1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室北京100190）

最優(yōu)沖量交會(huì)的研究進(jìn)展

陳長(zhǎng)青1，2，解永春1，2

（1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室北京100190）

對(duì)最優(yōu)沖量交會(huì)的研究進(jìn)展進(jìn)行綜述，介紹最優(yōu)沖量交會(huì)中四類比較典型的研究成果：基于沖量校正理論的最優(yōu)沖量交會(huì)、Lambert最優(yōu)沖量交會(huì)、利用數(shù)值方法求解的最優(yōu)沖量交會(huì)和基于鄰近圓軌道交會(huì)理論的最優(yōu)沖量交會(huì)，并分析這些類型的最優(yōu)交會(huì)的特點(diǎn)。

最優(yōu)沖量交會(huì)；沖量校正理論；Lambert交會(huì)；鄰近圓軌道交會(huì)

1 引 言

從上世紀(jì)50年代開始，有大量的文獻(xiàn)給出交會(huì)對(duì)接的軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。按交會(huì)時(shí)間可以分為時(shí)間不限、時(shí)間受限和固定時(shí)間這三類交會(huì)問(wèn)題。對(duì)時(shí)間不限的交會(huì)的研究集中在交會(huì)對(duì)接研究的初期；時(shí)間受限的交會(huì)問(wèn)題需要對(duì)燃料消耗與交會(huì)時(shí)間進(jìn)行折衷；從上世紀(jì)60年代開始，交會(huì)對(duì)接中軌跡優(yōu)化的研究多數(shù)集中在固定時(shí)間交會(huì)上。交會(huì)對(duì)接軌跡優(yōu)化研究中的動(dòng)力學(xué)方程有線性動(dòng)力學(xué)方程和非線性動(dòng)力學(xué)方程兩大類，其中比較常用的動(dòng)力學(xué)方程有CW方程、Lambert方程、T-H方程、基于圓柱坐標(biāo)系的無(wú)量綱化方程和Kepler運(yùn)動(dòng)方程等。按推力器的形式劃分有沖量交會(huì)、有限推力交會(huì)和常推力交會(huì)等。利用沖量實(shí)現(xiàn)交會(huì)對(duì)接的軌跡優(yōu)化問(wèn)題一般建立在最優(yōu)控制理論的基礎(chǔ)上，通過(guò)選擇合適的沖量完成交會(huì)任務(wù)，一般稱為最優(yōu)沖量交會(huì)問(wèn)題。

最優(yōu)沖量交會(huì)問(wèn)題一般寫成如下的形式：

式中，R，V分別為交會(huì)中的相對(duì)位置和相對(duì)速度矢量，U為所施加控制力提供的加速度，G為中心引力差產(chǎn)生的加速度。在沖量制導(dǎo)時(shí)，第k次施加沖量用Uk表示

式中，τk為第k次沖量時(shí)對(duì)應(yīng)的交會(huì)時(shí)間，ΔVk為該時(shí)刻的速度增量矢量，δ（τ-τk）為狄拉克函數(shù)。則性能指標(biāo)J可以表示為

在初末相對(duì)位置和相對(duì)速度已知的情況下，這是一個(gè)典型的最優(yōu)控制問(wèn)題。但是即使是利用線性方程描述的交會(huì)對(duì)接過(guò)程，其最優(yōu)交會(huì)解也不容易得到。1963年，Lawden基于方程（1）給出了最優(yōu)沖量交會(huì)的必要條件，1968年，Lion和Handelsman在Lawden的理論基礎(chǔ)上，提出了一種沖量校正理論，通過(guò)增加中間沖量、初始漂移、末端漂移或減少中間沖量實(shí)現(xiàn)對(duì)非最優(yōu)軌跡的燃料優(yōu)化[1]，在上述理論的基礎(chǔ)上，不少學(xué)者對(duì)最優(yōu)沖量交會(huì)問(wèn)題進(jìn)行了深入研究。

文獻(xiàn)[2-6]綜述交會(huì)對(duì)接軌跡優(yōu)化問(wèn)題，但沒(méi)有文獻(xiàn)對(duì)最優(yōu)沖量交會(huì)問(wèn)題進(jìn)行綜述，特別是按最優(yōu)沖量交會(huì)的成果進(jìn)行分類綜述。下面介紹最優(yōu)沖量交會(huì)中一些比較典型的成果，包括基于沖量校正理論的最優(yōu)沖量交會(huì)、Lambert最優(yōu)沖量交會(huì)、基于數(shù)值方法求解的最優(yōu)沖量交會(huì)和基于鄰近圓軌道交會(huì)理論的最優(yōu)沖量交會(huì)。

2 最優(yōu)沖量交會(huì)的研究現(xiàn)狀

2.1 基于沖量校正理論的最優(yōu)沖量交會(huì)

文獻(xiàn)[1]把Lawden的最優(yōu)沖量交會(huì)的必要條件延伸到對(duì)非最優(yōu)軌跡的改進(jìn)上，給出了通過(guò)校正沖量減小燃料消耗的準(zhǔn)則，包括增加中間沖量的準(zhǔn)則、消除某個(gè)中間沖量的準(zhǔn)則以及是否讓軌跡存在初始或末端漂移的準(zhǔn)則，這些準(zhǔn)則都是建立在對(duì)基向量模值分析的基礎(chǔ)上?；蛄磕Ｖ惦S時(shí)間變化的關(guān)系有如下幾種典型類型，如圖1所示。

圖1 基向量模值隨時(shí)間變化的幾種典型圖形

圖1中橫坐標(biāo)為交會(huì)時(shí)間t，縱坐標(biāo)|p|為基向量的模值，虛線部分表示基向量的模值等于1，即|p|=1。其中圖1（a）滿足Lawden的最優(yōu)沖量交會(huì)的必要條件；圖1（b）在中間的某些時(shí)刻存在基向量模值大于1的情況，即在模值取最大值的時(shí)刻增加一個(gè)中間沖量可以實(shí)現(xiàn)燃料優(yōu)化；圖1（c）中，在初始的一段時(shí)間內(nèi)存在基向量模值大于1的情況，通過(guò)一段初始漂移后再施加沖量的制導(dǎo)策略可以節(jié)省燃料；類似地在圖1（d）中，施加最后一個(gè)沖量后，再自由漂移一段時(shí)間的制導(dǎo)策略可以減少燃料的消耗；消除某個(gè)中間沖量以實(shí)現(xiàn)燃料優(yōu)化的沖量校正準(zhǔn)則是建立在對(duì)一些指標(biāo)函數(shù)的判斷基礎(chǔ)上的。

在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上，其他學(xué)者針對(duì)直接發(fā)射交會(huì)、逃逸、“合作”交會(huì)和路徑約束下的交會(huì)等實(shí)際問(wèn)題，利用不同的動(dòng)力學(xué)方程研究在不同交會(huì)時(shí)間和初末相對(duì)條件下的最優(yōu)沖量交會(huì)問(wèn)題，給出沖量解的性質(zhì)和一些其他的結(jié)論。文獻(xiàn)[7]針對(duì)非轉(zhuǎn)動(dòng)的球形行星上固定時(shí)間直接發(fā)射的沖量交會(huì)問(wèn)題，利用沖量校正理論，研究了軌道傾角、目標(biāo)航天器軌道半徑和目標(biāo)航天器初始相位角給定的情況下，交會(huì)時(shí)間不同時(shí)的雙沖量最優(yōu)交會(huì)模式與三沖量最優(yōu)交會(huì)模式的燃料消耗。文獻(xiàn)[8]討論一類直接發(fā)射的固定時(shí)間多沖量攔截問(wèn)題，目標(biāo)航天器軌道為圓軌道，追蹤航天器所在的行星包含轉(zhuǎn)動(dòng)和非轉(zhuǎn)動(dòng)兩種類型，討論了存在漂移的單沖量和雙沖量轉(zhuǎn)移策略。文獻(xiàn)[9]在探討固定時(shí)間鄰近圓軌道平面內(nèi)的沖量交會(huì)和一類受限制的非平面多沖量交會(huì)中，研究了軌道高度差和初始相位角差確定，交會(huì)時(shí)間不同時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)沖量交會(huì)模式的性質(zhì)，其研究成果可以應(yīng)用在對(duì)交會(huì)時(shí)間和燃料消耗進(jìn)行折中的救生操作和避碰機(jī)動(dòng)任務(wù)上。文獻(xiàn)[10]針對(duì)逃逸中的多沖量交會(huì)問(wèn)題，利用三沖量交會(huì)策略實(shí)現(xiàn)了追蹤航天器離開目標(biāo)航天器-靠近目標(biāo)航天器-制動(dòng)使之與目標(biāo)航天器狀態(tài)一致的交會(huì)過(guò)程，利用沖量校正理論，增加中間沖量可以大大減少燃料的消耗。文獻(xiàn)[11-12]研究了一類兩個(gè)航天器都可以機(jī)動(dòng)的“合作”交會(huì)問(wèn)題，給出了固定時(shí)間多沖量最優(yōu)交會(huì)解，仿真結(jié)果表明該交會(huì)策略比只有追蹤航天器能機(jī)動(dòng)的制導(dǎo)策略節(jié)省燃料，且大幅度擴(kuò)大了交會(huì)過(guò)程中初始條件的范圍，該結(jié)果可以廣泛應(yīng)用于對(duì)時(shí)間要求苛刻的救生任務(wù)上。文獻(xiàn)[13-14]研究了一類存在最大最小路徑約束的固定時(shí)間多沖量交會(huì)問(wèn)題，利用沖量校正理論給出最優(yōu)沖量交會(huì)解。文獻(xiàn)[15]在研究一種衛(wèi)星相位保持的多沖量次優(yōu)控制中，考慮攝動(dòng)和截?cái)嗾`差等對(duì)控制的影響，在求解多沖量最優(yōu)解的基礎(chǔ)上增加了中間修正沖量，仿真結(jié)果表明該制導(dǎo)策略具有很好的魯棒性。

利用沖量校正理論求解最優(yōu)沖量交會(huì)是一種求解最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題的方法，它是建立由最優(yōu)沖量交會(huì)必要條件推廣所得到的沖量校正理論上的，可以應(yīng)用于不同的動(dòng)力學(xué)方程，由于它概念清晰，方法簡(jiǎn)單，得到廣泛的應(yīng)用。

2.2 Lam bert最優(yōu)沖量交會(huì)

Lambert理論最初是用來(lái)解決軌道確定問(wèn)題的，如圖2，已知衛(wèi)星在初末時(shí)刻對(duì)應(yīng)的位置矢量分別為r1和r2，兩個(gè)矢量之間的夾角為θ，兩個(gè)位置之間的弦長(zhǎng)為c，相隔的時(shí)間為tF-t0，利用Lambert定理可以確定衛(wèi)星轉(zhuǎn)移軌道的軌道半長(zhǎng)軸，進(jìn)一步還可以確定其他軌道參數(shù)。Lambert問(wèn)題的求解一般用普適法[16]，近些年來(lái)還有不少文獻(xiàn)對(duì)Lambert問(wèn)題的求解進(jìn)行探討。文獻(xiàn)[17-18]提出一種新的解超越方程的計(jì)算方法，提高Lambert問(wèn)題的求解速度。文獻(xiàn)[19]研究利用Lagrange方法求解Lambert問(wèn)題的經(jīng)典公式中兩個(gè)中間角變量的幾何特點(diǎn)，這兩個(gè)變量與末端的半徑矢量r2以及轉(zhuǎn)移軌道的軌道半長(zhǎng)軸有關(guān)。

圖2 Lambert問(wèn)題

在交會(huì)對(duì)接研究的初期，一般利用Lambert方程描述在給定交會(huì)時(shí)間下，從追蹤航天器軌道轉(zhuǎn)移到目標(biāo)航天器軌道的交會(huì)過(guò)程中的沖量求解問(wèn)題。近些年來(lái)，Lambert交會(huì)已經(jīng)成為一個(gè)獨(dú)立的分支。文獻(xiàn)[20]在研究圓軌道交會(huì)中，提出一種多圈Lambert最優(yōu)雙沖量交會(huì)的求解方法。其求解過(guò)程包含：（1）根據(jù)|r1|+|r2|、c和交會(huì)時(shí)間T確定滿足交會(huì)要求的最大的圈數(shù)Nmax；（2）畫出交會(huì)時(shí)間與半長(zhǎng)軸的對(duì)應(yīng)圖形，圖3為其中的一個(gè)特例，可以看到虛線表示的直線縱坐標(biāo)為交會(huì)時(shí)間T，它與Nmax+1條滿足交會(huì)要求的曲線存在2Nmax+1個(gè)交點(diǎn)，即存在2Nmax+1個(gè)轉(zhuǎn)移軌道滿足交會(huì)條件。在求解2Nmax+1個(gè)轉(zhuǎn)移軌道的基礎(chǔ)上，可以求得2Nmax+1個(gè)的燃料消耗ΔV；通過(guò)基向量最優(yōu)交會(huì)的必要條件確定滿足最優(yōu)交會(huì)的解。在此基礎(chǔ)上文獻(xiàn)[21-22]利用ΔV與轉(zhuǎn)移軌道半長(zhǎng)軸a的關(guān)系，提出一種不需要計(jì)算2Nmax+1個(gè)轉(zhuǎn)移軌道而直接獲得最優(yōu)雙沖量交會(huì)解的方法，并應(yīng)用到星座交會(huì)的制導(dǎo)上。文獻(xiàn)[23]綜合文獻(xiàn)[20]和[22]的結(jié)論，把2Nmax+1個(gè)交會(huì)解以及ΔV與轉(zhuǎn)移軌道半長(zhǎng)軸a的關(guān)系畫在同一個(gè)圖上，通過(guò)圖形可以直接得到燃料最省的多圈Lambert最優(yōu)交會(huì)解。文獻(xiàn)[24]研究航天器交會(huì)中的Lambert問(wèn)題，闡述轉(zhuǎn)移軌道的幾何特性與轉(zhuǎn)移軌道的類型，分析轉(zhuǎn)移時(shí)間與轉(zhuǎn)移軌道參數(shù)及變軌速度增量之間的關(guān)系。

圖3 多圈Lambert交會(huì)

其他研究Lambert最優(yōu)沖量交會(huì)的文獻(xiàn)有：文文獻(xiàn)[25]針對(duì)遠(yuǎn)程導(dǎo)引段，提出一種滿足遠(yuǎn)程導(dǎo)引對(duì)測(cè)控、日照、燃料和時(shí)間等各種要求的Lambert變軌方案。文獻(xiàn)[26]在文獻(xiàn)[25]的基礎(chǔ)上提出新的基于普適法的多圈Lambert變軌的求解方法。文獻(xiàn)[27]利用遺傳算法研究了初始位置和轉(zhuǎn)移時(shí)間不固定的Lambert雙沖量軌道轉(zhuǎn)移的數(shù)值解。

Lambert最優(yōu)沖量交會(huì)是一種特殊的動(dòng)力學(xué)方程描述的交會(huì)問(wèn)題，由于Lambert方程能比較準(zhǔn)確的描述各種交會(huì)運(yùn)動(dòng)，所以得到廣泛的應(yīng)用。近年來(lái)，以Prussing為代表的一些學(xué)者對(duì)這類制導(dǎo)策略進(jìn)行比較深入的研究，形成了一套獨(dú)立的基于多圈Lambert交會(huì)的雙沖量制導(dǎo)理論[20-24]。

2.3 利用數(shù)值方法求解的最優(yōu)沖量交會(huì)

在求解最優(yōu)沖量交會(huì)時(shí)，把性能指標(biāo)當(dāng)作優(yōu)化函數(shù)，把邊界值條件和其他交會(huì)制約條件當(dāng)作約束條件，則可以把最優(yōu)交會(huì)化成優(yōu)化問(wèn)題，利用數(shù)值解法進(jìn)行求解。這種方法的研究思路清晰，對(duì)于一個(gè)確定的交會(huì)問(wèn)題，利用適當(dāng)?shù)膬?yōu)化算法很容易就可求得最優(yōu)沖量解，這種求解方法可以應(yīng)用于包括非線性方程在內(nèi)的不同的動(dòng)力學(xué)方程描述的交會(huì)問(wèn)題上。文獻(xiàn)[6]采用非直接法和直接法綜述了1998年之前利用數(shù)值方法進(jìn)行軌跡優(yōu)化的研究成果。非直接法一般需要求解存在多個(gè)平衡點(diǎn)的非線性邊界值問(wèn)題，存在難以推導(dǎo)最優(yōu)軌跡的必要條件、收斂域比較小和一些約束不容易描述等缺點(diǎn)，而直接法利用一些狀態(tài)變量代替控制變量，直接利用打靶法或非線性規(guī)劃等數(shù)值方法來(lái)求解。

國(guó)內(nèi)也有不少學(xué)者利用數(shù)值方法研究交會(huì)對(duì)接中的軌跡優(yōu)化問(wèn)題。文獻(xiàn)[28]針對(duì)沖量固定點(diǎn)交會(huì)中的一些具體問(wèn)題，提出一種兩層動(dòng)態(tài)規(guī)劃的優(yōu)化算法，并利用這種算法，推導(dǎo)出使共面橢圓軌道上兩個(gè)航天器在固定點(diǎn)交會(huì)且燃料最省的多沖量推力計(jì)算方法。文獻(xiàn)[29-30]利用遺傳算法研究CW方程描述的雙沖量最優(yōu)交會(huì)。文獻(xiàn)[31]利用遺傳算法研究CW方程描述的固定時(shí)間多沖量最優(yōu)交會(huì)，并提出一種誤差修正方法提高制導(dǎo)精度。文獻(xiàn)[32]利用多階段二維動(dòng)態(tài)規(guī)劃對(duì)沖量交會(huì)進(jìn)行研究，得到兩沖量和三沖量最優(yōu)交會(huì)解。文獻(xiàn)[27]利用遺傳算法研究了初始位置和轉(zhuǎn)移時(shí)間不固定的Lambert雙沖量軌道轉(zhuǎn)移的數(shù)值解。文獻(xiàn)[33-34]在研究多目標(biāo)最優(yōu)交會(huì)中，把兩個(gè)航天器的最小交會(huì)距離作為其中的一個(gè)約束目標(biāo)，保證求得的軌跡是安全的。

基于數(shù)值方法求解的最優(yōu)沖量交會(huì)是求解最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題的一種方法，可以應(yīng)用于不同動(dòng)力學(xué)方程描述的最優(yōu)沖量交會(huì)上，有廣泛的應(yīng)用前途。

2.4 基于鄰近圓軌道交會(huì)理論的最優(yōu)沖量交會(huì)

Prussing[35-36]的鄰近圓軌道固定時(shí)間多沖量最優(yōu)交會(huì)理論是上世紀(jì)60年代末軌跡優(yōu)化研究中最突出的成果之一。Prussing針對(duì)于鄰近圓軌道的軌道平面內(nèi)的交會(huì)問(wèn)題，選擇兩圓形軌道的中間軌道建立參考坐標(biāo)系，利用線性方程下共軛變量與狀態(tài)變量的解耦性，分別對(duì)基向量和邊界值問(wèn)題進(jìn)行求解，完成了最優(yōu)交會(huì)中沖量時(shí)刻、沖量方向和沖量大小的求解，可以得到四沖量、三沖量、雙沖量及相應(yīng)的漂移模式等幾種最優(yōu)交會(huì)模式，且這些模式在不同的初始條件和交會(huì)時(shí)間下有確定的分布，如圖4。在此基礎(chǔ)上部分國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其理論進(jìn)行延伸。文獻(xiàn)[37]選擇平均速率參考軌道，重復(fù)了Prussing的工作，克服了中間軌道上建立參考坐標(biāo)系存在的兩個(gè)弊端：（1）交會(huì)結(jié)束時(shí)參考系原點(diǎn)與交會(huì)點(diǎn)沒(méi)有很直觀的關(guān)系；（2）對(duì)于初始相位角差比較大的交會(huì)，可能有比較大的制導(dǎo)誤差。文獻(xiàn)[38-39]利用四沖量最優(yōu)交會(huì)模式具有的對(duì)稱性，提出一種基于二次方程組計(jì)算的四沖量最優(yōu)交會(huì)模式的求解方法，簡(jiǎn)化了四沖量最優(yōu)交會(huì)模式的求解過(guò)程。

圖4 最優(yōu)交會(huì)模式分布圖

文獻(xiàn)[40]給出了利用線性方程描述的最優(yōu)沖量交會(huì)的兩個(gè)結(jié)論，即最優(yōu)交會(huì)的必要條件同時(shí)滿足充分條件，線性沖量最優(yōu)交會(huì)中沖量的最大個(gè)數(shù)等于狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)。文獻(xiàn)[41-42]在沒(méi)有利用最優(yōu)控制理論和優(yōu)化理論下完成了對(duì)線性最優(yōu)沖量交會(huì)中最優(yōu)解存在的充分、必要條件的證明，以及最大沖量解個(gè)數(shù)等于狀態(tài)變量個(gè)數(shù)結(jié)論的證明。文獻(xiàn)[43]引入基向量的二階導(dǎo)數(shù)給出最優(yōu)交會(huì)新的必要條件和充分條件，該條件只需要對(duì)一些特殊點(diǎn)進(jìn)行求解判斷。

在國(guó)內(nèi)也有不少學(xué)者在Prussing最優(yōu)交會(huì)理論的基礎(chǔ)上繼續(xù)研究沖量最優(yōu)交會(huì)。文獻(xiàn)[44-45]在目標(biāo)航天器質(zhì)心建立參考系，研究CW方程下的四沖量最優(yōu)交會(huì)及其應(yīng)用；文獻(xiàn)[46]選擇中間參考軌道建立參考系，探討了三沖量最優(yōu)交會(huì)；文獻(xiàn)[47]研究了CW方程下，遠(yuǎn)距離接近段中的四次、三次、二次最優(yōu)沖量解作用時(shí)間和沖量幅值的求解算法。

鄰近圓軌道最優(yōu)交會(huì)理論是建立在最優(yōu)沖量交會(huì)必要條件基礎(chǔ)上的，由于該理論能給出在具體的初末狀態(tài)和交會(huì)時(shí)間下全局的最優(yōu)沖量交會(huì)模式，而且把基向量和邊界值問(wèn)題分開求解，其沖量求解方法概念清晰、求解方法簡(jiǎn)單，受很多學(xué)者的推崇。

2.5 最優(yōu)沖量交會(huì)的一些其他問(wèn)題

其他還有不少文獻(xiàn)也研究最優(yōu)沖量交會(huì)，例如探討控制算法在最優(yōu)沖量交會(huì)上的應(yīng)用，利用軌道根數(shù)描述的最優(yōu)沖量交會(huì)等。這些研究成果還沒(méi)有比較成型的結(jié)論，離應(yīng)用和推廣還有一定距離。

國(guó)內(nèi)對(duì)最優(yōu)交會(huì)的研究一般建立在CW方程的基礎(chǔ)上。文獻(xiàn)[48]研究了固定時(shí)間下燃料最省的多沖量交會(huì)問(wèn)題，利用拉格朗日乘子法求得燃料最省時(shí)各沖量的時(shí)間、大小及方向。文獻(xiàn)[49]在文獻(xiàn)[48]的基礎(chǔ)上，適時(shí)引入當(dāng)前的狀態(tài)和誤差信息，利用閉環(huán)控制提高制導(dǎo)精度。文獻(xiàn)[50-51]研究交會(huì)對(duì)接中的雙沖量最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題，通過(guò)搜索合適的交會(huì)時(shí)間使得燃料得到優(yōu)化。文獻(xiàn)[52]在文獻(xiàn)[50-51]的基礎(chǔ)上，研究第一個(gè)沖量時(shí)刻不確定時(shí)的雙沖量最優(yōu)交會(huì)策略。文獻(xiàn)[53]推導(dǎo)了CW方程下多沖量變軌的一般方法，并研究雙沖量變軌的燃料消耗情況，提出在雙沖量變軌條件下的“不可達(dá)點(diǎn)”及其附近的“高耗能區(qū)域”，并給出了相應(yīng)的物理解釋。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文重點(diǎn)闡述了最優(yōu)沖量交會(huì)中比較典型的研究成果。

（1）基于沖量校正理論的最優(yōu)沖量交會(huì)和利用數(shù)值方法求解的最優(yōu)交會(huì)是求解最優(yōu)沖量交會(huì)問(wèn)題的兩種典型的方法，只要計(jì)算時(shí)間允許以及描述交會(huì)過(guò)程的動(dòng)力學(xué)方程已知，利用這兩種方法可以解決所有的交會(huì)問(wèn)題，但是這兩種方法在工程應(yīng)用時(shí)，如何既迅速又準(zhǔn)確的得到最優(yōu)交會(huì)解，以及物理概念方面還需要作進(jìn)一步的研究。

（2）Lambert最優(yōu)沖量交會(huì)是在Lambert方程基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種交會(huì)類型，目前已形成了一套獨(dú)立的基于Lambert交會(huì)的兩沖量交會(huì)理論，但是在三沖量、四沖量等交會(huì)問(wèn)題上是否有類似的結(jié)論還有待于驗(yàn)證。

（3）基于鄰近圓軌道的最優(yōu)交會(huì)是針對(duì)兩個(gè)相鄰的圓軌道交會(huì)問(wèn)題，能給出在不同交會(huì)時(shí)間和初末條件下最優(yōu)沖量模式的分布情況，可以用來(lái)指導(dǎo)最優(yōu)交會(huì)模式的設(shè)計(jì)。其中兩沖量、四沖量交會(huì)模式由于算法簡(jiǎn)單得到了廣泛的應(yīng)用。但是對(duì)于帶漂移的最優(yōu)交會(huì)模式，目前文獻(xiàn)中還沒(méi)有給出簡(jiǎn)單、有效的求解方法。在橢圓軌道交會(huì)上，是否存在類似的分布，利用文獻(xiàn)[35-36]的方法是否能解決問(wèn)題，都還需要進(jìn)行深入的研究。

[1] Lion P M，Handelsman H M.An efficient method for calculating optimal free-space n-impulse trajectories[J].AIAA Journal，1968，6（11）：2160-2165

[2] Gobetz FW，Doll JR.A survey of impulsive trajectories[J].AIAA Journal，1969，7（5），801-834

[3] Jezewski D J，Brazzel JR，Prust E E，et al.A survey of rendezvous trajectory planning[C].AAS 91-505

[4] 王旭東，潘科炎，諶穎.空間交會(huì)最優(yōu)控制理論和方法的研究進(jìn)展[J].航天控制，1993，11（4）：24-31

[5] 唐國(guó)金，羅亞中，張進(jìn).空間交會(huì)對(duì)接任務(wù)規(guī)劃[M].科學(xué)出版社，2008

[6] Betts JT.Survey of numerical methods for trajectory optimization[J].Journal of Guidance，Control and Dynamics，1998，21（2）：193-207

[7] Gross L R，Prussing J E.Optimal multiple-impulse direct ascent fixed-time rendezvous[J].AIAA Journal，1974，12（7）：885-889

[8] Prussing J E，Eellnitz L J，Hecka thorn W G.Optimal impulsive time-fixed direct-ascent interception[J].Journal of Guidance，Control and Dynam ics，1989，12（4）：487-494

[9] Prussing J E，Chiu J H.Optimal multiple-impulse time fixed rendezvous between circular orbits[J].Journal of Guidance，Control and Dynamics，1986，9（1）：17-22

[10] Prussing J E，Clifton R S.Optimal multiple-impulse satellite evasive maneuvers[J].Journal of Guidance，Control and Dynamics，1994，17（3）：599-606

[11] Prussing JE，Conway B A.Optimal terminal maneuver for a cooperative impulsive rendezvous[J].Journal of Guidance，Control and Dynamics，1989，12（3）：433-435

[12] Mirfakhraie K，Conway B A.Optimal cooperative time fixed impulsive rendezvous[J].Journal of Guidance，Control and Dynam ics，1994，17（3）：607-613

[13] Taur D R，Carroll V C，Prussing J E.Optimal impulsive time-fixed orbital rendezvous and interception with path constraints[J].Journal of Guidance，Control and Dynamics，1995，18（1）：54-60

[14] Taur D R.Optimal，impulsive，time-fixed orbital rendezvous and interception with path constraints[D].PhD Thesis，Dept.of Aeronautical and Astronautical Engineering of University of Illionis，1989

[15] 白鶴峰，任萱.衛(wèi)星相位保持的多沖量次優(yōu)控制[J].航天控制，1999，17（3）：6-12

[16] Bate R R著，吳鶴鳴，李肇杰譯.航天動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)[M].北京航空航天大學(xué)出版社，1990

[17] Battin R H.Lambert's Problem Revisited[J].AIAA Journal，1977，15（5）：707-713

[18] Battin R H，Vaughan R M.An elegant Lambert algorithm[J].Journal of Guidance and Control，1984，7（6）：662-670

[19] Prussing J E.Geometrical interpretation of the angleα andβin Lambert's problem[J].Journal of Guidance and Control，1979，2（5）：442-443

[20] Prussing JE.A class of optimal two-impulse rendezvous using multiple-revolution Lambert solutions[J].The Journal of the Astronautical Sciences，2000，46（2）：131-148

[21] Shen H J，Tsiotras P.Optimal two-impulse rendezvous between two circular ortits using multiple-revolution Lambert's solutions[C].AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference，Aug.16-18，1999

[22] Shen H J，Tsiotras P.Optimal two-impulse rendezvous usingmultiple-revolution Lambert solutions[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2003，26（1）：50-61

[23] 朱仁璋，蒙薇.航天器交會(huì)兩點(diǎn)邊界值問(wèn)題[J].宇航學(xué)報(bào)，2006，27（6）：1182-1186

[24] 朱仁璋，蒙薇，胡錫婷.航天器交會(huì)中的Lambert問(wèn)題[J].中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)，2006，26（6）：49-55

[25] 韓潮，段彬，付紅勛.遠(yuǎn)程導(dǎo)引可行飛行方案尋求算法研究[J].中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)，2002，22（1）：47-52

[26] 韓潮，謝華偉.空間交會(huì)中多圈Lambert變軌算法研究[J].中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)，2004，24（5）：9-14

[27] 陳統(tǒng)，徐世杰.基于遺傳算法的最優(yōu)Lambert雙沖量轉(zhuǎn)移[J]北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，33（3）：273-277

[28] 諶穎，黃文虎，倪茂林，王旭東，白拜爾.多沖量最優(yōu)交會(huì)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法[J].宇航學(xué)報(bào)，1993，14（2）：1-7

[29] 王華，唐國(guó)金.用遺傳算法求解雙沖量最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題[J].中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)，2003，23（1）：26-30

[30] 王華，唐國(guó)金.遺傳算法在航天器最優(yōu)交會(huì)中的應(yīng)用研究[J].航天控制，2003，21（1）：16-21

[31] 李晨光，肖業(yè)倫.多沖量C-W交會(huì)的優(yōu)化方法[J].宇航學(xué)報(bào)，2006，27（2）：172-176

[32] 劉魯華，湯國(guó)建，余夢(mèng)倫.利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理實(shí)現(xiàn)多沖量最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題[J].國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，28（6）：38-42

[33] Luo Y Z，Tang G J，Lei Y J.Optimal multi-objective linearized impulsive rendezvous[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2007，30（2）：383-389

[34] Luo Y Z，Lei Y J，Tang G J.Optimal Multi-objective nonlinear impulsive rendezvous[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2007，30（4）：994-1002

[35] Prussing J E.Optimal four-impulse fixed-time rendezvous in the vicinity of a circular orbit[J].AIAA Journal，1969，7（5）：928-935

[36] Prussing JE.Optimal two and three-impulse fixed-time rendezvous in the vicinity of a circular orbit[J].AIAA Journal，1970，8（7）：293-310

[37] Frank C L，Plexico L D.Improved solution of optimal impulsive fixed-time rendezvous[J].Journal of Spacecraft and Rocket，1982，19（6）：521-528

[38] Carter T E，A lvarez S A.Four-impulse rendezvous near circular orbit[C].AIAA/AAS，Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit，Boston，MA，Aug.10-12，1998

[39] Carter T E，Alvarez SA.Quadratic-base computation of four-impulse optimal rendezvous near circular orbit[J].Journal of Guidance，Control and Dynam ics，2000，23（1）：109-117

[40] Prussing J E.Optimal impulsive linear systems：sufficient conditions and maximum number of impulses[J].The Journal of the Astronautical Science，1995，43（2）：195-206

[41] Carter T E，Hull D G.Optimal impulse space trajectories based on linear equations[J].Journal of Optimization and Application，1991，70（2）：277-297

[42] Carter T E，Hull D G.Linearized impulse rendezvous problem[J].Journal of Optimization Theory and Applications，1995，86（3）：553-584

[43] Carter T E.Necessary and sufficient conditions for optimal impulsive rendezvous with linear equations of motion[J].Dynamics and Control，2000，No.10：219-227

[44] 陳新海，陳文勝.航天器四沖量固定時(shí)間最優(yōu)交會(huì)[J].宇航學(xué)報(bào)，1994，15（2）：71-79，110

[45] 雷勇，湯國(guó)建，王旭東.聯(lián)盟TM交會(huì)對(duì)接的地面遠(yuǎn)程導(dǎo)引段制導(dǎo)方法分析和研究[J].航天控制，1999，17（4）：51-57

[46] 齊映紅，曹喜濱.三沖量最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題的解法[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（工業(yè)版），2007，36（4）：608-612

[47] 許倫輝，徐建閩.交會(huì)對(duì)接遠(yuǎn)距離接近段制導(dǎo)研究[J].飛行力學(xué)，1998，16（2）：90-96

[48] 諶穎，王旭東.多沖量最優(yōu)交會(huì)[J].航天控制，1992，10（1）：25-32

[49] 張小偉，李英波.空間交會(huì)中拉格朗日乘子法的工程應(yīng)用[J].上海航天，2007，24（4）：30-33，47

[50] 林來(lái)興，王立新.空間交會(huì)對(duì)接雙沖量最優(yōu)控制[J].中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)，1995，15（6）：28-34

[51] 林來(lái)興，王立新.空間交會(huì)對(duì)接的雙沖量最優(yōu)控制[J].航天控制，1996，14（1）：12-18

[52] 荊武興，耿云海，楊旭，吳瑤華.空間交會(huì)尋的最優(yōu)軌道機(jī)動(dòng)[J].中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)，1998，18（2）：22-27

[53] 向開恒，肖業(yè)倫.空間交會(huì)中沖量變軌燃料消耗研究[J].中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)，1999，19（3）：9-15，50

Development of Optimal Impulsive Rendezvous

CHEN Changqing，XIE Yongchun
（1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China；2.National Laboratory of Space Intelligent Control，Beijing 100190，China）

The development of optimal impulse rendezvous is reviewed in this paper.The optimal impulse rendezvous based on the criterion of impulse modifying，Lambert optimal rendezvous，the optimal impulse rendezvous solved by numerical methods and the optimal impulse rendezvous based on the theory of optimal rendezvous between neighboring circular orbits are introduced.And then the characters of these optimal impulse rendezvous are analyzed.

optimal rendezvous；criterion of impulse modifying；Lambert rendezvous；optimal rendezvous between neighboring circular orbits

V526

A

1674-1579（2008）06-0018-06

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（90305024）.

2008-08-12

陳長(zhǎng)青（1979-），男，福建人，博士研究生，研究方向?yàn)榻粫?huì)對(duì)接的制導(dǎo)技術(shù)（e-mail：changqingchen@hotmail.com）。