趙崇丞，王 君，陳德江

（空軍工程大學防空反導學院，西安 710051）

0 引言

質(zhì)阻比是彈道目標質(zhì)量和外形的組合參數(shù)[1]，是再入段彈道目標主要識別特征。彈道目標在再入段飛行時，除了真彈頭，還伴有重誘餌。真彈頭和重誘餌的質(zhì)阻比不同，而且真彈頭的質(zhì)阻比大于重誘餌的質(zhì)阻比[2]。在反導作戰(zhàn)中，對質(zhì)阻比的估計精度及質(zhì)阻比收斂速度關(guān)系到目標識別的快慢及準確度，在很大程度上決定著反導作戰(zhàn)能否成功。

對質(zhì)阻比的估計方法主要有兩種：1）利用非線性濾波實時估計彈道目標距離、速度、加速度，然后利用質(zhì)阻比計算公式算出彈道目標質(zhì)阻比[3]，此方法由于采用CA模型作為再入運動模型，估計精度較差。2）基于彈道目標再入運動規(guī)律，將質(zhì)阻比增廣為彈道目標狀態(tài)向量中的一個元素，利用非線性濾波實時估計質(zhì)阻比，這種方法由于將質(zhì)阻比與彈道目標運動規(guī)律緊密結(jié)合，估計精度較高。

彈道目標進入再入段后，其狀態(tài)方程和量測方程均是非線性的，利用濾波器實時估計彈道目標質(zhì)阻比需用到非線性濾波。擴展卡爾曼濾波是非線性濾波算法中的一種典型算法，因其計算量小，被廣泛應用于雷達、通信、控制等領(lǐng)域。文獻[4]利用擴展卡爾曼濾波將質(zhì)阻比增廣到彈道目標狀態(tài)向量中，對其進行實時估計，但是由于利用擴展卡爾曼濾波需要用到雅克比矩陣，狀態(tài)向量維數(shù)過多時實現(xiàn)困難[5]，導致質(zhì)阻比估計精度不夠，收斂速度也慢。為了改善估計精度，并提高質(zhì)阻比收斂速度，本文利用容積卡爾曼濾波對質(zhì)阻比進行實時估計，容積卡爾曼濾波是一種基于三階球面-相徑容積規(guī)則來近似非線性函數(shù)傳遞的后驗均值和方差[6]的濾波方法，無需對非線性問題進行線性化，在狀態(tài)向量維數(shù)較多的時候計算量小于擴展卡爾曼濾波。仿真結(jié)果表明，基于容積卡爾曼濾波的質(zhì)阻比估計無論在精度還是質(zhì)阻比收斂速度上都優(yōu)于利用擴展卡爾曼濾波的估計算法。該方法對于反導作戰(zhàn)目標識別具有指導意義。

1 質(zhì)阻比

質(zhì)阻比，又叫彈道系數(shù)，是彈頭質(zhì)量和外形的組合參數(shù)，是一個用來衡量彈頭克服空氣阻力、維持飛行速度能力的數(shù)學特征[7]。其數(shù)學表達式為：

式中，m為彈頭質(zhì)量，單位是kg，CD為空氣阻力系數(shù)（無量綱），S為再入彈頭橫截面積，單位是m2。

由于大氣的燒蝕作用，彈道目標進入再入段后，只剩下真彈頭和重誘餌。真彈頭的質(zhì)阻比大于重誘餌的質(zhì)阻比，可據(jù)此對再入段彈道目標進行識別。表1列出了各類彈道目標的質(zhì)阻比。

表1 各類彈道目標質(zhì)阻比

2 再入彈道目標狀態(tài)方程及量測方程

2.1 狀態(tài)方程

彈道目標在再入段飛行時，除了受到重力，還受空氣阻力作用。由于再入段彈道目標飛行時間短，可忽略地球自轉(zhuǎn)[8-10]。對再入彈道目標建模如圖1所示。其受到的空氣阻力Fd與速度方向相反，重力Fg方向指向地心。

圖1 再入彈道目標運動模型

在雷達站ENU坐標系下對彈道目標的運動狀態(tài)進行描述，設(shè)彈道目標在t時刻的運動狀態(tài)為，目標與地心之間的距離為，Re=6 371.11 km為地球平均半徑，t時刻目標的速度為，則彈道目標的狀態(tài)方程可表示為：

式中，ρ0為海平面大氣密度，h為目標所在高度，表示大氣標高。

為了對質(zhì)阻比進行實時估計，可將質(zhì)阻比增廣到狀態(tài)向量X（t）中。同時，為保證質(zhì)阻比的非負性，以防濾波發(fā)散，可將質(zhì)阻比β表示為

式中，β0為彈道目標質(zhì)阻比濾波初值，具體數(shù)值可根據(jù)經(jīng)驗選定[9]，q（t）的變化率q˙（t）表示高斯白噪聲。則增廣后的彈道目標狀態(tài)向量為，相應的狀態(tài)方程為

2.2 量測方程

通常在雷達站極坐標系下描述再入彈道目標的量測方程，量測值包括彈道目標到雷達的徑向距離r，彈道目標方位角ε，高低角β。由雷達站ENU坐標系與雷達站極坐標系間轉(zhuǎn)換關(guān)系得再入彈道目標量測方程為

式中，w（t）為量測噪聲矩陣。

3 容積卡爾曼濾波（CKF）

容積卡爾曼濾波是由Arasaratnam和Haykin提出的基于容積變換的濾波方法，該方法充分利用球面-相徑容積規(guī)則選取容積點[12]，然后利用動態(tài)模型進行容積點非線性變換產(chǎn)生新的容積點，再對新容積點進行加權(quán)處理來近似非線性函數(shù)傳遞的后驗狀態(tài)估計均值及協(xié)方差矩陣[13]。

設(shè)k時刻彈道目標狀態(tài)為xk，且，則CKF具體濾波步驟如下：

1）濾波初始化

2）計算容積點

[1]i為完整全對稱點集的第 i個點[15]。

3）根據(jù)動態(tài)模型進行容積點非線性變換，即

4）計算狀態(tài)預測均值和預測協(xié)方差

5）計算更新后的容積點

6）根據(jù)量測模型進行容積點非線性變換，即

7）計算量測預測均值、新息協(xié)方差、狀態(tài)與量測間的互協(xié)方差和濾波增益

8）計算k+1時刻后驗狀態(tài)估計均值和協(xié)方差矩陣

4 仿真分析

分別利用擴展卡爾曼濾波和容積卡爾曼濾波對3個彈道目標的質(zhì)阻比進行估計，3個彈道目標中有一枚真彈頭，兩個重誘餌。每個目標均設(shè)定3個質(zhì)阻比初始值 β01=8 000 kg/m2，β02=6 000 kg/m2，β03=3 000 kg/m2。第1個目標的狀態(tài)初值為X（0）=（-28.5 km，0.44 km/s，-128.8 km，1.99 km/s，148.4 km，-2.12 km/s）T，第 2 個目標的狀態(tài)初值為 X（0）=（-23.4 km，0.41 km/s，-145.5 km，1.95 km/s，156.5 km，-2.07 km/s）T，第 3 個目標的狀態(tài)初值為 X（0）=（-24.6 km，0.42 km/s，-125.4 km，1.97 km/s，150.9 km，-2.1 km/s）T。雷達掃描周期為6 s，測距精度為150 m，測角精度為0.5°（包括高低角和方位角）。取目標狀態(tài)的第7維為q，且q˙為高斯白噪聲，其方差為。蒙特卡洛仿真50次，分別利用擴展卡爾曼濾波和容積卡爾曼濾波得出每個目標質(zhì)阻比估計值隨高度的變化圖。

由下頁圖2～圖4可以看出，對每個目標，無論質(zhì)阻比濾波初值為多少，質(zhì)阻比估計值最終都會收斂到真實質(zhì)阻比值，且目標1的質(zhì)阻比值最終收斂到7 000 kg/m2，目標2的質(zhì)阻比值最終收斂到4 000 kg/m2，目標3的質(zhì)阻比值最終收斂到5 000 kg/m2，而且基于CKF的質(zhì)阻比估計收斂速度及估計精度均高于基于EKF的質(zhì)阻比估計，收斂速度提前了大約一個雷達掃描周期6 s。由于目標1、目標2、目標3質(zhì)阻比值最終分別收斂到7 000 kg/m2、4 000 kg/m2、5 000 kg/m2，可以判定目標1為真彈頭，目標2及目標3為重誘餌。

圖2 目標1質(zhì)阻比估計隨高度變化圖

圖3 目標2質(zhì)阻比估計隨高度變化圖

圖4 目標3質(zhì)阻比估計隨高度變化圖

綜上：就濾波方法對再入彈道目標進行實時估計，容積卡爾曼濾波無論是在質(zhì)阻比估計精度還是在質(zhì)阻比收斂速度上均優(yōu)于擴展卡爾曼濾波。

5 結(jié)論

本文提出了一種利用容積卡爾曼濾波（CKF）對再入彈道目標進行質(zhì)阻比估計的方法，并進行了仿真實驗。通過對基于容積卡爾曼濾波（CKF）的質(zhì)阻比估計與基于擴展卡爾曼濾波（CKF）的質(zhì)阻比估計進行仿真比較，得出容積卡爾曼濾波對質(zhì)阻比進行估計在收斂速度及估計精度上都強于擴展卡爾曼濾波，對再入彈道目標識別有一定促進作用，適于工程運用。