郭會(huì)軍,李維勤,林遂芳

(西安理工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院,西安 710048)

目前全球能源處于石油向清潔能源過渡的時(shí)代,原油和天然氣在世界一次能源消費(fèi)結(jié)構(gòu)中占比呈下降趨勢(shì)(仍超過50%)。但是隨著能源需求的不斷增長(zhǎng),再加上較低的油藏采收率(≤60%),可用的油藏消耗速度仍然日益加快。在節(jié)能減排的背景下,提高油藏的采收率對(duì)于保障能源安全具有重要意義[1]。

提高采收率需要對(duì)油氣田開發(fā)管理規(guī)劃和開采工藝措施進(jìn)行優(yōu)化,需要實(shí)時(shí)獲取整個(gè)油藏的物理化學(xué)參數(shù),如壓力、溫度和流體類型等,但是目前尚缺乏能直接深入油藏內(nèi)部進(jìn)行實(shí)時(shí)在線監(jiān)測(cè)的有效手段?？紤]到油藏開發(fā)中常運(yùn)用水力壓裂技術(shù)在井筒和目標(biāo)巖層之間產(chǎn)生若干既窄又長(zhǎng)的裂縫,作為油藏和井筒之間的流體通路,通訊方式和定位穿過裂縫進(jìn)入油藏的傳感器節(jié)點(diǎn)成為實(shí)現(xiàn)分布式測(cè)量的難點(diǎn)。文獻(xiàn)[2]于2006年首次提出了基于磁感應(yīng)通信的地下無線傳感網(wǎng)絡(luò),開辟了研究油藏參數(shù)分布式測(cè)量的新領(lǐng)域。此后,學(xué)者們?cè)趥鞲衅鞯奈⑿突?、?jié)點(diǎn)無線充電、信道建模、通信協(xié)議和節(jié)點(diǎn)定位等方面展開了研究工作,其中節(jié)點(diǎn)定位是否準(zhǔn)確是制約實(shí)施油藏參數(shù)分布式測(cè)量的重要環(huán)節(jié)[2-5]。

地下無線傳感網(wǎng)絡(luò)中,環(huán)境和通信距離的限制使得錨節(jié)點(diǎn)整體比例很低,傳感器節(jié)點(diǎn)鄰居錨節(jié)點(diǎn)數(shù)往往少于3個(gè)以至沒有,常規(guī)無線傳感網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)定位方法[6-8]已無法適用這種情況。此外,節(jié)點(diǎn)間距離估計(jì)還受線圈方向、節(jié)點(diǎn)周邊外界磁場(chǎng)變化等因素影響[9]。為此文獻(xiàn)[10]研究了2-D環(huán)境下信標(biāo)位置固定,基于磁感應(yīng)通信的移動(dòng)節(jié)點(diǎn)定位。文獻(xiàn)[11]研究了2-D環(huán)境下參考節(jié)點(diǎn)位置固定,基于阻抗測(cè)量的節(jié)點(diǎn)定位。文獻(xiàn)[12]采用3方向通信線圈,研究了3-D環(huán)境下地下無線傳感網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)定位,并且采用了極大似然函數(shù)來估計(jì)節(jié)點(diǎn)位置。文獻(xiàn)[13]通過半定規(guī)劃結(jié)合共軛梯度法SDP+CGA(Semi-Definite Programming Enhanced Conjugate Gradient Algorithm)的優(yōu)化計(jì)算,得到隨機(jī)分布的基于磁感應(yīng)通信的地下無線傳感網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)位置。但是上述方法不僅誤差普遍較大,而且應(yīng)用條件嚴(yán)格,不便于實(shí)際使用。同時(shí)油藏環(huán)境特殊不適宜在其內(nèi)布置錨節(jié)點(diǎn),錨節(jié)點(diǎn)比例偏低使得定位問題更為復(fù)雜。

考慮到油藏裂縫中節(jié)點(diǎn)定位的特殊性,本文提出了一種基于接收信號(hào)磁感應(yīng)強(qiáng)度的兩步式節(jié)點(diǎn)定位方法。文中兩個(gè)錨節(jié)點(diǎn)部署在井筒,傳感器節(jié)點(diǎn)隨機(jī)分布在裂縫內(nèi),節(jié)點(diǎn)間均采用三方向線圈天線通信,節(jié)點(diǎn)距離依據(jù)接收磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行估計(jì)。然后將定位轉(zhuǎn)換為半定規(guī)劃問題,采用可變方向增強(qiáng)拉格朗日方法ADM(Alternating Direction Augmented Lagrangian Method)進(jìn)行求解,在此基礎(chǔ)上引入粒子群優(yōu)化算法在節(jié)點(diǎn)小鄰域內(nèi)精細(xì)搜索獲得最優(yōu)定位,最后通過仿真對(duì)算法的性能進(jìn)行了分析比較。

1 根據(jù)磁感應(yīng)強(qiáng)度測(cè)量節(jié)點(diǎn)間距離原理

水力壓裂技術(shù)產(chǎn)生的裂縫長(zhǎng)度通?？蛇_(dá)100 m,寬度和長(zhǎng)度分別為0.01 m和1 m。為了對(duì)油層進(jìn)行分布式測(cè)量,微納傳感節(jié)點(diǎn)混在攜砂液中(含石英砂)隨壓裂進(jìn)程進(jìn)入裂縫,其在裂縫中的位置因而是隨機(jī)分布的[4]。體積和功率較大的錨節(jié)點(diǎn)通常布置于井筒內(nèi)部,由外部電源供電,可直接與裂縫內(nèi)的傳感器節(jié)點(diǎn)進(jìn)行磁感應(yīng)通信,錨節(jié)點(diǎn)同時(shí)通過磁感應(yīng)方式為傳感節(jié)點(diǎn)提供電能;微納尺寸的傳感器節(jié)點(diǎn)具有全向線圈天線,同時(shí)配置超級(jí)電容器儲(chǔ)存耦合電能。考慮到供電及傳感器通信能力等因素,在面向油藏裂縫的地下無線傳感網(wǎng)絡(luò)中,錨節(jié)點(diǎn)和傳感節(jié)點(diǎn)之間通信(下行鏈路)是單跳方式,傳感節(jié)點(diǎn)與錨節(jié)點(diǎn)之間通信(上行鏈路)采用多跳方式[5]。

圖1 發(fā)射線圈及其磁場(chǎng)

令Bk表示第k個(gè)發(fā)送線圈在節(jié)點(diǎn)S處產(chǎn)生的磁通密度,θk表示S與xyz軸的極角。當(dāng)距離d遠(yuǎn)大于4倍的線圈半徑時(shí),S處的磁通密度為

(1)

式中:Bkr與Bkt分別表示磁通密度的徑向和軸向分量,μ是磁導(dǎo)率。M表示電流所產(chǎn)生磁矩的幅值,可由下式確定

M=NIAF

(2)

式中:N和A分別表示線圈的匝數(shù)和線圈的面積,F表示垂直線圈所在平面的單位矢量。

由式(1)可知總的磁通密度Bk為

(3)

將式(3)兩邊平方且代入式(1)可得

(4)

式中:

(5)

假設(shè)已知Bk,則

(6)

同時(shí)S的3個(gè)極角滿足

cos2θ1+cos2θ2+cos2θ3=1

(7)

將式(6)代入式(7)可得

(8)

則距離d可表示為

(9)

當(dāng)3個(gè)發(fā)送線圈具有相同的磁矩幅值,即Mk=M時(shí)易知Ck=C,則式(9)可簡(jiǎn)化為

(10)

令

(11)

則最終的距離估計(jì)簡(jiǎn)化為

(12)

而在S處,第k個(gè)發(fā)送線圈產(chǎn)生的磁通密度被3個(gè)接收線圈測(cè)量,其值為

(13)

式中:下標(biāo)1,2,3表示互相正交的3個(gè)接收線圈,當(dāng)忽略損耗時(shí)易得

Bkx=Bk

(14)

可知3個(gè)接收線圈測(cè)量的磁通密度為常值,與其方向無關(guān),從而有利于節(jié)點(diǎn)布置。這樣根據(jù)接收線圈的磁場(chǎng)測(cè)量值由式(13)和式(12)即可確定其與錨節(jié)點(diǎn)之間的距離,節(jié)點(diǎn)之間距離也可采用這種方式測(cè)定。

2 基于ADM的節(jié)點(diǎn)初始定位

2.1 節(jié)點(diǎn)接收信號(hào)磁通密度的估計(jì)

考慮在水力壓裂產(chǎn)生的裂縫中存在N個(gè)位置隨機(jī)的傳感器節(jié)點(diǎn){xi∈R2:1≤i≤N},同時(shí)存在K個(gè)位置已知的錨節(jié)點(diǎn){ai∈R2:1≤k≤K}。令傳感器節(jié)點(diǎn)i與其鄰居節(jié)點(diǎn)NHi之間距離為

{dij∈R:1≤i≤N,j∈NHi}

(15)

傳感器節(jié)點(diǎn)i與錨節(jié)點(diǎn)之間的距離為

{dik∈R:1≤i≤N,1≤k≤K}

(16)

令Brms1,…,Brmsn表示傳感節(jié)點(diǎn)接收的n個(gè)磁通密度信號(hào)樣本,假設(shè)它們是獨(dú)立同分布均值為(方差為(2的高斯變量。定義如下似然函數(shù)

(17)

其對(duì)數(shù)型似然函數(shù)為

(18)

則均值θ的極大似然估計(jì)為

(19)

簡(jiǎn)單推導(dǎo)后可得

(20)

上式表明可以從m個(gè)接收信號(hào)樣本中對(duì)參數(shù)(進(jìn)行極大似然估計(jì),估計(jì)結(jié)果實(shí)際為m個(gè)接收樣本的均值,且為無偏估計(jì)。基于接收信號(hào)強(qiáng)度(的無偏估計(jì),根據(jù)式(12)可對(duì)收發(fā)節(jié)點(diǎn)之間的距離d進(jìn)行估計(jì)。

2.2 節(jié)點(diǎn)定位問題的半定規(guī)劃表示

定義傳感器節(jié)點(diǎn)i與鄰居節(jié)點(diǎn)j之間距離估計(jì)誤差,傳感器節(jié)點(diǎn)i與信標(biāo)節(jié)點(diǎn)k之間距離估計(jì)誤差分別為

(21)

(22)

(23)

易知f(X)為凸函數(shù)[14],半定松弛之后將其轉(zhuǎn)化為如下的半定規(guī)劃問題

(24)

(25)

Y-XTX0

(26)

式中ei和ej為單位列矢量,I表示單位陣,Y∈RN*N為實(shí)對(duì)稱矩陣。

2.3 基于ADM的節(jié)點(diǎn)初始定位

式(24)所示半定規(guī)劃屬于高維問題,約束條件數(shù)目趨近待優(yōu)化參數(shù)的階數(shù),基于內(nèi)點(diǎn)的傳統(tǒng)迭代法求解時(shí)不僅計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)而且存儲(chǔ)繁瑣,文獻(xiàn)[14]指出ADM方法能夠在求解高維半定規(guī)劃問題的同時(shí),大幅減少計(jì)算量和存儲(chǔ)需求。為此將式(25)重新整理為如下的矩陣形式

(27)

式中:

(28)

(29)

(30)

(31)

此時(shí)A(Z)為Z的線性映射,同時(shí)定義

(32)

則原問題轉(zhuǎn)化為如下二次型半定規(guī)劃問題

(33)

假設(shè)矩陣A行滿秩,定義如下增強(qiáng)拉格朗日函數(shù)

(34)

(35)

(36)

(37)

迭代若干步后,即可獲得全部節(jié)點(diǎn)位置的初步估計(jì)值,而關(guān)于算法的全局收斂可參考文獻(xiàn)[15]。

3 基于粒子群算法的精確定位

上述半定規(guī)劃將求解從低維空間轉(zhuǎn)化到了高維空間,ADM算法獲得的解與真實(shí)值之間仍然存在相當(dāng)?shù)恼`差[13,15]。為了獲得更好的位置估計(jì),有必要引入更為精細(xì)的尋優(yōu)算法。倘若在以ADM算法所獲估計(jì)值為圓心,半徑不超過節(jié)點(diǎn)通信半徑的圓形區(qū)域內(nèi)進(jìn)一步搜索尋優(yōu),有可能獲得誤差更小的位置估計(jì)。相比其他搜索尋優(yōu)算法,粒子群算法PSO(Particle Swarm Algorithm)在具有較強(qiáng)的搜索能力的前提下,涉及參數(shù)較少且實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單[16],適宜用于本文所述情形。

定義如下目標(biāo)函數(shù)

(38)

(39)

(40)

(41)

4 仿真分析與性能評(píng)估

采用MATLAB對(duì)本文算法進(jìn)行了仿真和驗(yàn)證,并與ADM+CGA算法結(jié)果進(jìn)行比較。兩個(gè)錨節(jié)點(diǎn)布置在鉆井井筒中固定位置,傳感器節(jié)點(diǎn)隨機(jī)散布在裂縫中,裂縫內(nèi)部沒有錨節(jié)點(diǎn)。如前所述水力壓裂工藝產(chǎn)生的裂縫寬度很小,混在攜砂液(起支撐裂縫作用)進(jìn)入裂縫內(nèi)部的傳感器節(jié)點(diǎn)定位問題等效為平面內(nèi)節(jié)點(diǎn)定位問題。為了研究噪聲引起的磁場(chǎng)測(cè)量誤差對(duì)定位的影響,利用距離測(cè)量誤差取代磁場(chǎng)測(cè)量誤差,觀察相對(duì)定位誤差隨距離測(cè)量誤差的變化。引入噪聲因子nf∈[0,1]反映距離測(cè)量噪聲方差大小,包含測(cè)量誤差的距離估計(jì)可表示為

(42)

(43)

表1 仿真參數(shù)

在nf=0.5和傳感器節(jié)點(diǎn)數(shù)為50的情況下,首先采用ADM算法進(jìn)行了初始定位,結(jié)果如圖2所示,可見存在較顯著的定位誤差(ERA=6.923 7)。而后以ADM定位作為初值,分別采用CGA算法和PSO算法進(jìn)行了精確定位。圖3和圖4分別為CGA算法和PSO算法定位結(jié)果,其相對(duì)定位誤差分別為0.577 1和0.587 1,與圖2對(duì)比可見定位精度獲得顯著提升。

圖2 ADM算法定位

然后在不同的傳感器節(jié)點(diǎn)數(shù)量(傳感器節(jié)點(diǎn)從50～100,步長(zhǎng)10)和不同的距離測(cè)量噪聲強(qiáng)度nf(0.05～0.60)的情況下,觀察本文算法和ADM+CGA算法的相對(duì)定位誤差,結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖5表明在錨節(jié)點(diǎn)數(shù)量為2,通信距離固定條件下,ADM+CGA和ADM+PSO算法的定位誤差隨著傳感器節(jié)點(diǎn)的增加均呈下降趨勢(shì),ADM+PSO算法略優(yōu)于ADM+CGA算法。從圖6可以看出,在錨節(jié)點(diǎn)為2,傳感器節(jié)點(diǎn)為60,通信距離為3.2 m場(chǎng)景下,隨著噪聲強(qiáng)度從低到高的增加,ADM+CGA和ADM+PSO算法的定位誤差均逐漸變大,但是ADM+PSO算法結(jié)果仍優(yōu)于ADM+CGA算法。

圖3 ADM+CGA算法定位

圖4 ADM+PSO算法定位

圖5 相對(duì)定位誤差隨傳感器節(jié)點(diǎn)數(shù)變化

圖6 相對(duì)定位誤差隨噪聲變化

5 結(jié)論

對(duì)于錨節(jié)點(diǎn)布置在井筒,傳感器節(jié)點(diǎn)隨機(jī)分布于油藏裂縫條件下的地下無線網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)定位,可從節(jié)點(diǎn)接收信號(hào)的磁感應(yīng)強(qiáng)度中估計(jì)出其與鄰居節(jié)點(diǎn)和錨節(jié)點(diǎn)的距離,在此基礎(chǔ)上將定位問題轉(zhuǎn)換為半定規(guī)劃問題,利用變方向增強(qiáng)拉格朗日方法和粒子群優(yōu)化算法結(jié)合的方法可獲得較好的定位結(jié)果。仿真結(jié)果也表明,本文方法優(yōu)于ADM+CGA方法。