喻祥敏 譚新生 于海峰 于揚(yáng)

(南京大學(xué)物理學(xué)院,固體微結(jié)構(gòu)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210093)

(2018年10月16日收到;2018年11月16日收到修改稿)

1 引 言

量子力學(xué)是描述微觀世界的基本理論,把量子力學(xué)應(yīng)用于凝聚態(tài)多體系統(tǒng),探索新的材料及其物理性質(zhì)具有重要意義,也取得了很大的成功.但是,隨著多體數(shù)目及自由度的增大,量子系統(tǒng)的Hilbert空間維度呈指數(shù)增加,指數(shù)爆炸將導(dǎo)致用經(jīng)典計(jì)算機(jī)難以計(jì)算量子多體系統(tǒng).因此,Feynman[1]提出了量子模擬的思想,即通過構(gòu)建一個(gè)人工量子系統(tǒng)模擬量子多體系統(tǒng),將關(guān)于量子多體系統(tǒng)的復(fù)雜計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為控制人工量子系統(tǒng)演化,并測量演化結(jié)果的實(shí)驗(yàn)問題,從而實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜量子多體系統(tǒng)的間接研究.由于復(fù)雜凝聚態(tài)系統(tǒng)大都存在自旋-軌道耦合,初期量子模擬主要利用冷原子和光晶格系統(tǒng)[2,3].相比冷原子和光晶格系統(tǒng),超導(dǎo)量子電路作為全固態(tài)器件,在擴(kuò)展性、集成性、調(diào)控性上都具有更大優(yōu)勢[4],超導(dǎo)電路系統(tǒng)在模擬原子分子物理和量子光學(xué)方面也取得了巨大成功[5].但是超導(dǎo)量子電路在模擬凝聚態(tài)量子材料方面一直是一個(gè)尚待開發(fā)的領(lǐng)域.隨著對超導(dǎo)量子比特研究的不斷深入,人們已經(jīng)可以將退相干時(shí)間延長至100μs[6],同時(shí)對于超導(dǎo)量子電路的調(diào)控也日趨成熟.我們發(fā)現(xiàn)可以把凝聚態(tài)多體系統(tǒng)的準(zhǔn)動(dòng)量空間映射到調(diào)控超導(dǎo)量子比特的微波場參量空間,利用超導(dǎo)量子電路實(shí)現(xiàn)其哈密頓量,通過直接測量能譜即可得到?jīng)Q定系統(tǒng)性質(zhì)的能帶結(jié)構(gòu).利用超導(dǎo)量子電路的高度可控性,可以測量系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì),觀測系統(tǒng)的拓?fù)湎嘧?通過對系統(tǒng)的量子模擬,人們可以研究復(fù)雜凝聚態(tài)系統(tǒng)的新奇拓?fù)湫再|(zhì).

本文簡要介紹了量子模擬的基本概念、基本類型以及基于超導(dǎo)電路系統(tǒng)的量子模擬方案;介紹了利用超導(dǎo)電路系統(tǒng)對拓?fù)潴w系進(jìn)行量子模擬的基本原理和實(shí)驗(yàn)過程;利用超導(dǎo)電路系統(tǒng)模擬拓?fù)洳牧系腍amilton量,實(shí)現(xiàn)時(shí)間-空間反演對稱性保護(hù)的拓?fù)浒虢饘?、Hopf-link半金屬、Maxwell半金屬;最后對全文進(jìn)行了總結(jié),并展望利用超導(dǎo)電路系統(tǒng)研究拓?fù)洳牧系那熬?

2 量子模擬

自量子模擬的構(gòu)想提出以來,量子模擬一直應(yīng)用于可控人工量子系統(tǒng).量子模擬原理如圖1所示,通過在被模擬系統(tǒng)的哈密頓量和量子模擬器的哈密頓量之間建立映射關(guān)系,量子系統(tǒng)就可被量子模擬器模擬.根據(jù)量子模擬器的演化規(guī)律,可以得到被模擬系統(tǒng)的信息.因?yàn)槿斯ち孔酉到y(tǒng)的演化自然地服從量子力學(xué)規(guī)律,模擬量子系統(tǒng)時(shí)沒有經(jīng)典計(jì)算機(jī)那樣的限制,故量子模擬器可以處理復(fù)雜的量子多體問題.

圖1 量子模擬器圖解 量子系統(tǒng)經(jīng)過幺正變換U=exp(?i}Hsyst) 由態(tài)演化至態(tài) 相應(yīng)的量子模擬器經(jīng)過幺正變換U′=exp(?i}Hsimt)由態(tài)|ψ(0)?演化至態(tài) 通過設(shè)計(jì)量子模擬器,可以在被模擬系統(tǒng)的哈密頓量和量子模擬器的哈密頓量之間建立映射關(guān)系,因此量子模擬器的末態(tài)將提供被模擬系統(tǒng)的演化信息[6]Fig.1.Schematic of a quantum simulator.The quantum system evolves from the initial stateto the final statevia the unitary transformation U=exp(?i}Hsyst).The quantum simulator evolves from the initial stateto the final statevia U′=exp(?i}Hsimt).One can design the simulator such that there is a mapping between the simulator and the simulated quantum system.As a consequence,the final statewill provide information about the simulated system[6].

量子模擬按原理可分為兩種類型:數(shù)字式量子模擬(digital quantum simulation,DQS)和模擬式量子模擬(analog quantum simulation,AQS)[7].數(shù)字式量子模擬就是用量子位來編碼量子態(tài),利用門操作實(shí)現(xiàn)量子演化[8].因?yàn)槿我忡壅莼梢杂赏ㄓ眠壿嬮T的組合實(shí)現(xiàn),數(shù)字式量子模擬方法原則上是普適的,但是實(shí)際上模擬線路一般無法接近真實(shí)系統(tǒng)的物理本質(zhì),模擬線路與真實(shí)系統(tǒng)的接近程度決定了數(shù)字式量子模擬的精度.模擬式量子模擬要求量子模擬器和被模擬系統(tǒng)應(yīng)該有相同的動(dòng)力學(xué)特征(即相似的哈密頓量),因而利用量子模擬器的動(dòng)力學(xué)演化可以研究被模擬系統(tǒng)的物理特性[9].模擬系統(tǒng)和被模擬系統(tǒng)之間映射的準(zhǔn)確性是模擬式量子模擬的優(yōu)勢,但是模擬式量子模擬方案通用性比較差,只能夠模擬特定類型的量子系統(tǒng).

可以被用作量子模擬器的量子系統(tǒng)需要滿足Cirac-Zoller判據(jù)[10]:1)量子系統(tǒng),即量子模擬器是一個(gè)具有多自由度的量子系統(tǒng);2)初始化,即量子模擬器可以把系統(tǒng)制備在一個(gè)確定的態(tài)上,理想情況下,應(yīng)該是純態(tài);3)設(shè)計(jì),即可以設(shè)計(jì)一系列的與外場或者不同粒子之間的可控制的相互作用;4)探測,可以對量子模擬器進(jìn)行測量;5)驗(yàn)證,超導(dǎo)量子電路是一個(gè)多自由度的介觀量子系統(tǒng),因?yàn)榧s瑟夫森結(jié)的非線性特征,超導(dǎo)量子電路可以視為具有非均勻能級結(jié)構(gòu)(即可調(diào)控)的人工原子.超導(dǎo)量子電路工作于極低溫度(mK級)環(huán)境,因此只要等待時(shí)間足夠長(約幾倍能量弛豫時(shí)間),人工原子就能弛豫到基態(tài),實(shí)現(xiàn)初態(tài)制備.超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)可以通過使用微波諧振腔和超導(dǎo)量子比特(即人工原子)實(shí)現(xiàn)強(qiáng)耦合,此外超導(dǎo)量子比特不但可以實(shí)現(xiàn)單次的破壞性測量,也可以進(jìn)行量子非破壞性測量.因此,超導(dǎo)電路系統(tǒng)是很好的量子模擬器.

3 基于超導(dǎo)電路系統(tǒng)對拓?fù)潴w系的量子模擬

3.1 基本原理

一般而言,在立方晶格的基礎(chǔ)上,通過緊束縛近似構(gòu)造兩能帶模型可以描述某些具有拓?fù)湎嗟哪蹜B(tài)物質(zhì)系統(tǒng),這個(gè)模型的一個(gè)典型哈密頓量(自旋?1/2)在準(zhǔn)動(dòng)量空間(即K空間)中可以描述為

其中σi(i=1,2,3)為Pauli矩陣.

利用旋轉(zhuǎn)波近似,在以驅(qū)動(dòng)微波頻率旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中,與微波光子相互作用的二能級系統(tǒng)的哈密頓量可化為

其中?1,?2分別是沿x軸、y軸的Rabi頻率,?3=ω21?ωm是系統(tǒng)能級間隔(即躍遷頻率)與微波頻率之間的失諧.?1,?2由驅(qū)動(dòng)微波的振幅、相位決定,?3由驅(qū)動(dòng)微波的頻率決定.

通常情況下,K各分量之間對易并且和哈密頓量對易,我們可以把di(i=1,2,3)看作參數(shù)而不是算符.因此通過校準(zhǔn)參量?1,?2,?3,利用微波有源器件,設(shè)計(jì)微波振幅、頻率和相位,使?1=??d1(K),?2= ??d2(K),?3= ??d3(K)(? 為能量單位),可以將拓?fù)潴w系的準(zhǔn)動(dòng)量空間(K空間)精確映射至超導(dǎo)量子電路的微波場參數(shù)空間(?空間),即可實(shí)現(xiàn)H(K)的精確模擬.通過連續(xù)調(diào)整微波場參數(shù),測量不同參數(shù)下的量子比特能譜,可以直接得到晶格在第一布里淵區(qū)的能帶結(jié)構(gòu),在此基礎(chǔ)上可以進(jìn)一步研究其拓?fù)湫再|(zhì).該方法可以進(jìn)一步推廣至高自旋體系,對應(yīng)于三能級乃至多能級系統(tǒng).

3.2 實(shí)驗(yàn)方案

下面以超導(dǎo)傳輸子量子比特(以下簡稱Transmon)為例來說明基于超導(dǎo)量子電路的拓?fù)淠軒M方法.

超導(dǎo)電路系統(tǒng)中量子調(diào)控和量子讀取裝置如圖2所示[11].樣品放置于稀釋制冷機(jī)中,并冷卻至10 mK左右的基本溫度.3D Transmon系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)等價(jià)于人工原子與諧振腔耦合,由電路量子電動(dòng)力學(xué)描述[12].在3D腔上有兩個(gè)SMA接頭,分別用于微波輸入和輸出.調(diào)控和讀取qubit的微波脈沖在合適的衰減和濾波后,通過輸入接頭送入.用于驅(qū)動(dòng)量子比特的微波需要精確調(diào)節(jié)相位以達(dá)到操縱量子比特的目的,通常利用任意波形發(fā)生器(arbitrarywaveformgenerator,AWG)和雙臂混頻器(inphase and quadrature mixer,IQ mixer)聯(lián)合實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)微波的開關(guān)和相位調(diào)制.為了讀出qubit的狀態(tài),一般應(yīng)設(shè)計(jì)微波外差裝置[13].輸出微波由位于稀釋制冷機(jī)中4K平臺的高電子遷移率晶體管(high electron mobility transistor,HEMT)預(yù)放大,并且在室溫下由兩個(gè)低噪音放大器進(jìn)一步放大,然后利用外差裝置,把微波信號轉(zhuǎn)換為中頻信號,并被數(shù)據(jù)采集卡(data acquisition card,DAQ)采集.

考慮到實(shí)驗(yàn)的主要目標(biāo)是測量能譜,一般選擇高功率讀取(high power readout)方案[14],這樣不僅能夠有效增強(qiáng)數(shù)據(jù)的信噪比,而且可以簡化實(shí)驗(yàn)步驟和數(shù)據(jù)分析.所謂高功率讀取方法,簡單來說就是送入一個(gè)與腔模共振的微波,由于高功率下諧振腔的非線性性,微波的傳輸振幅將反映Transmon狀態(tài).

圖2 3D超導(dǎo)Transmon比特的調(diào)控與讀取實(shí)驗(yàn)裝置圖 紅色線框中的微波源聯(lián)合IQ mixer用于調(diào)控qubit,藍(lán)色線框中的微波源通過諧振腔的傳輸特性讀取qubit狀態(tài),綠色線框表示利用微波外差裝置收集數(shù)據(jù),室溫放大器用于增強(qiáng)信噪比Fig.2.Schematic of experimental setup for a 3D superconducting transmon qubit.The microwave source in red box combined with IQ mixer is used to manipulate qubit.Another microwave source in blue box is used to read out qubit state by measuring cavity transmission.Digital heterodyne is used for data acquisition.Transmission signal of cavity is mixed down to 50 MHz by arbitrary waveform generator and IQ mixer.Amplifiers are used to increase signal-to-noise ratio.

根據(jù)電路量子電動(dòng)力學(xué)理論,Transmon與諧振腔的耦合體系是非諧性多能級體系,在實(shí)驗(yàn)中,通常可以使用最低的三個(gè)能級|0,|1,|2,狀態(tài)|1,|2構(gòu)成自旋1/2的人工原子,與微波場的耦合可以用三個(gè)泡利矩陣σ1,σ2,σ3描述,從而構(gòu)造哈密頓量.|0態(tài)被選作為輔助能級,可以把系統(tǒng)初始化到該能級,用于探測該模擬系統(tǒng)的能譜.在能級|1,|2之間加入驅(qū)動(dòng)微波,兩個(gè)能級將與微波場耦合,忽略|0態(tài)影響,系統(tǒng)由哈密頓量(2)描述,本征能量為±}?,考慮|0態(tài)影響,兩個(gè)能級將與微波場耦合產(chǎn)生奧特勒-湯尼斯劈裂(Autler-Townes splitting)[15],從|0態(tài)到|1態(tài)的躍遷將變?yōu)閺膢0態(tài)到劈裂后的綴飾態(tài)的躍遷,此時(shí)在能譜上將觀測到相近的兩個(gè)共振峰.綴飾態(tài)的本征值大小為±}?/2,相應(yīng)的劈裂大小為}?.因此通過控制微波,將能夠測量某些拓?fù)洳牧系谝徊祭餃Y區(qū)的能帶結(jié)構(gòu).

拓?fù)洳牧系耐負(fù)湫再|(zhì)主要包括拓?fù)浔Ｗo(hù)和拓?fù)湎嘧?拓?fù)浔Ｗo(hù)主要依賴于哈密頓量的對稱性,在哈密頓量中引入破壞或保護(hù)對稱性的微擾,依上述方法測量其能帶結(jié)構(gòu),觀察能帶交叉點(diǎn)的變化可分析拓?fù)浔Ｗo(hù)性.拓?fù)湎嘧冇赏負(fù)洳蛔兞勘碚?在改變系統(tǒng)的參數(shù)過程中,拓?fù)洳蛔兞康耐蛔円馕吨負(fù)湎嘧兊陌l(fā)生,拓?fù)洳牧系耐負(fù)洳蛔兞恳话愫碗娮咏^熱的經(jīng)歷布里淵區(qū)所積累的Berry相位相關(guān).最常見的拓?fù)洳蛔兞渴荂hern數(shù),它等于基態(tài)電子的Berry曲率沿拓?fù)洳牧夏軒У牟祭餃Y區(qū)的曲面積分.表征拓?fù)洳蛔兞康臏y量方法主要有兩種,一種方法是利用絕熱方法測量Berry相位[16],另一種方法是利用動(dòng)力學(xué)方法測量Berry曲率[17],并直接計(jì)算拓?fù)洳蛔兞?

絕熱方法測量Berry相位的關(guān)鍵是消除動(dòng)力學(xué)相位,根據(jù)動(dòng)力學(xué)相位與演化路徑無關(guān),只依賴于瞬時(shí)本征能量對時(shí)間的累積,而幾何相位與演化路徑有關(guān),且依賴人工原子的狀態(tài)的特點(diǎn),可以利用自旋回波π脈沖消除動(dòng)力學(xué)相位.經(jīng)過自旋回波量子比特|0和|1態(tài)發(fā)生反轉(zhuǎn),動(dòng)力學(xué)相位將變成不具有觀測效應(yīng)的整體相位,幾何相位則變成具有觀測效應(yīng)的相對相位.為簡化實(shí)驗(yàn),一般將量子比特的初態(tài)制備在|0到|1的疊加態(tài),利用Ramsey干涉方法測量Berry相位,最后根據(jù)量子態(tài)層析的結(jié)果得到幾何相位[18].動(dòng)力學(xué)測量方法的原理與利用粒子在彎曲空間的運(yùn)動(dòng)軌跡推導(dǎo)空間曲率分布相似,以一定速率改變哈密頓量,即等效于在彎曲空間移動(dòng)一個(gè)人工原子,貝里曲率將導(dǎo)致量子態(tài)在Bloch球上的運(yùn)動(dòng)軌跡偏離預(yù)定演化路徑,根據(jù)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)可測定基態(tài)電子的Berry曲率,測定能帶各點(diǎn)的貝里曲率,通過曲面積分即可以計(jì)算出體系的拓?fù)洳蛔兞?由于動(dòng)力學(xué)方法僅要求體系準(zhǔn)絕熱演化,因此比絕熱方法更具普遍性.

4 自旋1/2系統(tǒng)的模擬

在實(shí)際拓?fù)洳牧现袑?shí)現(xiàn)能譜測量,并研究拓?fù)湎嘧兊刃再|(zhì)或合成理論預(yù)言的新型拓?fù)洳牧鲜掷щy.目前,量子模擬是研究拓?fù)洳牧系囊环N重要的研究方案,研究者已經(jīng)在多種可控量子系統(tǒng)中成功實(shí)現(xiàn)了對特定拓?fù)潴w系的模擬.清華大學(xué)段路明課題組在2017年和2018年分別以金剛石NV色心和冷原子系統(tǒng)為量子模擬器研究了Hopf絕緣體[19,20],他們通過模擬Hopf絕緣體的二能帶模型哈密頓量,發(fā)現(xiàn)了編碼在Hopf絕緣體自旋電子學(xué)中的鏈環(huán)或紐結(jié)結(jié)構(gòu),并分別基于離散化方案和time-of-flight成像技術(shù)進(jìn)行能帶基態(tài)的量子態(tài)層析測量,通過能帶基態(tài)計(jì)算出相應(yīng)的Berry曲率,得到描述該3D拓?fù)浣^緣體的拓?fù)洳蛔兞?首次實(shí)現(xiàn)了早已由理論預(yù)言但卻從未在實(shí)驗(yàn)上觀測到的這一類拓?fù)洳牧系南到y(tǒng)研究.

相比其他人工量子系統(tǒng),超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)的調(diào)控主要基于成熟的微波技術(shù),因此單個(gè)量子比特的可控性更強(qiáng),實(shí)驗(yàn)的測量精度也更高,同時(shí)超導(dǎo)量子比特的擴(kuò)展性較好,最有希望實(shí)現(xiàn)多比特耦合體系.通過近幾年的研究,我們課題組已經(jīng)發(fā)展出一套基于超導(dǎo)電路系統(tǒng)模擬拓?fù)潴w系的研究方法,以下主要介紹利用超導(dǎo)電路系統(tǒng)模擬拓?fù)浒虢饘俚墓ぷ?/p>

拓?fù)浒虢饘偈且活惾碌耐負(fù)潆娮討B(tài),其能帶結(jié)構(gòu)的導(dǎo)帶和價(jià)帶在動(dòng)量空間相交形成一系列能帶交叉點(diǎn),近年來已迅速成為量子材料領(lǐng)域的研究熱點(diǎn).根據(jù)能帶在費(fèi)米面附近的交叉點(diǎn)在晶格動(dòng)量空間的分布,拓?fù)浒虢饘僖话憧梢苑譃閃eyl半金屬、Dirac半金屬和節(jié)線半金屬以及其他一些非常規(guī)的拓?fù)浒虢饘?

4.1 時(shí)間-空間反演(P-T)對稱性保護(hù)的拓?fù)浒虢饘?/h3>

眾所周知,時(shí)間反演對稱性(T),空間反演對稱性(P),電荷共軛對稱性(C)是粒子物理學(xué)重要的三類分立對稱性,在凝聚態(tài)物質(zhì)體系中,P,T,C對能帶結(jié)構(gòu)的約束也普遍存在,將導(dǎo)致關(guān)于能帶結(jié)構(gòu)的拓?fù)浞诸惙椒╗21],在P,T,C的各種聯(lián)合對稱性中,PT聯(lián)合對稱性即時(shí)空反演對稱性可以表示為:xμ→?xμ,其中μ=0,1,2,3.

一個(gè)具有代表性的描述受PT對稱性保護(hù)的拓?fù)浒虢饘?簡稱PT半金屬)的哈密頓量(設(shè)為無量綱的)在準(zhǔn)動(dòng)量空間(即K空間)中可以寫為[22]:

其中,σi(i=2,3)為泡利矩陣,λ為可調(diào)參數(shù).

考慮哈密頓量的對稱性,空間反演算子和時(shí)間反演算子可以表示為P=σ3i和T=Ki,其中i是K空間反演算子,K為復(fù)共軛算子.顯然,該哈密頓量具有獨(dú)立的時(shí)間反演對稱性和空間反演對稱性.因此,該哈密頓量也具有PT聯(lián)合對稱性,在能帶理論中,PT對稱性可以用對易關(guān)系[A,H]=0表示,其中H是系統(tǒng)哈密頓量,A=σ3K為反幺正算子,滿足A2=I,根據(jù)群理論,可以預(yù)言此二維系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu)在能帶交叉點(diǎn)存在Z2拓?fù)潆姾?拓?fù)淞孔訑?shù)).當(dāng)?1<λ<1時(shí),上述模型描述一個(gè)二維的拓?fù)浞瞧接瓜到y(tǒng),有4個(gè)具有Z2拓?fù)潆姾傻哪軒Ы徊纥c(diǎn).值得注意的是,盡管該簡化模型具有獨(dú)立的P,T對稱性,能帶交叉點(diǎn)的拓?fù)浞€(wěn)定性僅僅要求PT聯(lián)合對稱性.

利用超導(dǎo)量子電路的參數(shù)空間和晶格Hamilton量動(dòng)量空間(K空間)的映射,通過微波場調(diào)控超導(dǎo)量子比特,得到哈密頓量(3).參數(shù)λ對PT半金屬的拓?fù)湫再|(zhì)起關(guān)鍵作用.為觀測能帶結(jié)構(gòu),不失一般性,可設(shè)λ=0,測量系統(tǒng)在第一布里淵區(qū)的完整能帶,如圖3所示.在實(shí)驗(yàn)中,對于第一布里淵區(qū),即(kx,ky)∈ [?π,π)×[?π,π),通過測量微波吸收共振峰,便可確定共振峰頻率作為kx,ky的函數(shù).PT半金屬的主要特點(diǎn)是反映能帶交叉的非平庸Z2類型Dirac點(diǎn),若觀測到Dirac錐結(jié)構(gòu),即表明實(shí)驗(yàn)已經(jīng)成功地模擬出PT半金屬能帶結(jié)構(gòu),如圖3所示,Dirac點(diǎn)的位置在(π,±π/2),(0,±π/2),和λ=0的理論計(jì)算結(jié)果一致.

超導(dǎo)電路系統(tǒng)可用于研究受PT對稱性拓?fù)浔Ｗo(hù)的非平庸Z2類型Dirac點(diǎn)的拓?fù)浞€(wěn)定性.為此在實(shí)驗(yàn)中引入微擾=ησ2(η=1/2?為常數(shù)),此時(shí)哈密頓量(3)中σ2項(xiàng)的系數(shù)為?2(kx)=?(sinkx+1/2),該微擾在破壞獨(dú)立的P,T對稱性的同時(shí),依然保持PT聯(lián)合對稱性.系統(tǒng)能譜結(jié)構(gòu)如圖4(a)所示,可以發(fā)現(xiàn),盡管能帶交叉點(diǎn)的位置和能帶圖案發(fā)生劇烈變化,能隙依然沒有打開.實(shí)驗(yàn)結(jié)果與拓?fù)淠軒Ю碚擃A(yù)言一致.另一方面,引入另一微擾=εσ1(ε～0.5?為常數(shù)),由于該微擾破壞了P對稱性,保持了T對稱性,因此在此微擾下,PT聯(lián)合對稱性遭到破壞,相應(yīng)的,PT對稱性的拓?fù)浔Ｗo(hù)消失.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4(b)所示,與理論預(yù)言一致,可以觀察到此時(shí)能隙打開,一個(gè)平庸的絕緣相出現(xiàn).

圖3 典型的PT半金屬能帶結(jié)構(gòu)圖[23] (a)通過逐漸調(diào)節(jié)驅(qū)動(dòng)微波的振幅、頻率、相位,逐點(diǎn)繪制出系統(tǒng)在動(dòng)量空間的三維能帶結(jié)構(gòu);(b)通過將第一布里淵區(qū)的能譜作為kx和ky的函數(shù)可以得到能隙量級,可以清楚地在(0,±π/2),(π,±π/2)處觀測到四個(gè)非平庸的Z2類型Dirac點(diǎn),與理論預(yù)言一致Fig.3.Measured energy spectrum of a typical space-time inversion invariant topological semimetal[23]:(a)Three dimensional plot of the band structure of spectroscopy measurement,by tuning the driving amplitude,frequency,and phase gradually,we image the band structure of the system in the momentum space point by point;(b)magnitude of energy gap obtained from direct measurements of the energy spectrum of the system as function of kxand kyin the first BZ,four nontrivial Z2-type Dirac points located inside the bright regions can be observed at(0,±π/2),(π,±π/2),in a full agreement with the theoretical prediction.

圖4 在兩種具有代表性的微擾作用下研究Dirac點(diǎn)的拓?fù)湫再|(zhì)[23] (a)當(dāng)引入破壞獨(dú)立的P,T對稱性,但保持PT聯(lián)合對稱性的微擾=ησ2后,Dirac點(diǎn)依然存在,雖然此時(shí)能帶交叉點(diǎn)的位置和能帶圖案發(fā)生劇烈變化,這表明Dirac點(diǎn)的拓?fù)湫再|(zhì)受PT聯(lián)合對稱性保護(hù),其中,上下兩圖位于ky=π/2平面,參數(shù)η分別為0和0.5,黃線和綠線分別表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論結(jié)果;(b)當(dāng)引入破壞PT聯(lián)合對稱的微擾=εσ1后能帶結(jié)構(gòu)的變化,此時(shí)能帶交叉點(diǎn)消失,能隙打開,出現(xiàn)平庸絕緣相,其中參數(shù)ε=0.5;(a),(b)中λ均取為0Fig.4.Symmetry-related topological features of the Dirac points for two different but representative kinds of perturbations.(a)When=ησ2is added with η=0.5 in unit of ?,which breaks both T and P but preserves the PT symmetry,Dirac-like points still exist,though the gapless point positions are shifted(marked by the green square)and the band pattern is distorted drastically,showing the robust of the topological nature protected by the PT symmetry.Top and bottom panels correspond respectively to the cases of η =0 and η =0.5 on the plane of ky=π/2.The bright yellow and dashed green lines denote the experimental data and theoretical calculations from Eq.(3)with being added,respectively.(b)Whenever the PT symmetry is broken by adding the term =εσ1 with a constant ε (=0.5 ?),a gap is fully opened.Here λ =0 for both(a)and(b).

圖5 通過改變參數(shù)λ研究從拓?fù)浒虢饘俚浇^緣體的拓?fù)湎嘧僛23] (a)λ分別對于0,0.5,1,1.5時(shí)kx≈0平面能帶結(jié)構(gòu),可以觀察到λ從到1再到大于1,Dirac點(diǎn)數(shù)目由4變?yōu)?在變?yōu)?,表明系統(tǒng)能隙逐漸打開,發(fā)生從拓?fù)浒虢饘俚浇^緣體的拓?fù)湎嘧?(b)第一布里淵區(qū)的最小能隙量級隨參數(shù)λ的變化,與理論預(yù)言一致Fig.5.Quantum phase transitions from a topological gapless semimetal to a gapped insulator as changing parameter λ[23].(a)Spectroscopy at kx ≈ 0 for various λ.From right to left λ are 0,0.5,1.0 and 1.5,respectively.It is seen that when λ is increased from 0 to 1,then larger than 1,the number of Dirac-like points decreases from 4,to 2,then to 0,where the gap gradually is opened,demonstrating that a topological PT invariant semimetal phase transits to a normal insulator phase.(b)magnitude of minimum energy gap in the first Brillouin zone as a function of λ,as predicted theoretically.

利用超導(dǎo)電路系統(tǒng)還可以考察拓?fù)潆姾傻腪2性質(zhì).對于一些具有代表性的λ值,能譜如圖5所示,可以觀察到Z2類型能帶交叉點(diǎn)合并直至消失的過程.根據(jù)拓?fù)淠軒Ю碚摰囊话阈栽砜芍?即使保持PT對稱性,兩個(gè)能帶交叉點(diǎn)νZ2=1合并成一個(gè)平庸拓?fù)潆姾傻哪軒Ы徊纥c(diǎn)νZ2=2≡0 mod 2,也將使能隙打開.如圖5(a)所示,實(shí)驗(yàn)中從到2連續(xù)增加變量λ.在kx=0平面上,當(dāng)λ=0時(shí),兩個(gè)能帶交叉點(diǎn)分別在ky=±π/2,當(dāng)λ平滑地增加,兩個(gè)能帶交叉點(diǎn)逐漸相互靠近(注意布里淵區(qū)具有周期性),然后,當(dāng)λ=1,在布里淵區(qū)邊界處兩個(gè)能帶交叉點(diǎn)合并為一個(gè)新的能帶交叉點(diǎn),根據(jù)拓?fù)淠軒Ю碚?這是一個(gè)拓?fù)淦接裹c(diǎn),當(dāng)λ>1時(shí),可以觀察到具有平庸拓?fù)潆姾傻哪軒Ы徊纥c(diǎn)打開,拓?fù)浒虢饘俎D(zhuǎn)變?yōu)槠接菇^緣體,這驗(yàn)證了理論預(yù)言,如圖5(b).

4.2 Hopf-link半金屬

除了具有能量節(jié)點(diǎn)的能帶結(jié)構(gòu),人們還理論預(yù)言了具有能量節(jié)線的拓?fù)淠軒ЫY(jié)構(gòu).這些節(jié)線還可以形成鏈狀結(jié)構(gòu),比如Hopf-link.一個(gè)典型的描述Hopf-link半金屬的哈密頓量(設(shè)為無量綱的)在準(zhǔn)動(dòng)量空間(即K空間)中可以描述為[24]:

其中σi(i=1,3)為泡利矩陣,χ為可調(diào)參數(shù).

由哈密頓量(4)可知,兩個(gè)曲面Sx:f1(K)=0和Sy:f2(K)=0在布里淵區(qū)內(nèi)相交形成兩條節(jié)線,并且兩條節(jié)線成雙螺旋結(jié)構(gòu),考慮到布里淵區(qū)的周期性,如圖1所示,雙螺旋結(jié)構(gòu)投影,即導(dǎo)帶和價(jià)帶接觸點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)Hopf鏈[24](如圖6(a)所示).

考慮哈密頓量(4)的對稱性,對于一個(gè)沒有自旋軌道耦合的系統(tǒng),時(shí)間反演算子作用于哈密頓量(4)得TH(K)T?1=H?(?K),空間反演算子作用于哈密頓量(4)得PH(K)P?1=H(?K),即獨(dú)立的時(shí)間反演對稱性和空間反演對稱性都是破缺的;而考慮PT聯(lián)合對稱性,得[H(K),PT]=0,即這個(gè)相也受到PT聯(lián)合對稱性的拓?fù)浔Ｗo(hù)[24].

圖6 實(shí)驗(yàn)方案[26] (a)曲面Sx和Sy在布里淵區(qū)內(nèi)相交形成與Hopf鏈拓?fù)涞葍r(jià)的兩條雙螺旋結(jié)構(gòu)節(jié)線;(b)實(shí)驗(yàn)上用于模擬Hopf-link半金屬有效哈密頓量的3D Transmon樣品;(c)Transmon的能級結(jié)構(gòu)圖解,最低的三個(gè)能級用于量子模擬Fig.6.(a)Nodal lines with a double-helix structure formed by the intersection of two surface Sx and Sy,it is topologically equivalent to a Hopf-link;(b)a superconducting transmon embedded in three-dimensional cavity are driven by designed microwaves,realizing the effective Hamiltonian to simulate Hopf-link semimetals;(c)the schematic energy structure of a transmon,the lowest three energy levels are used to do the simulation[26].

理論預(yù)言參數(shù)χ對拓?fù)浒虢饘俚碾p螺旋節(jié)線的形成起重要作用[27],因此首先可以利用超導(dǎo)電路系統(tǒng)測量隨著χ的變化,Hopf-link半金屬能帶結(jié)構(gòu)的變化.采用前面提到的實(shí)驗(yàn)方案,系統(tǒng)初始狀態(tài)設(shè)定處于|0態(tài),預(yù)先設(shè)置參數(shù)范圍為第一布里淵區(qū),即(kx,ky,kz)∈ [?π,π)×[?π,π)×[?π,π),逐漸改變kx,ky,kz的值,從共振峰能譜可得到半金屬在第一布里淵區(qū)的完整能帶.能帶結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)即能量零點(diǎn)能夠從能帶中直接得到.如圖7所示,不難發(fā)現(xiàn)第一布里淵區(qū)的節(jié)點(diǎn)可以形成一條節(jié)線.當(dāng)χ=?3時(shí),能夠觀測到雙螺旋結(jié)構(gòu),且節(jié)線位置與理論計(jì)算結(jié)果符合得很好,這表明該方案成功實(shí)現(xiàn)了Hopf-link半金屬的能帶模擬.隨著χ的增加,曲面Sy擴(kuò)張,導(dǎo)致雙螺旋結(jié)構(gòu)發(fā)生劇烈改變,在χ=0時(shí),Sy接觸布里淵區(qū)邊界,雙螺旋結(jié)構(gòu)畸變,在χ=2時(shí),Sy形成一個(gè)中心位于(π,π)的圓柱,曲面Sx,Sy的交集依然保持雙螺旋結(jié)構(gòu).

與PT半金屬情形相似,利用超導(dǎo)電路系統(tǒng)的可調(diào)控性也能夠探究Hopf-link半金屬的拓?fù)湎嘧兒屯負(fù)浞€(wěn)定性.首先可以引入一個(gè)附加項(xiàng)=λsinkyσ1來研究link-unlink拓?fù)湎嘧?其中以?為單位,λ為可調(diào)參數(shù),圖8(a)所示為λ依次為不同值時(shí)半金屬的節(jié)線結(jié)構(gòu),當(dāng)λ<1時(shí),兩條節(jié)線相互連接,逐漸增加至λ>1,兩條節(jié)線分離,形成兩個(gè)拓?fù)洳贿B接的孤立圓環(huán),對于λ=1,節(jié)線相交于一點(diǎn),可以認(rèn)為該點(diǎn)即為拓?fù)湎嘧兊呐R界點(diǎn).考慮到哈密頓量(4)與PT對易,Hopf-link半金屬應(yīng)當(dāng)受PT聯(lián)合對稱性保護(hù),為了驗(yàn)證這一點(diǎn),可在哈密頓量(4)中添加一項(xiàng)微擾=ησ3,其中以?為單位.此時(shí)哈密頓量(4)的P,T對稱性均被破壞,但是保持PT聯(lián)合對稱性,實(shí)驗(yàn)表明隨著η的增加,能帶結(jié)構(gòu)逐漸扭曲,并且位于布里淵區(qū)的節(jié)線位置逐漸變化.然而,節(jié)線依然形成雙螺旋結(jié)構(gòu),沒有打開能隙,如圖8(b),這支持Hopf-link結(jié)構(gòu)受PT聯(lián)合對稱性的拓?fù)浔Ｗo(hù)的理論.

圖7 Hopf-link半金屬在第一布里淵區(qū)的能帶結(jié)構(gòu)[26] (a)上圖表示在區(qū)間[?π,π]內(nèi)逐步變化kz得到的等能線,下圖表示綜合等能線得到Hopf-link半金屬的節(jié)線,為了清晰地繪制無限能帶結(jié)構(gòu),可以選定(kx,ky)測量范圍為[?π/2,π/2)×[?π/2,π/2);(b)從上到下參數(shù)χ分別等于?3,0,2時(shí)的節(jié)線Fig.7.(a)Measurement of the band structure of the Hopf-link semimetal in the first Brillouin zone.Top panel:contour plots of the energy gap with varying kzgradually in the range of[?π,π].Bottom panel:By collecting all these contour plots together,we obtain the nodal lines of the Hopf-link semimetal.To image the gapless band structure clearly,we set the range of(kx,ky)as[?π/2,π/2)×[?π/2,π/2).(b)Nodal lines obtained from the measured energy spectrum for various χ.From top to bottom:χ=?3,0,and 2,respectively[26].

圖8 兩種具有代表性的微擾作用下節(jié)線的拓?fù)湫再|(zhì)[26](a)引入微擾=λsinkyσ1后,Hopf-link半金屬的link-unlink相變,從左到右分別為參數(shù)λ=0.5,1.0,1.5時(shí)的節(jié)線位置,正如理論預(yù)言,λ=1為臨界點(diǎn),此時(shí)兩條節(jié)線僅相交一點(diǎn);(b)引入微擾=ησ3時(shí),Hopf-link半金屬的拓?fù)浞€(wěn)定性,從左到右分別為參數(shù)η=?0.5,0.5,1.5時(shí)的節(jié)線位置Fig.8.(a)Link-unlink transition of the Hopf-link semimetal after we added =λsinkyσ1to the Hamiltonian(4).From left to right:nodal lines with λ =0.5,1.0,and 1.5,respectively.As predicted,λ =1 is the critical point,where two nodal rings only touch at one point.(b)Stability of the Hopf-link against the perturbation of=ησ3.From left to right:nodal lines with η = ?0.5,0.5,and 1.5,respectively[26].

拓?fù)洳蛔兞渴且粋€(gè)與拓?fù)洮F(xiàn)象緊密相關(guān)的特征量.描述Hopf鏈拓?fù)湫再|(zhì)的拓?fù)涫拘詳?shù)為連環(huán)數(shù).理論上通過測量系統(tǒng)沿參數(shù)空間的封閉路徑絕熱演化積累的Berry相位可以得到連環(huán)數(shù)的信息[25].通過絕熱方法在超導(dǎo)電路中測量Berry相位是一種十分方便的方法[28,29].

如圖9(a)所示,對于具體的實(shí)驗(yàn),我們需要在布里淵區(qū)內(nèi)設(shè)計(jì)一條穿過Hopf鏈的封閉路徑以測量Berry相位,此時(shí)整個(gè)絕熱演化過程由兩部分構(gòu)成,由紫色虛線標(biāo)志的部分,穿過Hopf鏈,貢獻(xiàn)了Berry相位π,由灰色虛線標(biāo)志的部分,對Berry相位沒有貢獻(xiàn).在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)上,必須將動(dòng)量空間的回路映射到超導(dǎo)電路系統(tǒng)的參數(shù)空間.理論上,由紫色虛線標(biāo)志的回路與Bloch球面上經(jīng)線等價(jià),不失一般性,可以設(shè)計(jì)一條測地線以取代原始路徑,測地線選取{?x,?y,?z}={sinθcos?+Λ1,Λ2sin?,cosθcos?+Λ1}其中θ∈[0,π],?∈[0,2π]為球面坐標(biāo).通過調(diào)整參量Λ1和Λ2,即可在布里淵區(qū)構(gòu)造任何封閉路徑.這里我們利用Ramsey干涉技術(shù),測量絕熱演化后的Berry相位.通過調(diào)整參數(shù),可以移動(dòng)K空間封閉路徑的位置.如圖9(d)所示,在kz=0平面沿kx軸移動(dòng)紫色虛線的位置,原本環(huán)繞紅色節(jié)線的回路不再環(huán)繞任何節(jié)線,測得的幾何相位在kx=π/3突然由π變?yōu)?,這表明在這個(gè)臨界點(diǎn),參數(shù)空間的封閉路徑不再是測地線.同時(shí),通過在kx=0平面沿kz軸移動(dòng)回路,原本環(huán)繞紅色節(jié)線的回路開始環(huán)繞藍(lán)色節(jié)線,在kz=π/2時(shí)Berry相位突然由π躍變至?π.綜上,在第一布里淵區(qū)測量的Berry相位很好地描述了Hopf鏈的拓?fù)湫再|(zhì).

圖9 構(gòu)造閉合回路測量Berry相位[26] (a)在第一布里淵區(qū)內(nèi)沿一條封閉路徑(虛線)測量積累的Berry相位的實(shí)驗(yàn)方案;(b)量子比特在與(a)中準(zhǔn)動(dòng)量空間相對應(yīng)的參數(shù)空間中的演化路徑;(c)測量量子比特沿(b)中所示路徑演化而積累的Berry相位的時(shí)序方案;(d)Berry相位對演化路徑的依賴性,實(shí)驗(yàn)測量了三個(gè)典型的Berry相位值:π,?π和0;(e)Berry相位分別作為kx(上圖)和kz(下圖)的函數(shù)Fig.9.(a)Schematic of an example of closed path(dashed line)in the first Brillouin zone to accumulate Berry phase,from which the linking number can be characterized;(b)evolving path in parameter space of qubit mapped from momentum space in(a);(c)schematic of time profile to probe Berry phase accumulated from the evolution in(b);(d)dependance of the Berry phase carried on the loop of the closed path,there are three typical values:π,?π and 0;(e)berry phase measured as a function of kx(top panel)and kz(down panel),respectively[26].

5 自旋為1的系統(tǒng):Maxwell金屬

利用超導(dǎo)量子電路還可以模擬一些高自旋系統(tǒng).例如,最近新奇的費(fèi)米型元激發(fā)引起了研究者的廣泛興趣,理論預(yù)言,在一些三重或多重簡并點(diǎn)的能帶結(jié)構(gòu)中將出現(xiàn)不同于Dirac費(fèi)米子或Weyl費(fèi)米子的新型費(fèi)米子——整數(shù)贗自旋費(fèi)米子[30].

一個(gè)具有代表性的描述贗自旋-1自由費(fèi)米子的哈密頓量(設(shè)為無量綱的)在準(zhǔn)動(dòng)量空間(即K空間)中可以描述為[31]:

其中K=(kx,ky,kz)表示準(zhǔn)動(dòng)量,Λ為可控參量,Ri(i=1,2,3)為自旋-1矩陣.

對于上述模型的哈密頓量,選擇合適的Λ,在第一布里淵區(qū)存在三個(gè)能帶,其中能量為零的平帶(flat band)位于另外兩個(gè)能帶中間.在某些點(diǎn)三個(gè)能帶相互接觸,形成三重簡并點(diǎn).例如,當(dāng)|Λ|<1,能帶有兩個(gè)三重簡并點(diǎn)在M±=(0,0,±arccosΛ)處,在M±附近有效哈密頓量為H±(q)=q1S1+q2S2±αq3S3,其中,該方程與描述光子的動(dòng)量空間Maxwell方程相似,因此低能贗自旋-1元激發(fā)可由動(dòng)量空間Maxwell方程有效描述[31,32].在這個(gè)意義上,類似于贗自旋-1/2系統(tǒng)的Dirac點(diǎn)和Weyl點(diǎn),三重簡并點(diǎn)稱為Maxwell點(diǎn).

由上述哈密頓量描述的自旋-1系統(tǒng)存在由Λ決定的兩個(gè)不同的拓?fù)湎?當(dāng)|Λ|<1,系統(tǒng)能帶中具有一對Maxwell點(diǎn),即處于Maxwell金屬相,當(dāng)|Λ|>1,系統(tǒng)能隙打開,即處于拓?fù)淦接沟慕^緣相,在臨界點(diǎn)|Λ|=1,兩個(gè)Maxwell點(diǎn)合并,然后在能帶中心處消失,表明此時(shí)系統(tǒng)發(fā)生了拓?fù)湎嘧?相圖和典型的能帶結(jié)構(gòu)如圖10所示.

圖10 贗自旋-1元激發(fā)系統(tǒng)的相圖及拓?fù)渲庇^解釋[33] (a)贗自旋-1元激發(fā)系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)Λ的相圖,從左到右:當(dāng)|Λ|=0時(shí),系統(tǒng)處于Maxwell金屬相,此時(shí)能譜出現(xiàn)一對Maxwell點(diǎn);當(dāng)Λ=1,系統(tǒng)發(fā)生拓?fù)湎嘧?此時(shí)兩個(gè)Maxwell點(diǎn)合并:當(dāng)Λ=2,系統(tǒng)處于拓?fù)淦接沟慕^緣相,此時(shí)能隙打開,Maxwell點(diǎn)消失;(b)金屬相與絕緣相拓?fù)湫再|(zhì)差異的幾何直觀解釋,當(dāng)球面流形S沿z方向退化Λ距離,Berry流矢量在拓?fù)浞瞧接古c拓?fù)淦接瓜嗑哂斜举|(zhì)的不同,當(dāng)Λ=0(Λ>1),Berry流矢量完全(不完全)纏繞球面,二者分別給出Chern數(shù)C+=2(C+=0)Fig.10.Phase diagram and geometric illustration of the spin-1 Maxwell system[33].(a)Phase diagram of the Maxwell system with respect to the parameter Λ.From left to right:the energy spectra for the Maxwell metal phase with a pair of Maxwell points denoted by M±(Λ =0),the topological transition point with the merging of the two points(Λ =1),and the trivial insulator phase with band gaps(Λ =2);(b)geometric illustrations of the topological difference between the two distinct phases when the spherical manifold S moves from the degeneracy in the z direction by distance Λ.The Berry flux vectors are schematically presented by arrows,showing the different signature textures for the topological and trivial phases:the vectors fully(do not)wind around in the topological(trivial)case with Λ =0(Λ >1),giving the Chern number C+=2(C+=0).

也可以從拓?fù)洳蛔兞拷嵌确治鯩axwell金屬.根據(jù)微分幾何,描述Maxwell點(diǎn)M±的拓?fù)涫拘詳?shù)是Chern數(shù),Chern數(shù)可以用動(dòng)量空間中封閉流形S上的面積分表示:其中F±表示Berry曲率.因此,拓?fù)湎嘧兛梢杂砂霃綖?的球面流形沿z方向退化的距離Λ的運(yùn)動(dòng)表示.如圖10(b)所示當(dāng)|Λ|<1,系統(tǒng)處于具有非平庸拓?fù)潆姾傻腗axwell金屬相,Chern數(shù)C±=±2,當(dāng)|Λ|>1,系統(tǒng)處于具有平庸拓?fù)潆姾傻慕^緣相,Chern數(shù)C±=0.

利用超導(dǎo)量子電路加上微波驅(qū)動(dòng),可以對Maxwell金屬進(jìn)行精確模擬.與自旋1/2系統(tǒng)不同,由于哈密頓量H(K)=R1S1+R2S2+R3S3,因此需要利用一個(gè)三能級系統(tǒng)模擬哈密頓量.由于超導(dǎo)量子電路是一個(gè)多能級系統(tǒng),該實(shí)驗(yàn)需要選取能量最低的四個(gè)能態(tài),記為其中|0作為輔助能態(tài),與微波場耦合,構(gòu)建需要模擬的哈密頓量.不失一般性,為了方便,在模擬中可以設(shè)ky=0.先將系統(tǒng)初始化在|0態(tài),在給定kx和kz的驅(qū)動(dòng)微波下,系統(tǒng)的本征態(tài)為|0d和一個(gè)探測微波脈沖將系統(tǒng)從|0態(tài)抽運(yùn)到本征態(tài),通過測量微波吸收共振峰,即可得到能譜.改變kx和kz,可以得到不同能譜,將能譜作為kx和kz的函數(shù),即得到該拓?fù)潴w系在第一布里淵區(qū)的完整能帶結(jié)構(gòu),如圖11所示.與圖10的理論結(jié)果一致,贗自旋-1的Maxwell系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)依賴于Λ.如圖11(a)—(c)所示,通過實(shí)驗(yàn)可以測量具有代表性的Λ值的能譜.對于Λ=0,系統(tǒng)處于Maxwell金屬相,位于(0,±π/2)的一對Maxwell點(diǎn)在kx-kz平面被觀測到;當(dāng)Λ增加到1時(shí),兩個(gè)Maxwell點(diǎn)合并,表明發(fā)生了拓?fù)湎嘧?隨著Λ進(jìn)一步增加,Maxwell點(diǎn)在能帶中心消失,系統(tǒng)變?yōu)槠接菇^緣體.通過包含Maxwell點(diǎn)的橫截面kx=0的E-kz平面,可以更清晰地觀測到相變,如圖11(d)—(f)所示.能譜的共振峰可以直接得到本征能量E±,正如理論預(yù)言,當(dāng)Λ=1時(shí),色散關(guān)系從平帶的Maxwell點(diǎn)附近的線性關(guān)系變?yōu)槠椒疥P(guān)系.

圖11 實(shí)驗(yàn)所測能帶結(jié)構(gòu)[33] (a),(b),(c)表示參數(shù)Λ=0,1,2時(shí)系統(tǒng)在第一布里淵區(qū)的完整能帶結(jié)構(gòu);(d),(e),(f)表示參數(shù)Λ=0,1,2時(shí)系統(tǒng)在包含Maxwell點(diǎn)的橫截面kx≈0的E-kz平面的能帶結(jié)構(gòu);在Maxwell金屬相可以觀測到線性色散關(guān)系,理論計(jì)算結(jié)果用紅色虛線表示Fig.11.Measured Maxwell bands[33]:(a),(b),(c)are band structures in the first Brillouin zone for Λ=0,1,2,respectively;(d),(e),(f)show the corresponding cross sections of band structures containing Maxwell points in E-kz(kx≈0)plane of(a)to(c).A linear dispersion is observed in the Maxwell metal phase.The theoretical calculations are plotted with the red dashed lines.

將測量自旋-1/2系統(tǒng)的Berry曲率的動(dòng)力學(xué)方法推廣至自旋-1系統(tǒng)[34],可以測量Maxwell點(diǎn)的Chern數(shù).因?yàn)檩o助能級在這個(gè)測量中不再需要,因此只需選取超導(dǎo)Transmon中最低的三個(gè)能級,分別記為|1,|2,|3. 在參數(shù)空間球面流形上需要設(shè)計(jì)一條包圍Maxwell點(diǎn)M±的閉合回路.不失一般性,實(shí)驗(yàn)中可以選擇{?12,?13,?23}={sinθcos?,sinθsin?,cosθ+ Λ},其中θ∈ [0,π],? ∈[0,2π]為球面坐標(biāo),通過制備初始三能級態(tài)即S3的本征態(tài),使演化路徑起點(diǎn)位于北極點(diǎn).然后,傾斜角度θ使系統(tǒng)沿子午線?=0準(zhǔn)絕熱演化.最后,在某一時(shí)間tmeasure停止準(zhǔn)絕熱演化,并對此三能級系統(tǒng)實(shí)行層析.對任意tmeasure,我們可以通過測量?S2的值計(jì)算Berry曲率,當(dāng)Λ =0時(shí),實(shí)驗(yàn)測得對于Maxwell點(diǎn)M±,Chern數(shù)分別為C+=1.98±0.34,C?=?2.14±0.05.

圖12 測量Maxwell點(diǎn)的Chern數(shù)[33](a)表示測量Chern數(shù)的微波時(shí)序三態(tài)原子(qutrit)初始態(tài)位于(|2?+i|3?)驅(qū)動(dòng)微波使原子沿子午線做準(zhǔn)絕熱演化,經(jīng)過時(shí)間tmeasure后對末態(tài)做層析;(b)三個(gè)最低能級耦合微波用于構(gòu)建贗自旋-1系統(tǒng)的哈密頓量,設(shè)計(jì)微波時(shí)序使系統(tǒng)在參數(shù)空間的球面流形上沿子午線?=0演化;(c),(d)表示測量得到的作為θ和Λ的函數(shù)的Berry曲率振蕩圖案表示非絕熱響應(yīng);(e)表示測量得到的作為參數(shù)Λ的函數(shù)的Chern數(shù),當(dāng)|Λ|<1時(shí),|C±|≈2表明系統(tǒng)具有非平庸拓?fù)潆姾?即系統(tǒng)處于Maxwell金屬相;當(dāng)|Λ|>1時(shí),|C±|≈0,表明系統(tǒng)具有平庸拓?fù)潆姾?即系統(tǒng)處于絕緣相 √Fig.12.(a)Time profile for the measurement of Chern number.The qutrit state is initialized at(|2?+i|3?)/2 and then evolves quasi-adiabatically during a non-adiabatic ramp,which is followed by state tomography;(b)three lowest energy levels{|1?,|2?,|3?}coupled by pluses Rx,y,zare used to construct the spin-1 Hamiltonian,and the pulse sequence results in a parameter-space motion along the ?=0 meridian on thespherical manifold;(c)and(d)The measured and simulated(with the measured decoherence time of the transmon)Berry curvature as functions of θ and Λ.The oscillation pattern suggests a non-adiabatic response;(e)the measured(circles and diamonds)and simulated(solid line)Chern numbers as a function of Λ for the Maxwell points.For|Λ|<1,|C±|=2 indicates the Maxwell points in the topological Maxwell metal phase;for|Λ|>1,|C±|=0 indicates the system in the trivial insulator phase[33].

為了進(jìn)一步理解拓?fù)湎嘧?可以利用超導(dǎo)電路系統(tǒng)測量Maxwell點(diǎn)的作為θ和Λ的函數(shù)的Berry曲率.如圖12所示,在Λ =0時(shí),Chern數(shù)|C±|≈2,表明體系具有非平庸拓?fù)潆姾?即處于拓?fù)浞瞧接瓜唷狹axwell金屬相.通過沿R3軸移動(dòng)變化Λ,當(dāng)|Λ|<1時(shí),依然有|C±|≈2表明系統(tǒng)依然處于拓?fù)浞瞧接瓜?當(dāng)|Λ|>1時(shí),|C±|≈0,表明系統(tǒng)不具有非平庸拓?fù)潆姾?故處于平庸絕緣體相.因此拓?fù)湎嘧儼l(fā)生在|Λ|=1時(shí),此時(shí)Chern數(shù)在兩個(gè)分立值之間發(fā)生突變.值得注意的是,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示在臨界點(diǎn)Chern數(shù)的轉(zhuǎn)變不是突變式的,這主要是因?yàn)槌瑢?dǎo)量子電路存在有限的退相干時(shí)間.

利用超導(dǎo)三能級系統(tǒng)可以幫助我們研究具有非常規(guī)的拓?fù)淠軒ЫY(jié)構(gòu)凝聚態(tài)物質(zhì)——Maxwell金屬的拓?fù)湫再|(zhì).事實(shí)上,利用上述模型,還可以進(jìn)一步模擬贗自旋-1粒子的相對論粒子動(dòng)力學(xué).同時(shí),通過充分利用超導(dǎo)人工原子的更多能級,可以模擬具有更高自旋量子數(shù)元激發(fā)的拓?fù)潴w系的能帶.

6 總結(jié)與展望

本文主要介紹了利用單比特超導(dǎo)電路系統(tǒng)對拓?fù)洳牧夏軒ЫY(jié)構(gòu)的模擬,在此基礎(chǔ)上研究了拓?fù)潴w系的物理性質(zhì),如拓?fù)浔Ｗo(hù)、拓?fù)湎嘧?、拓?fù)洳蛔兞康?鑒于在實(shí)際材料中研究拓?fù)湫再|(zhì)的困難,上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明基于超導(dǎo)電路系統(tǒng)的量子模擬器作為一個(gè)強(qiáng)大的工具有助于對拓?fù)潴w系更深入的研究,為研究拓?fù)潴w系的物理性質(zhì)提供了一種獨(dú)特的思路.當(dāng)然,耦合多比特系統(tǒng)是目前研究的重要方向,它可以在模擬更復(fù)雜的拓?fù)潴w系方面發(fā)揮重要作用.比如UCSB的研究團(tuán)隊(duì)利用兩比特超導(dǎo)電路系統(tǒng)成功地模擬出描述拓?fù)湎到y(tǒng)的重要模型——Haldane模型[35].但是由于多比特體系難以實(shí)現(xiàn)精確調(diào)控,目前國際上利用超導(dǎo)電路系統(tǒng)進(jìn)行拓?fù)淞孔幽M主要仍是基于少數(shù)量子比特體系實(shí)現(xiàn)的.但利用多比特模擬更加復(fù)雜的甚至具有相互作用的凝聚態(tài)系統(tǒng)仍然是以后發(fā)展的重要方向.可以預(yù)見,隨著模擬方案的優(yōu)化和調(diào)控技術(shù)手段的提高,利用多比特體系研究拓?fù)洳牧系膶?shí)驗(yàn)方法也將日趨成熟,拓?fù)淞孔幽M這個(gè)方向?qū)粩喟l(fā)展.