鄒旭東 雷建平

(武漢理工大學(xué)交通學(xué)院 武漢 430063)

橋梁的初始有限元模型依據(jù)設(shè)計(jì)參數(shù)建立，通常與其實(shí)際工作狀況存在較大的誤差。為此，通過(guò)模型修正得到一個(gè)能夠真實(shí)反映橋梁結(jié)構(gòu)靜、動(dòng)力特性的有限元模型，為結(jié)構(gòu)的安全評(píng)估及健康監(jiān)測(cè)提供科學(xué)依據(jù)[1]。傳統(tǒng)的模型修正方法需要大量的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行迭代計(jì)算，且容易出現(xiàn)矩陣病態(tài)問(wèn)題，求解效率較低。近年來(lái)，基于仿生學(xué)的優(yōu)化算法發(fā)展迅速，為橋梁結(jié)構(gòu)的有限元模型修正提供了一種新思路。

粒子群算法的基本思想起源于J.Kennedy和R.Eberhart對(duì)鳥(niǎo)群覓食行為的研究。該算法具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、容易實(shí)現(xiàn)、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在模型修正領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[2-4]。雖然粒子群算法的隨機(jī)搜索能力很強(qiáng)，但同時(shí)也存在易早熟收斂等缺點(diǎn)。為此，眾多學(xué)者在算法改進(jìn)方面做了大量研究，提出了許多改進(jìn)粒子群算法[5-7]，以增強(qiáng)算法的全局性搜索能力。

本文提出了基于混合粒子群優(yōu)化算法的橋梁有限元模型修正策略。首先對(duì)標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法采取自適應(yīng)動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重策略改進(jìn)，并引入差分進(jìn)化算法以并行的方式進(jìn)行混合優(yōu)化；然后在模型修正中引入混合粒子群算法以修正模型的參數(shù)；最后通過(guò)某簡(jiǎn)支梁數(shù)值模型的修正來(lái)驗(yàn)證該算法的有效性。

1 標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法和差分進(jìn)化算法

1.1 標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法基本原理及改進(jìn)

1.1.1標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法基本原理

在標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法中，每個(gè)粒子的位置分別代表該優(yōu)化問(wèn)題的某個(gè)潛在最優(yōu)解。粒子的性質(zhì)由粒子的位置、飛行速度和適應(yīng)度值3項(xiàng)指標(biāo)確定[8]。其中，粒子適應(yīng)度值是評(píng)判該粒子優(yōu)劣程度的標(biāo)準(zhǔn)。每個(gè)粒子在可行解空間范圍內(nèi)進(jìn)行搜索時(shí)，通過(guò)個(gè)體極值和群體極值進(jìn)行比較來(lái)更新自身的位置。粒子每次位置更新都需要重新計(jì)算粒子適應(yīng)度值，并更新個(gè)體極值和群體極值的位置。

假設(shè)粒子群的粒子總數(shù)為M；優(yōu)化問(wèn)題可行解空間U的維度為N。則初始化的粒子種群可表示為：X=(X1,X2,…,XM)。其中Xi=(xi1，xi2，…，xiN)T表示第i個(gè)粒子(i=1,2,…,M)在解空間U內(nèi)的位置。每個(gè)粒子X(jué)i的適應(yīng)度值則由該優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)來(lái)計(jì)算。粒子的速度可表示為Vi=(vi1，vi2，…，viN)T；個(gè)體極值可表示為Pi=(pi1，pi2，…，piN)T；群體極值可表示為Pg=(pg1，pg2，…，pgN)T。

在每次的迭代計(jì)算過(guò)程中，粒子的速度和位置更新算式如下。

(1)

(2)

式中：w為慣性權(quán)重；n=1,2,…,N；i=1,2,…,M；t為當(dāng)前迭代次數(shù)；Vin為粒子的速度；c1和c2為加速度因子；r1和r2為區(qū)間[0,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

1.1.2標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法改進(jìn)

在粒子群算法中，若慣性權(quán)重取值較大時(shí)，算法的全局探索能力顯著提升，搜索效率提高。反之，慣性權(quán)重越小，粒子的局部開(kāi)發(fā)能力越強(qiáng)，算法的收斂速度加快。為提高算法的性能，本文采用自適應(yīng)動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重策略對(duì)標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法進(jìn)行改進(jìn)。將每一代的粒子按適應(yīng)度值從優(yōu)到劣排列，則排在第i位粒子的慣性權(quán)重的表達(dá)式為

wi=wmin+(wmax-wmin)(M-i)/(M-1)

(3)

加速度因子的表達(dá)式為

(4)

式中：wmin和wmax為預(yù)設(shè)的最小和最大慣性權(quán)重，本文中wmin取0.4，wmax取0.9。

1.2 差分進(jìn)化算法基本原理

差分進(jìn)化算法的基本思想是通過(guò)差分變異、交叉形成新的子代個(gè)體；然后基于“貪婪選擇”機(jī)制一對(duì)一篩選父代與子代中的優(yōu)質(zhì)個(gè)體組成新的種群。

1.2.1變異操作

差分進(jìn)化算法的變異操作是通過(guò)任意2個(gè)或多個(gè)向量的差分信息來(lái)改變隨機(jī)選定的目標(biāo)向量中的某些數(shù)值，變異公式為

(5)

式中：r1,r2,r3為種群中任意3個(gè)不同個(gè)體的編號(hào)；F為縮放因子。

1.2.2交叉操作

(6)

式中：Cr為交叉概率；j=1,2,…,N；jrand為[1,N]區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)整數(shù)。

1.2.3選擇操作

(7)

2 混合粒子群算法

2.1 混合粒子群算法思路

僅采用改進(jìn)粒子群算法或差分進(jìn)化算法在一定程度上仍存在易早熟收斂的問(wèn)題，為此，本文將粒子群算法和差分進(jìn)化算法以并行方式形成混合粒子群算法?；旌纤惴▽⒊浞掷?種算法各自的優(yōu)勢(shì)，將種群分為2個(gè)相同大小的子群，命名為P群和D群，分別采用粒子群算法和差分進(jìn)化算法更新種群。為提高算法的搜索效率，避免算法陷入局部最優(yōu)而導(dǎo)致搜索停滯，在2個(gè)子群之間建立一種信息交流機(jī)制。即在每次種群粒子更新后，選取P群和D群最優(yōu)粒子中適應(yīng)度值較好的粒子來(lái)指導(dǎo)2個(gè)子群下一代粒子的進(jìn)化。當(dāng)粒子群算法陷入局部最優(yōu)點(diǎn)時(shí)，D群中的最優(yōu)粒子信息將引導(dǎo)P群中陷入局部最優(yōu)的粒子偏離原來(lái)的搜索方向，逃離局部極值點(diǎn)以較大概率向全局最優(yōu)極值附近靠近。

2.2 混合粒子群算法流程

混合粒子群算法首先隨機(jī)初始化2個(gè)大小相同的子群P和D。其中P群采用自適應(yīng)動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重的粒子群算法更新下一代粒子的位置和速度；D群則采用差分進(jìn)化算法更新下一代粒子的位置。同時(shí)，在2個(gè)子群間引入信息共享策略來(lái)共享每代最優(yōu)粒子信息，提高算法的搜索效率，避免粒子陷入局部最優(yōu)。

設(shè)Pi和Pg分別為P群第t代粒子個(gè)體極值和群體極值；Dg為D群第t代粒子的群體極值；G為整個(gè)種群的群體極值。混合粒子群算法的具體操作如下。

1) 設(shè)置混合優(yōu)化算法的參數(shù)，并隨機(jī)初始化2個(gè)大小相同的種群P和D。

2) 令t=0，計(jì)算2個(gè)種群所有粒子的適應(yīng)度值。初始化P群粒子個(gè)體極值Pi、群體極值Pg、D群粒子的群體極值Dg和整個(gè)種群的群體極值G。

3) 根據(jù)方程(1)和(2)更新P群所有粒子的速度和位置，并更新Pi，Pg及其適應(yīng)度值。其中，粒子速度更新采用的是整個(gè)種群的群體極值G。

4) 根據(jù)方程(6)～(8)對(duì)D群所有粒子進(jìn)行變異、交叉、選擇操作，并記錄Dg及其適應(yīng)度值。

5) 比較Pg和Dg適應(yīng)度值的優(yōu)劣，更新G及其適應(yīng)度值。

6) 令t=t+1，檢查算法是否滿足終止條件。若滿足終止條件，則結(jié)束迭代，輸出粒子最優(yōu)位置及其適應(yīng)度值；若不滿足，則轉(zhuǎn)步驟(3)和(4)。

3 某簡(jiǎn)支梁有限元模型修正數(shù)值模擬

3.1 簡(jiǎn)支梁有限元分析

為驗(yàn)證本文基于混合粒子群算法的橋梁有限元模型修正方法的可行性，對(duì)某計(jì)算跨徑為3 m的鋼筋混凝土簡(jiǎn)支梁數(shù)值模型進(jìn)行修正。簡(jiǎn)支梁的設(shè)計(jì)截面尺寸如圖1所示，其中混凝土標(biāo)號(hào)為C40，彈性模量3.25×104MPa，質(zhì)量密度2 500 kg/m3。鋼筋的彈性模量2.0×105MPa，質(zhì)量密度7 850 kg/m3。

圖1 簡(jiǎn)支梁模型示意圖(單位：mm)

采用ANSYS建立簡(jiǎn)支梁的有限元模型，其中混凝土材料采用solid65實(shí)體單元模擬，鋼筋材料采用link180桿單元模擬。初始有限元模型見(jiàn)圖2。

圖2 簡(jiǎn)支梁初始有限元模型

對(duì)上述初始有限元模型第2，4，7段梁的混凝土彈性模量折減20%，作為本次數(shù)值模擬的真值模型。

3.2 簡(jiǎn)支梁有限元模型修正

根據(jù)真值模型的撓度和頻率計(jì)算結(jié)果來(lái)構(gòu)造聯(lián)合靜、動(dòng)力的目標(biāo)函數(shù)，修正目標(biāo)函數(shù)如式(9)所示。

(9)

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)法及靈敏度分析，選取混凝土彈模、鋼筋彈模和混凝土密度作為本次模型修正的修正參數(shù)。其中混凝土彈模和密度作為局部變量處理，鋼筋的彈性模量作為全局變量處理，共21個(gè)修正參數(shù)，參數(shù)的限值取參數(shù)設(shè)計(jì)值的±20%。

在MATLAB中采用混合優(yōu)化算法對(duì)簡(jiǎn)支梁有限元模型的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。在混合優(yōu)化算法中，隨機(jī)初始化2個(gè)規(guī)模均為50的種群，種群中每個(gè)粒子對(duì)應(yīng)1個(gè)21維向量，每1維向量對(duì)應(yīng)1個(gè)修正參數(shù)，迭代次數(shù)設(shè)為Tmax=500。

3.3 修正結(jié)果分析

經(jīng)過(guò)500次迭代，最終得到兩種群中的最優(yōu)粒子適應(yīng)度值為8.72×10-5，修正后的有限元模型計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 有限元模型修正前后結(jié)構(gòu)計(jì)算響應(yīng)對(duì)比

由表1可見(jiàn)，撓度計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差由修正前的7%左右降至2%以內(nèi)，而頻率計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差則由修正前的2%左右降低至1%以內(nèi)，模型修正后的精度提升明顯，說(shuō)明了混合粒子群算法對(duì)結(jié)構(gòu)有限元模型的修正是可行的。

4 結(jié)語(yǔ)

本文在模型修正中引入混合粒子群優(yōu)化算法修正模型參數(shù)，并采取自適應(yīng)動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重策略改進(jìn)，引入差分進(jìn)化算法進(jìn)行混合優(yōu)化，改善算法的全局搜索能力。采用該方法修正后的簡(jiǎn)支梁數(shù)值模型計(jì)算精度提升明顯，能夠真實(shí)反映結(jié)構(gòu)的靜、動(dòng)力特性，表明了該算法的有效性和可行性，為解決模型修正問(wèn)題提供了一種新的思路。