王 勝,余文利,姚鑫驊

(1.衢州職業(yè)技術(shù)學(xué)院,浙江 衢州 324000;2.浙江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,杭州 310027)

由內(nèi)部和外部熱源導(dǎo)致的機(jī)床熱誤差是影響機(jī)床加工精度的主要因素。內(nèi)部熱源包含直接由機(jī)床本身和切削加工所產(chǎn)生的熱源,如主軸電機(jī)、軸承摩擦等。外部熱源歸因于機(jī)床所處環(huán)境,如相鄰機(jī)床、機(jī)床防護(hù)罩的開(kāi)合、環(huán)境溫度晝夜的周期變化以及季節(jié)差異等。這些熱源之間的相互作用導(dǎo)致了機(jī)床復(fù)雜的熱行為。具統(tǒng)計(jì),精密加工中,熱變形引起的制造誤差占總誤差的40%～70%[1]。提高機(jī)床加工精度主要有3種途徑:誤差避免法、誤差控制法和誤差補(bǔ)償法[2]。誤差避免法和誤差控制法代價(jià)高昂,并會(huì)帶來(lái)其他諸如振動(dòng)和加速度降低等問(wèn)題,誤差補(bǔ)償法因其具有高效、經(jīng)濟(jì)且易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn),已成為高精度數(shù)控加工的一個(gè)熱點(diǎn)研究方向[3]。

要實(shí)現(xiàn)有效的熱誤差補(bǔ)償,除了依靠可靠的測(cè)量裝置和高效的測(cè)量方法,還必須建立能夠反映關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)的溫度數(shù)據(jù)同機(jī)床熱誤差數(shù)據(jù)之間內(nèi)在關(guān)系的統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)模型。目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)誤差補(bǔ)償模型做了大量的試驗(yàn)和研究,從不同角度揭示了機(jī)床構(gòu)件溫度與熱誤差之間的關(guān)系。許多理論被引入到熱誤差建模中,如回歸理論[4-6]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[7-8]、灰色理論[9]、貝葉斯理論[10]、模糊邏輯[11]和支持向量機(jī)[12-13]。在熱誤差補(bǔ)償中,回歸分析因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和易于實(shí)現(xiàn),成為當(dāng)前最常用的熱誤差建模方法。目前,大多數(shù)熱誤差回歸模型都是基于帶有固定參數(shù)的前移回歸,如多項(xiàng)式回歸模型和多元回歸模型。前移回歸是一種典型的參數(shù)化模型,一旦基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定了模型參數(shù),則模型形式即固定下來(lái)。在長(zhǎng)期預(yù)測(cè)中,如果自變量的趨勢(shì)與建模開(kāi)始時(shí)的趨勢(shì)不一致,會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)精度下降。以此同時(shí),如果經(jīng)過(guò)熱關(guān)鍵點(diǎn)選擇后的優(yōu)化溫度輸入仍具有共線(xiàn)性,則模型精度將受到影響。因此,前移回歸模型的外推能力和泛化能力均存在不足。

本文首先基于模糊聚類(lèi)建立一個(gè)評(píng)價(jià)模型來(lái)優(yōu)化溫度分類(lèi),然后根據(jù)溫度變量與熱誤差的相關(guān)系數(shù),在每一組溫度中選擇一個(gè)溫度作為代表,將不同組中選出的多個(gè)代表性溫度作為候選溫度。然后,使用SIR模型來(lái)進(jìn)行熱誤差預(yù)測(cè)。最后,在一臺(tái)臥式精密加工中心上使用29個(gè)溫度傳感器和5個(gè)位移傳感器測(cè)量了溫度場(chǎng)和熱漂移。基于相關(guān)性分析,確定5個(gè)候選溫度作為SIR模型的輸入。比較了SIR模型和逐步回歸SR(Stepwise Regression)模型的建模結(jié)果,證明了本文模型的具有更高的預(yù)測(cè)精度和更好的魯棒性。

1 溫度變量的模糊聚類(lèi)分析

由于溫度變量沒(méi)有明確的界限,因此其分類(lèi)可以通過(guò)模糊集理論的軟劃分來(lái)實(shí)現(xiàn)。根據(jù)溫度變量的相似度或親疏性質(zhì),模糊聚類(lèi)分析通過(guò)模糊相似關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)溫度變量的分類(lèi)。為了使處理過(guò)程簡(jiǎn)單直觀,一般將相似關(guān)系轉(zhuǎn)化為模糊矩陣,然后進(jìn)行模糊聚類(lèi)分析。

1.1 模糊等價(jià)矩陣

為描述溫度變量的相關(guān)性,相關(guān)系數(shù)矩陣R構(gòu)造如下:

R=(rij)p×p, 1≤i,j≤p

(1)

式中:p表示溫度變量個(gè)數(shù);rij為第i個(gè)溫度ti和第j個(gè)溫度tj的相關(guān)系數(shù),定義如下:

(2)

根據(jù)最大-最小法則,進(jìn)行以下的組合操作:

R°R=R2,R2°R2=R4,…,R2k°R2k=R2k+1

(3)

1.2 溫度變量分類(lèi)評(píng)價(jià)模型

假定閾值λ可以將所有溫度變量分類(lèi)到fλ個(gè)分組中,即u1,u2,…,ufλ。如果第i個(gè)分組ui包含q個(gè)溫度變量,則在分組ui(i=1,2,…,fλ)中的每個(gè)溫度變量序列可以表示為:

(4)

(5)

(6)

則溫度變量分類(lèi)評(píng)價(jià)模型如下所示:

(7)

圖1 最優(yōu)候選溫度變量的選擇過(guò)程

1.3 候選溫度的確定

評(píng)價(jià)模型F的最大值對(duì)應(yīng)于最優(yōu)閾值λopt,在最優(yōu)閾值條件下,可以得到最終的溫度變量分類(lèi)v1,v2,…,vm。在分組vi(i=1,2,…,m)中,可以進(jìn)行溫度和熱誤差之間的相關(guān)分析。對(duì)應(yīng)于最大相關(guān)系數(shù)的溫度變量被認(rèn)為是分組中的代表性溫度,從v1,v2,…,vm中選擇的m個(gè)代表性溫度作為候選溫度。最優(yōu)候選溫度的選擇過(guò)程如圖1所示。

2 熱誤差的前移回歸建模

在熱誤差補(bǔ)償中,回歸理論因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和易于實(shí)現(xiàn)而被廣泛應(yīng)用于誤差預(yù)測(cè),大多數(shù)熱誤差的回歸模型都是基于固定參數(shù)的前移回歸,如多項(xiàng)式回歸和多元回歸。

定義獨(dú)立變量X和y,在X中的溫度變量數(shù)為p,數(shù)據(jù)集T可以描述為:T={(x1,y1),…,(xn,yn)},其中xi∈X?Rp,yi∈y?R1。

構(gòu)建前移回歸模型需要以下5個(gè)步驟:

①確定關(guān)系函數(shù)y=f(X);

②限定函數(shù)集F由f(X)構(gòu)成;

③選擇一個(gè)損失函數(shù)c(X,y,f)來(lái)確定yi與f(xi)之間的偏差;

⑤找出能夠最小化F中經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)Remp的f(X)。

從上述步驟可以看出,前移回歸模型是一種參數(shù)化建模方法。一旦模型參數(shù)基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定,則模型形式就固定下來(lái)。在長(zhǎng)期預(yù)測(cè)中,如果自變量的趨勢(shì)與建模初期的趨勢(shì)不一致,預(yù)測(cè)精度將會(huì)下降。同時(shí),如果作為優(yōu)化溫度輸入的熱關(guān)鍵點(diǎn)選擇仍然具有共線(xiàn)性,建模的精度將會(huì)受到影響。因此,前移回歸模型存在外推能力差和泛化能力低的不足。

3 數(shù)控機(jī)床分段逆回歸熱誤差建模

3.1 SIR方法的原理簡(jiǎn)述

SIR方法[14]最早由Ker-Chau Li(1991年)提出,是一種非參數(shù)化的逆回歸技術(shù)。在非線(xiàn)性模型假設(shè)下,SIR能夠?qū)Ω呔S獨(dú)立變量系統(tǒng)進(jìn)行綜合降維,得到一個(gè)“有效降維空間”(Effective Dimension Reduction Space,簡(jiǎn)稱(chēng)e.d.r空間)。此外,在最小信息損失下,SIR將原始變量綜合為主成分,可以避免信息重疊和高相關(guān)性,進(jìn)一步優(yōu)化模型輸入。

給定自變量y?R1和自變量X?Rp,則SIR基于以下模型:

y=g(β1X,β2X,…,βkX,ε)

(8)

式中:g是空間Rk+1中的未知函數(shù),β1,β2,…,βk是未知行向量。在最小信息損失情況下,通過(guò)βi(i=1,2,…,k)將p維獨(dú)立變量X投影到k維子空間(β1X,β2X,…,βkX)T。當(dāng)k

3.2 基于SIR方法的熱誤差建模

在熱誤差建模中,定義熱誤差y=[y1,y2,…,yn],溫度變量X=[x1,x2,…,xn],其中xi=[xi1,xi2,…,xip]T(i=1,2,…,n)?；赟IR的建模步驟如下所示:

⑤投影值計(jì)算:在e.d.r空間中的投影Z={[z1,z2,…,zk]|zi=βiX,1≤i≤k}。

4 仿真試驗(yàn)和結(jié)果分析

4.1 傳感器元件的制備及熱誤差測(cè)量實(shí)驗(yàn)

熱誤差實(shí)驗(yàn)在如圖2(a)所示的臥式精密加工中心上進(jìn)行。29個(gè)溫度傳感器分布在加工中心上,其中,T22和T29分別檢測(cè)冷卻液和環(huán)境溫度,其他溫度傳感器在加工中心的連接位置如表1所示。

表1 溫度傳感器布置

根據(jù)ISO230-3標(biāo)準(zhǔn),使用5個(gè)位移傳感器來(lái)檢測(cè)熱膨脹,如圖2(b)所示。

圖4 位移傳感器測(cè)量數(shù)據(jù)比對(duì)

圖2 溫度傳感器布置和主軸熱誤差測(cè)量

圖2中,Dx1和Dx2用于檢測(cè)X方向的熱誤差,Dy1和Dy2用于檢測(cè)Y方向的熱誤差,軸向熱誤差通過(guò)Dz來(lái)測(cè)量。

為了仿真不同工況條件下的加工過(guò)程,進(jìn)給速度設(shè)置為3 000 mm/min,給出了兩種類(lèi)型的主軸轉(zhuǎn)速,如圖3所示。實(shí)驗(yàn)中,托架沿3個(gè)方向移動(dòng)。

圖3 隨機(jī)轉(zhuǎn)速分布

4.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

4.2.1 各方向熱誤差分析

在二種隨機(jī)轉(zhuǎn)速下,對(duì)主軸熱誤差進(jìn)行檢測(cè)。來(lái)自于兩種實(shí)驗(yàn)條件下的檢測(cè)結(jié)果表明軸向熱誤差要大于兩個(gè)徑向熱誤差。同時(shí),通過(guò)4個(gè)徑向熱誤差計(jì)算得到的徑向熱傾斜要小一些。在主軸轉(zhuǎn)速1條件下所測(cè)得的5個(gè)方向的熱誤差如圖4所示。本文在熱誤差建模時(shí),選擇軸向熱誤差作為自變量。

當(dāng)機(jī)床通過(guò)冷卻系統(tǒng)進(jìn)行冷卻時(shí),流過(guò)主軸強(qiáng)制冷卻液使得產(chǎn)生的熱量和熱膨脹達(dá)到最小。從圖5(a)可以看出,機(jī)床工作75 min后開(kāi)始進(jìn)行強(qiáng)制冷卻,熱誤差隨著冷卻液的溫度降低而減小。從圖5(b)可以看到,熱誤差的兩個(gè)主要波動(dòng)對(duì)應(yīng)于冷卻液溫度的兩次顯著下降。此外,從圖6可以看出,熱誤差會(huì)隨著主軸轉(zhuǎn)速的變化而波動(dòng)。

圖7 溫度傳感器測(cè)量數(shù)據(jù)比對(duì)

圖5 兩種主軸轉(zhuǎn)速下熱誤差與冷卻液溫度

圖6 兩種主軸轉(zhuǎn)速下的熱誤差

4.2.2 各測(cè)點(diǎn)溫度分析

在主軸轉(zhuǎn)速1情況下,29個(gè)溫度傳感器測(cè)得的溫度曲線(xiàn)如圖7所示。當(dāng)強(qiáng)制冷卻液流過(guò)主軸時(shí),主軸的溫度開(kāi)始下降。

因此,從圖7(a)可以看出,T4、T6、T21、T23、T24和T26測(cè)得的溫度變化趨勢(shì)與冷卻液溫度T22相似。與上述7條溫度曲線(xiàn)相比,主軸箱的波動(dòng)幅度較小。在進(jìn)給系統(tǒng),安裝在電機(jī)上的溫度傳感器測(cè)得的溫度較高。安裝在導(dǎo)軌或立柱對(duì)稱(chēng)位置上的溫度傳感器具有接近的溫度曲線(xiàn)。

4.3 SIR建模分析方法

基于上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過(guò)式(7)計(jì)算得到最大的評(píng)價(jià)模型值為21.326 8,可以將溫度變量分為5類(lèi):(1)T1～T3,T5,T7～T17,T19,T20,T25,T28(2)T4,T6,T21～T24,T26;(3)T18;(4)T27;(5)T29。則根據(jù)溫度和軸向熱誤差的相關(guān)系數(shù),最終選取5個(gè)候選溫度分別為T(mén)18、T19、、T24、T27、T29。雖然評(píng)價(jià)模型確保每個(gè)溫度分組內(nèi)變量的緊密度和分組間的最大距離,但不能完全消除候選溫度之間的共線(xiàn)性。為進(jìn)一步消除共線(xiàn)性,在SIR建模時(shí)引入了主成份分析。

Z1=0.112 3t1+0.296 7t2+0.908 1t3+ 0.204 8t4+0.181 3t5

(9)

Z2=0.606 1t1+0.296 5t2-0.361 6t3+ 0.385 4t4+0.515 2t5

(10)

通過(guò)用主成份Z1和Z2替換5個(gè)溫度增量t1～t5,可以將5維的熱誤差模型簡(jiǎn)化為2維模型。使用式(9)和式(10),49段溫度變量在第1和第2個(gè)主成份上的投影Zt1和Zt2分別如下所示:

Zt1=[4.056 3,2.263 2,…,0.013 9]

(11)

Zt2=[-0.074 4,1.917 5,…,0.002 3]

(12)

式中:Zt1和Zt2的長(zhǎng)度均為49。

z=0.963 9-8.420 0Z1-7.043 9Z2

(13)

49個(gè)樣本均值的擬合曲線(xiàn)如圖8所示,顯然49個(gè)數(shù)據(jù)的擬合精度非常高。

圖8 SIR模型的擬合結(jié)果

4.4 SIR與SR模型建模數(shù)據(jù)比對(duì)

4.4.1 擬合精度比對(duì)

在5.3節(jié)中,SIR使用主軸轉(zhuǎn)速1條件下的49個(gè)樣本均值進(jìn)行熱誤差建模。通過(guò)式(9)和式(10)將所有溫度數(shù)據(jù)進(jìn)行投影,然后將投影數(shù)據(jù)作為式(13)的輸入。建模結(jié)果如圖9(a)所示,從圖9(a)可知,殘差在3.1 μm以?xún)?nèi),模型決定系數(shù)為0.985。

圖9 兩種模型的建模結(jié)果

為了研究SIR模型的性能,使用SR進(jìn)行溫度變量?jī)?yōu)化和熱誤差建模,從3個(gè)備選模型中,可知由ΔT24、ΔT27、ΔT29所構(gòu)建的模型具有最好的性能,其軸向熱差z描述如下:

z=0.705 9-8.118 6t3+1.134 5t4-6.083 2t5

(14)

SR模型的建模結(jié)果如圖9(b)所示,從圖9(b)可以看出,SR模型的擬合曲線(xiàn)非常接近于測(cè)量曲線(xiàn),殘差在2.5 μm以?xún)?nèi),模型決定系數(shù)為0.991。因?yàn)镾R模型是基于主軸轉(zhuǎn)速1條件下的所有樣本進(jìn)行熱誤差建模,而SIR模型是基于49個(gè)樣本均值進(jìn)行熱誤差建模,因此,SR模型的擬合精度要稍高于SIR模型?？偟膩?lái)說(shuō),兩種模型均有較高的擬合精度。

4.4.2 預(yù)測(cè)精度比較

在熱誤差建模時(shí),模型的魯棒性是一項(xiàng)非常重要的性能,在某一工況條件下建立的模型可能不適合于另一工況下的補(bǔ)償。為了驗(yàn)證本文提出模型的有效性和魯棒性,在圖3(b)的主軸轉(zhuǎn)速2下進(jìn)行了另一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)?；谥鬏S轉(zhuǎn)速1的所有數(shù)據(jù)所建立的兩個(gè)模型被用于預(yù)測(cè)主軸轉(zhuǎn)速2下的熱誤差,驗(yàn)證結(jié)果如圖10所示,從圖10可以看出,SIR模型的預(yù)測(cè)值比SR模型更接近于測(cè)量值,從而證明了SIR模型具有良好的魯棒性。因?yàn)镾IR模型具有較小的預(yù)測(cè)偏差,因此,SIR模型比SR模型更適合于熱誤差的補(bǔ)償。

圖10 兩種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果

5 結(jié)論

本文提出了一種基于SIR模型的新的熱誤差建模方法,以建立熱變形與溫度之間的關(guān)系。在非線(xiàn)性模型的假設(shè)下,該方法可以在不損失變量信息的前提下有效地減少輸入變量的維度。同時(shí),該模型還進(jìn)一步消除了輸入變量之間的共線(xiàn)性。在建模前,使用基于模糊聚類(lèi)的評(píng)價(jià)模型對(duì)溫度變量進(jìn)行分類(lèi),在模型最大評(píng)價(jià)值下,得到最優(yōu)的溫度分類(lèi)。然后,根據(jù)溫度與熱誤差的相關(guān)系數(shù)在每組中選擇一候選溫度變量。通過(guò)該方法,從16個(gè)溫度變量中選擇5個(gè)候選溫度變量作為SIR模型的輸入。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,相比SR建模方法,基于不同試驗(yàn)樣本個(gè)數(shù)的情況下,SR模型的擬合精度要稍高于SIR模型。但經(jīng)過(guò)聚類(lèi)分析和SIR降維處理的全新模型預(yù)測(cè)具有較好的魯棒性和預(yù)測(cè)精度,能夠準(zhǔn)確描述各種工況下數(shù)控機(jī)床熱誤差的實(shí)際特性。