田建勇1, 石林江1，張曉光

(1.安順學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院, 貴州 安順 561000；2.遼東學(xué)院 機(jī)械電子工程學(xué)院,遼寧 丹東118000)

1 引 言

線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulated,LFM)信號廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、通信、聲吶以及電子對抗等電子信息系統(tǒng)中，對未知LFM信號的檢測在雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)測量、地震信號檢測、電子情報目標(biāo)識別等諸多領(lǐng)域中有著不可替代的作用[1]。在這些應(yīng)用場合中，均需要完成微弱LFM信號檢測。目前，應(yīng)用最為廣泛的微弱LFM信號檢測方法是基于時頻分析的方法。該類方法首先利用時頻變換(短時傅里葉變換[2]、Winger變換[3]、Ambiguity變換[4]等)獲取信號的時頻分布，然后基于Radon變換或Hough變換等檢測手段實(shí)現(xiàn)LFM信號檢測，其檢測本質(zhì)是提取LFM信號在時頻分布中的直線特征。這類方法的缺陷在于需要首先計(jì)算信號的二維時頻分布，再進(jìn)行直線特性變換后依靠二維峰值搜素實(shí)現(xiàn)信號檢測，計(jì)算量較大，對硬件性能要求很高。

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform,FrFT)最早用于解決量子力學(xué)中的微分方程問題[5]。文獻(xiàn)[6]證明了FrFT與Wigner變換之間的等價關(guān)系，指出了FrFT本質(zhì)上是一種時頻旋轉(zhuǎn)算子，奠定了FrFT處理LFM信號的理論基礎(chǔ)[7-10]。FrFT的時頻旋轉(zhuǎn)功能可以將LFM信號累積為一個峰值，即使在低信噪比下也具有很好檢測性能，并且FrFT在檢測LFM信號的同時還能估計(jì)出信號的中心頻率和調(diào)頻率，同時實(shí)現(xiàn)了信號檢測和參數(shù)估計(jì)。但是，許多應(yīng)用場合需要對微弱LFM信號進(jìn)行檢測，而目前缺乏對FrFT檢測微弱LFM信號能力的分析，影響了FrFT檢測LFM信號的實(shí)際應(yīng)用。

針對此問題，本文研究了FrFT對微弱LFM信號的檢測能力問題，首先簡要介紹了FrFT檢測LFM信號的原理，在二元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ拖路治隽薋rFT檢測LFM信號的性能，推導(dǎo)了虛警概率和檢測概率的數(shù)學(xué)表達(dá)式，分情況討論了LFM信號幅度譜的近似解；然后利用虛警概率和檢測概率結(jié)合接收機(jī)工作特性曲線(Receiver Operating Characteristic,ROC)分析了FrFT檢測LFM信號的靈敏度；最后仿真比較了FrFT與傳統(tǒng)傅里葉變換(Fourier Transform,FT)對微弱LFM信號的檢測靈敏度和信號累積能力。

2 FrFT檢測原理

任意信號x(t)的FrFT可以表示為

(1)

式中：u代表分?jǐn)?shù)階頻率，α代表FrFT的變換角度，Kα(t,u)表示FrFT的核函數(shù)，

(2)

K(t,u)=exp(-2πjut) 。

(3)

FT只是單純將信號由時域變換至頻域，而FrFT通過改變核函數(shù)，實(shí)現(xiàn)對時頻平面的旋轉(zhuǎn)。LFM信號模型可以表示為

s(t)=Aexp[2πj(f0t+kt2)+φ] 。

(4)

式中：A表示信號幅度，f0為信號的載頻，k為信號的調(diào)頻斜率，φ為信號的初始相位。

對于有限長的LFM，其維格納變換(Wigner-Ville Distribution,WVD)表現(xiàn)為一條斜刀刃狀的脊線，文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[11]分別提出采用Radon變換和Hough變換累積LFM信號在WVD中的脊線實(shí)現(xiàn)信號檢測。文獻(xiàn)[6]分析了FrFT和WVD等時頻分析工具之間的關(guān)系，指出FrFT就是將信號的時頻坐標(biāo)(t,ω)繞遠(yuǎn)點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)角度α，完成由(t,ω)到(u,α)的變換。FrFT可以看作是對時頻平面的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程如圖1所示。

圖1 FrFT旋轉(zhuǎn)算子示意圖Fig.1 Sketch of FrFT rotation operator

圖1中還給出了LFM信號的時頻分布，當(dāng)FrFT的旋轉(zhuǎn)角度α剛好旋轉(zhuǎn)到與LFM信號的脊線垂直時，LFM信號就會在u軸投影為一個峰值，實(shí)現(xiàn)了能量聚集，而白噪聲的FrFT不會產(chǎn)生任何峰值，不會產(chǎn)生能量聚集，這說明FrFT可以用來檢測LFM信號。

受加性噪聲污染的信號可以表示為

x(t)=s(t)+n(t)。

(5)

式中：n(t)代表均值為零、方差為σn的高斯白噪聲。LFM信號檢測的任務(wù)就是從受到噪聲污染的信號中檢測出LFM信號。定義X(u*,α*)2為基于FrFT的LFM信號檢測統(tǒng)計(jì)量，

(6)

當(dāng)檢測統(tǒng)計(jì)量大于給定門限時，判斷為LFM信號；否則，判為噪聲。

近年來，研究人員提出了多種FrFT的等價變換公式[4]。文獻(xiàn)[5]給出了一種FrFT等價變換，稱為Chirp-Fourier變換(Chirp-Fourier Transform,CFT)：

(7)

上式僅適用于α?{-1,0,1}的情況。α?{-1,0,1}是FrFT的特殊情況：α=-1對應(yīng)信號的逆Fourier變換，α=1對應(yīng)傳統(tǒng)的Fourier變換，而α=0表示無變換。對比式(1)和式(7)可知，CFT和FrFT存在下列關(guān)系：

X(u,α)=A(φ)Xc(u/sinα,β)，

(8)

(9)

式中：β=-cotα/2。式(8)和式(9)表明，CFT模值和FrFT模值之間只相差一個固定的尺度因子，因此可以用CFT模值代替FrFT模值進(jìn)行LFM信號的檢測，此時檢測統(tǒng)計(jì)量變?yōu)閄c(u*,β*)2，

(10)

3 檢測能力分析

3.1 虛警概率與檢測概率

LFM信號檢測的二元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ涂梢员硎緸?/p>

(11)

假設(shè)基于FrFT的LFM信號檢測門限為λ，則虛警概率可以表示為

(12)

式中：Xmax表示檢測統(tǒng)計(jì)量Xc(u*,β*)2，p(XmaxH0)為高斯白噪聲經(jīng)過CFT后的模值平方最大值的概率密度函數(shù)。

檢測概率可以表示為

(13)

式中：p(XmaxH1)為信號加噪聲經(jīng)過CFT變換后的模值平方最大值的概率密度函數(shù)。

實(shí)際檢測過程中，都是在一定的調(diào)頻率范圍內(nèi)檢測信號，即β∈[0,βmax]。假設(shè)在調(diào)頻率范圍內(nèi)β的離散點(diǎn)數(shù)為N，分?jǐn)?shù)階頻率u的離散個數(shù)為M。在假設(shè)H0條件下，檢測統(tǒng)計(jì)量Xmax的概率密度函數(shù)可以表示為[12]

(14)

將上式代入式(12)可以化簡得出虛警概率等于

(15)

根據(jù)CFT的定義可知，當(dāng)調(diào)頻率β取某一定值時，在H1假設(shè)條件下，信號CFT的實(shí)部和虛部均為獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，因此Xc(u,β)2服從于非中心的卡方分布，此時檢測統(tǒng)計(jì)量的概率密度函數(shù)為

(16)

式中：S(f)表示LFM信號s(t)的Fourier變換，即s(t)的頻譜。檢測概率

(17)

實(shí)際檢測過程中處理的都是離散信號，對于快變的LFM信號(調(diào)頻率k較大時)，信號頻譜在中心頻率f0處的模值平方可以近似為

(18)

式中：ω(·)是計(jì)算FFT時采用的窗函數(shù)，fs是信號的采樣頻率。對于慢變的LFM信號(調(diào)頻率k較小時)，信號頻譜在中心頻率f0處的模值平方可以近似表示三階泰勒級數(shù)的形式:

(19)

式中:

(20)

而am表示m階窗函數(shù)的時間矩，

(21)

快變信號、慢變信號的近似值與真實(shí)值的關(guān)系如圖2所示，圖中kmax=fs/4T，T為信號長度。

圖2 LFM信號頻譜幅值近似Fig.2 LFM signal spectrum amplitude approximation

由圖可知，快變信號、慢變信號的近似可以合并為如下形式：

(22)

將上式代入式(17)即可得出檢測概率與檢測門限的關(guān)系。

3.2 檢測靈敏度

信噪比在信號檢測中占有非常重要的地位，是接收機(jī)信號檢測的主要技術(shù)指標(biāo)。將檢測概率、虛警概率和信噪比之間的關(guān)系用曲線描述出來，稱為ROC曲線，一定信噪比范圍的ROC曲線描述了檢測算法的性能。目前FrFT廣泛應(yīng)用于動目標(biāo)檢測、電子偵察信號檢測以及SAR成像信號處理等涉及微弱LFM信號檢測的領(lǐng)域，但缺乏關(guān)于FrFT檢測微弱LFM信號能力的定量分析。

根據(jù)ROC曲線可以分析FrFT檢測微弱LFM信號的能力，即檢測靈敏度。檢測靈敏度是指給定檢測概率和虛警概率時，穿過檢測概率和虛警概率坐標(biāo)點(diǎn)的ROC曲線的信噪比。信號檢測靈敏度的值越小，算法檢測微弱信號的能力就越強(qiáng)。圖3給出了3種不同信噪比下(-6 dB、-8 dB和-10 dB)，基于FrFT檢測LFM信號的ROC曲線，定義檢測概率和虛警概率分別為pd=0.7、pfa=10-6，那么FrFT檢測LFM信號的靈敏度就約等于-6 dB。

圖3 ROC曲線Fig.3 ROC curve

4 仿真分析

本節(jié)將通過仿真實(shí)驗(yàn)對比分析FT和FrFT對微弱LFM信號的檢測能力，包括不同調(diào)頻率信號的檢測靈敏度仿真、不同時長信號的檢測靈敏度仿真和不同信噪比信號的檢測概率仿真。在驗(yàn)證前述理論分析正確性的同時，進(jìn)一步分析FrFT檢測LFM信號優(yōu)缺點(diǎn)。

4.1 不同調(diào)頻率信號的檢測靈敏度

圖4為FT和FrFT對30個不同調(diào)頻率LFM信號的檢測靈敏度，圖4(a)和圖4(b)分別為信號長度N=256和N=512時檢測靈敏度與調(diào)頻率關(guān)系。

(a)N=256

(b)N=512圖4 不同調(diào)頻率信號檢測性能Fig.4 Different frequency signal detection performance

對比圖4中FT和FrFT對不同調(diào)頻率LFM信號的檢測靈敏度可知，F(xiàn)rFT方法對于信號調(diào)頻率不敏感，對不同調(diào)頻率信號具有穩(wěn)定的檢測靈敏度；而FT方法對調(diào)頻率較低信號的檢測靈敏度較高，當(dāng)信號調(diào)頻率升高至一定值時，檢測靈敏度隨著調(diào)頻率的增加而下降。此外，當(dāng)LFM信號的調(diào)頻率較小時，F(xiàn)T方法的檢測靈敏度較高；當(dāng)LFM信號的調(diào)頻率較大時，F(xiàn)rFT方法的檢測靈敏度較高。這是因?yàn)檎{(diào)頻率較小的LFM信號十分接近于正弦波信號，適合于FT方法檢測；而FrFT方法需要對調(diào)頻率β進(jìn)行量化尋優(yōu)，檢測性能受到β量化分辨率的影響，因此當(dāng)信號調(diào)頻率較低時，檢測性能差于FT方法。

對比圖4(a)和圖4(b)可知，檢測靈敏度與信號長度有關(guān)，信號長度越長，兩種方法的檢測性能均有提升。

4.2 不同時長信號的檢測靈敏度

圖5為FT和FrFT對不同調(diào)頻率LFM信號的檢測靈敏度，LFM信號調(diào)頻為0.03βmax。

圖5 不同時長信號檢測性能Fig.5 Different durations signal detection performance

圖5表明，當(dāng)信號時長較小時，F(xiàn)T方法與FrFT方法的檢測靈敏度變化趨勢幾乎相同。但是，隨著信號時長的進(jìn)一步增加，F(xiàn)rFT方法檢測靈敏度繼續(xù)提升，而FT方法的檢測靈敏度不再增加。結(jié)果表明，F(xiàn)T方法的檢測靈敏度不能隨著信號時長的增加而增加，對LFM信號不是最優(yōu)的，而FrFT方法的檢測靈敏度隨著信號時長的增加而增加，實(shí)現(xiàn)了對LFM信號的最優(yōu)檢測。

4.3 不同信噪比信號的檢測概率

設(shè)定LFM信號脈沖寬度為T=1 s，中心頻率f0=400 Hz，采樣頻率fs=8 kHz，調(diào)頻率200 Hz/s，窗函數(shù)為128點(diǎn)的Hanning窗，給定虛警概率Pfa=10-6，信噪比步進(jìn)為1 dB，每個信噪比下進(jìn)行500次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)，分別采用FT方法和FrFT方法檢測，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。

圖6 檢測性能對比Fig.6 Comparison of detection performance

從圖6可以看出，在設(shè)置的仿真條件下，F(xiàn)rFT方法的檢測性能明顯優(yōu)于FT方法。這是因?yàn)?，雖然噪聲在傳統(tǒng)頻域和分?jǐn)?shù)階頻域都是分散的，不會出現(xiàn)明顯的能量聚集，但是LFM信號在傳統(tǒng)頻域中的幅值表現(xiàn)為矩形形狀的譜線，信號的能量沒有得到有效的累積，因此在噪聲條件下的檢測性能不佳；而LFM信號經(jīng)過FrFT后，會將信號能量累積到特定旋轉(zhuǎn)角和分?jǐn)?shù)階頻點(diǎn)的峰值中，相對壓低了噪聲能量，因而具有良好的檢測性能。

綜上所述，F(xiàn)rFT適合于對微弱LFM信號進(jìn)行檢測，其缺點(diǎn)是對于調(diào)頻率較小的LFM信號，參數(shù)離散分辨率會影響檢測性能，但可以采用一些優(yōu)化算法[13-14]在不增加運(yùn)算量的同時提高參數(shù)離散分辨率，實(shí)現(xiàn)微弱LFM信號檢測。

5 結(jié) 論

本文研究了微弱LFM信號的FrFT檢測能力問題:基于FrFT檢測原理和二元假設(shè)檢驗(yàn)理論推導(dǎo)了FrFT檢測LFM信號的虛警概率和檢測概率，理論上分析了FrFT對LFM信號的檢測靈敏度，仿真對比了FrFT和FT檢測微弱LFM信號的能力，表明FrFT的對LFM信號的檢測能力優(yōu)于FT。文中的研究內(nèi)容為實(shí)際工程應(yīng)用中FrFT檢測LFM信號設(shè)置合理的檢查門限提供了依據(jù)。下一步值得研究的問題是在保證檢測效率的前提下提高FrFT檢測LFM信號的參數(shù)分辨率。