彭秋燕,劉兆霆,姚英彪

(杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院,杭州 310000)

由大量傳感器節(jié)點(diǎn)組成的無線傳感器網(wǎng)絡(luò)在環(huán)境監(jiān)測、目標(biāo)定位和跟蹤等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。這些應(yīng)用所涉及的理論問題一般可以歸結(jié)為是從傳感器采集的測量數(shù)據(jù)中估計(jì)未知的物理量參數(shù),并且隨著無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的快速發(fā)展,該問題已經(jīng)吸引了大量國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。通常情況下,無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)由電池供電,其計(jì)算、通信和信息存儲(chǔ)能力有限[1],另外,網(wǎng)絡(luò)的通信帶寬也是一個(gè)有限的資源。這使得如何基于傳感器網(wǎng)絡(luò)獲得有效的參數(shù)估計(jì),同時(shí)盡可能降低網(wǎng)絡(luò)的使用成本問題成為一個(gè)具有理論意義和實(shí)用價(jià)值的研究熱點(diǎn)。

解決此問題的其中一個(gè)研究方向是將每個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)的測量值壓縮為1比特或多比特的信息,然后利用這種壓縮后的數(shù)據(jù),設(shè)計(jì)相應(yīng)的算法實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計(jì)。與未經(jīng)量化的模擬測量值相比,壓縮后的1比特測量值雖然僅含有非常有限的信息量,但通常可以通過更便宜的二進(jìn)制傳感器來獲取,并且能夠降低設(shè)備的存儲(chǔ)容量和減小網(wǎng)絡(luò)的通信帶寬。目前,國內(nèi)外已有大量基于1比特參數(shù)估計(jì)算法的研究,例如,在被估計(jì)參數(shù)是一個(gè)標(biāo)量的情況下,人們提出了許多參數(shù)化方法[2-4]和非參數(shù)化方法[5-7];在被估計(jì)參數(shù)是一個(gè)矢量的情況下,人們提出了回歸參數(shù)的1比特估計(jì)方法[8,9],1比特系統(tǒng)辨識(shí)方法[10,11],1比特壓縮感知算法[12-16]等。

這些現(xiàn)有的方法都有各自的優(yōu)點(diǎn),但它們一般都依賴于某些假設(shè),如噪聲方差已知[3,4]、噪聲的累積分布函數(shù)可逆[5,11]、量化器的輸入不含噪聲[13,15,16]、未知參數(shù)的動(dòng)態(tài)范圍已知[6]、模型中使用的量化器閾值為零[9,12]等。這樣的假設(shè)在許多實(shí)際情況下并非總是成立的。例如,Wigren T[14]提出了一種利用1比特測量值的歸一化隨機(jī)梯度自適應(yīng)濾波方法,但是該方法假設(shè)量化器的輸入端不存在測量噪聲,在噪聲存在的情況下不能保證收斂。此外,大部分現(xiàn)有的算法大都是批處理方法,很少考慮基于1比特測量值的在線參數(shù)估計(jì)問題。在線處理相對(duì)于批處理方案具有更低的復(fù)雜性和存儲(chǔ)要求,并且能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)慢變參數(shù)的估計(jì)。雖然Zayyani H等[16]將輸入矢量乘以估計(jì)矢量的符號(hào)函數(shù)與1比特測量值之間的最小均方誤差準(zhǔn)則用于壓縮感知中1比特測量值的在線稀疏參數(shù)估計(jì),但是該準(zhǔn)則也不能為所得的估計(jì)性能提供強(qiáng)有力的理論支持。

在自適應(yīng)濾波中,遞歸最小二乘RLS(Recursive Least Square)算法在收斂速度和估計(jì)精度方面均優(yōu)于最小均方LMS(Least Mean Square)算法。然而,基于1比特測量值的RLS參數(shù)估計(jì)算法很少有報(bào)道。本文提出了一種基于無線傳感器網(wǎng)絡(luò)1比特測量值的自適應(yīng)RLS參數(shù)估計(jì)算法。該算法結(jié)合了期望最大EM(Expectation Maximization)和遞歸最小二乘法,具有與經(jīng)典RLS算法幾乎相同的穩(wěn)態(tài)性能。

1 傳感器網(wǎng)絡(luò)和信號(hào)參數(shù)估計(jì)模型

假設(shè)一個(gè)由K個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的傳感器網(wǎng)絡(luò),每個(gè)節(jié)點(diǎn)能夠與一個(gè)共同的融合中心FC(Fusion Center)進(jìn)行無線通信,且每個(gè)節(jié)點(diǎn)k在每個(gè)時(shí)刻i能夠獲得對(duì)某一感興趣信號(hào)的測量值yk,i:

(1)

如引言所述,為了降低網(wǎng)絡(luò)的通信帶寬和節(jié)點(diǎn)的能量消耗,本文考慮每個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)不直接傳輸測量信號(hào)yk,i,而是先將其與一個(gè)門限值進(jìn)行比較,然后向FC報(bào)告測量信號(hào)是大于該門限(用1表示),還是小于該門限(用-1表示),即每個(gè)節(jié)點(diǎn)向FC傳輸1比特?cái)?shù)據(jù)dk,i:

(2)

式中:τ是選定的門限值。另外,正如Chi Y等[17]以及Konar A等[18]的做法,本文進(jìn)一步假設(shè),每個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)的輸入矢量uk,i是由隨機(jī)序列發(fā)生器根據(jù)不同的隨機(jī)種子產(chǎn)生的,并且FC已知每個(gè)隨機(jī)種子,從而可以同步復(fù)制每個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)的輸入矢量uk,i。本文的主要目的是利用各個(gè)節(jié)點(diǎn)傳輸給FC的1比特?cái)?shù)據(jù){dk,i}來實(shí)現(xiàn)對(duì)未知參數(shù)w0的自適應(yīng)估計(jì)。

(3)

然而,當(dāng)噪聲vk,i存在時(shí),(3)不能保證參數(shù)的估計(jì)性能。因此,本文將從最大似然估計(jì)(Maximum Likelihood Estimation,MLE)原理推導(dǎo)一種基于期望最大和遞歸最小二乘的自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)算法。

2 最大似然估計(jì)方法

此節(jié)首先給出一種基于隨機(jī)梯度SG(Stochastic Gradient)迭代和Probit模型的最大似然估計(jì)方法,然后推導(dǎo)出一種基于權(quán)重的最大似然估計(jì)算法。

2.1 基于Probit模型的最大似然估計(jì)(Probit-MLE)

式(1)可以看作是dk,i條件概率的Probit回歸模型,即

式中:Φ(·)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù),且γk,i根據(jù)最大似然估計(jì)原理,可以從測量值{dk,i}中得到w0的估計(jì)值,即基于Probit模型的最大似然估計(jì)器的解為:

(4)

2.2 基于權(quán)重的最大似然1比特RLS算法

(5)

(6)

隨后把數(shù)據(jù){yj}作為隱藏變量,并通過EM算法解決問題(P2)。

2.2.1EM算法

E步:

式中:Ey[·]表示對(duì){yj}的數(shù)學(xué)期望。在E步中,利用(5)和(6)之間的等價(jià)關(guān)系,可得

(7)

(8)

根據(jù)式(7),M步可以簡化為

(9)

式中:

Ri

(10)

由于事件dk,j=-1和dk,j=1是互補(bǔ)的,且分別等效于事件yk,j≤τ和yk,j>τ,因此,從定義式(8)可以得到

引理給定一個(gè)具有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量v和一個(gè)常數(shù)a,v和v2的條件期望滿足:

式中:γk,j|i-1同樣地,可以推出τ以上兩種情況可以統(tǒng)一表示為

2.2.3OB-RLS算法的總結(jié)

(11)

并結(jié)合矩陣求逆引理[22]來實(shí)現(xiàn)逆矩陣Pi的循環(huán)更新。然而,根據(jù)定義式(10),矢量bi不滿足類似(11)的更新規(guī)則,且隨著迭代次數(shù)i的增大,矢量bi的計(jì)算量也將越來越大。為此,可以利用近似(10)中的從而獲得這是由于與作為w0的估計(jì)值通常近似相等,并且當(dāng)j接近i時(shí),兩者相差越來越小,使得與也近似相等,并且當(dāng)j接近i時(shí),兩者相差也逐漸減小。即使當(dāng)j遠(yuǎn)小于i時(shí),可能與有所差異,但由于權(quán)值λi-j的存在,這種差異的影響會(huì)隨著i-j的增大而減小。因此,即可得到

(12)

OB-RLS算法初始化:令^w0=0,P0=δIM。算法迭代:在每個(gè)時(shí)刻i,FC獲得從 K個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)發(fā)送過來的1比特?cái)?shù)據(jù)流{dk,i},并且按照下列步驟更新參數(shù)估計(jì)值^wi:(A1)時(shí)間循環(huán)^wi=^wi-1,Pi=λ-1Pi-1(A2)節(jié)點(diǎn)循環(huán)for k=1,2,…,Kyk,i=uTk,i^wi-1+dk,iσkΩdk,iuTk,j^wi-1-τσk()sk,i=Piuk,i1+1KuTk,iPiuk,i^wi←^wi+1K(yk,i-uTk,i^wi)sk,iPi←Pi-1Ksk,iuTk,iPiendi=i+1,返回(A1),直至收斂。

3 性能仿真分析

表1 所有傳感器節(jié)點(diǎn)的噪聲方差

圖1給出了OB-RLS算法的瞬態(tài)MSD與迭代次數(shù)i的關(guān)系,并且考慮了設(shè)置不同的閾值情況。從圖中可以觀察到,雖然OB-RLS算法僅使用了1比特量化測量值,但在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)仍能達(dá)到和傳統(tǒng)RLS算法幾乎相同的估計(jì)精度。另外,從圖1中還可以看出,OB-RLS算法的收斂速度比傳統(tǒng)RLS算法慢,但是設(shè)置較小的閾值(絕對(duì)值)有利于提高收斂速度。

圖1 傳統(tǒng)RLS和OB-RLS的瞬態(tài)MSD

圖2對(duì)比了4種算法的瞬態(tài)MSD。這4種算法分別是:符號(hào)濾波算法(3)、Probit-MLE算法(4)、傳統(tǒng)RLS算法(使用未經(jīng)量化數(shù)據(jù)yk,i)以及本文提出的OB-RLS。設(shè)置傳統(tǒng)RLS和OB-RLS算法的遺忘因子 λ=0.98,Probit-MLE和符號(hào)濾波算法的步長分別為0.03和0.3。從圖中可以看到,Probit-MLE算法的估計(jì)精度比符號(hào)濾波算法高,但兩者的精度都比本文所提出的OB-RLS算法低。

圖2 4種算法的瞬態(tài)MSD對(duì)比

圖3進(jìn)一步顯示了在不同閾值下,3種算法的穩(wěn)態(tài)性能。設(shè)置OB-RLS算法的遺忘因子λ=0.98,Probit-MLE和符號(hào)濾波算法的步長分別為0.03和0.3。從圖中可以觀察到,當(dāng)閾值τ由-2.5增加到2.5的過程中,符號(hào)濾波算法的性能波動(dòng)較大,對(duì)閾值τ比較敏感,而OB-RLS算法和Probit-MLE算法的估計(jì)性能比較穩(wěn)定,并且在這個(gè)過程中,本文的OB-RLS算法始終有更低的估計(jì)誤差。

圖3 不同閾值下的穩(wěn)態(tài)MSD

4 結(jié)論

本文研究了基于傳感器網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)問題,提出了一種利用傳感器節(jié)點(diǎn)1比特測量值的OB-RLS算法。為了降低各節(jié)點(diǎn)的能耗、存儲(chǔ)資源,以及到中心處理器的通信帶寬,首先將各節(jié)點(diǎn)采集的測量信號(hào)壓縮為1比特?cái)?shù)據(jù),然后再發(fā)送給中心處理器。在中心處理器中,采用文中所提出的OB-RLS算法來獲得對(duì)感興趣參數(shù)的自適應(yīng)估計(jì)。該算法結(jié)合了期望最大化的思想和遞歸最小二乘方法,相比符號(hào)濾波算法和Probit-MLE算法有較低的估計(jì)誤差和較好的穩(wěn)定性,且和傳統(tǒng)RLS算法估計(jì)精度相當(dāng)。論文通過MATLAB仿真實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了算法的性能。