孫 琳，徐澤林

（東華大學(xué) 人文學(xué)院，上海 200050）

日本慶長(zhǎng)八年（1603）德川家康（1542—1616）在江戶（今東京）開設(shè)幕府建立“幕藩體制”，至慶應(yīng)三年（1867）大政奉還天皇，歷時(shí)264年，被稱作江戶時(shí)代。江戶時(shí)代和算發(fā)達(dá)，其中以代數(shù)為中心的度量幾何是最為突出的成就之一，尤其是幾何圖形的計(jì)算，其中就包括勾股算術(shù)的內(nèi)容[1]。

1 中國(guó)傳統(tǒng)勾股問題在日本的傳播

1.1 中國(guó)傳統(tǒng)勾股問題的源流與發(fā)展

勾股問題最初見于公元前1世紀(jì)左右的《周髀算經(jīng)》，書中記載陳子答榮方曰：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日?！盵2]即設(shè)邪至日為弦記為c，日高為股記為b，日下為勾記為a，則c= a2+b2。三國(guó)時(shí)趙爽以“弦圖”、劉徽用“圖驗(yàn)法”分別對(duì)勾股定理進(jìn)行證明。而勾股算術(shù)知識(shí)詳細(xì)記載于公元1世紀(jì)的《九章算術(shù)》，其主要內(nèi)容包括：（1）勾股定理及其證明；（2）勾股整數(shù)（即滿足不定方程x2+y2=z2的一組正整數(shù)解）；（3）勾股容方、容圓術(shù)；（4）相似勾股形與勾股測(cè)量術(shù)；（5）解勾股形。

《九章算術(shù)》中給出了求勾股整數(shù)的一般公式，郭書春《〈九章算術(shù)〉中的整數(shù)勾股形研究》[3]一文剖析了《九章算術(shù)》中的整數(shù)勾股形理論。在《九章算術(shù)》之后，整數(shù)勾股形理論未得到很好的繼承與發(fā)展，一直到了清代，中算家們才開始討論整數(shù)勾股形的性質(zhì)和構(gòu)造方法。《九章算術(shù)》的勾股相容問題包括勾股容方與勾股容圓。金元時(shí)期李冶（1192—1279）在《測(cè)圓海鏡》中通過“圓城圖式”（洞淵九容）豐富了容圓體系?！毒耪滤阈g(shù)》的勾股測(cè)望問題主要是用來解決實(shí)際問題，如測(cè)高望遠(yuǎn)，其數(shù)學(xué)原理是“相似直角三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”，也就是劉徽所概括的：“相與之勢(shì)不失本率”，它是中國(guó)古代測(cè)量學(xué)的基礎(chǔ)，后為劉徽的《海島算經(jīng)》與秦九韶的《數(shù)書九章》所發(fā)展。

中國(guó)古代勾股算術(shù)求解中，通常根據(jù)直角三角形三邊中的任兩邊或五和、五較等數(shù)量關(guān)系，求解未知勾或股或弦。明代數(shù)學(xué)著作普遍涉及勾股算術(shù)，但沒有增長(zhǎng)新的知識(shí)。到了清代，在西方幾何知識(shí)的刺激和影響下，勾股算術(shù)研究成果才豐富起來，此時(shí)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的勾股算術(shù)知識(shí)體系已基本完備，其特點(diǎn)集中表現(xiàn)為：（1）與實(shí)際應(yīng)用密切相關(guān)；（2）遵循“數(shù)形結(jié)合”原理；（3）有其獨(dú)特的理論體系與發(fā)展方向，每一類問題都有其“術(shù)”，這與我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以“算”為核心理念相契合[4]。

1.2 傳播至日本的中國(guó)傳統(tǒng)勾股算術(shù)

在17世紀(jì)以前，中算傳統(tǒng)數(shù)學(xué)兩次大規(guī)模傳入日本。第一次是7世紀(jì)中葉至10世紀(jì)，中算書籍初入日本，主要是算經(jīng)十書[5]。再次傳入日本則在16、17世紀(jì)，這一時(shí)期傳入日本的是宋元明時(shí)期的數(shù)學(xué)。中算書籍主要通過海上貿(mào)易、走私以及日本侵占朝鮮傳入日本，其中對(duì)日本影響最大的有《楊輝算法》《算學(xué)啟蒙》《算法統(tǒng)宗》[6]。和算家們的研究熱情與水平較之前有大幅增長(zhǎng)，他們最初吸收的是中國(guó)明代數(shù)學(xué)，后轉(zhuǎn)而攝取宋元數(shù)學(xué)?！稐钶x算法》對(duì)和算的影響主要表現(xiàn)在：（1）對(duì)關(guān)孝和（Seki Takakazu，1642—1708）的數(shù)學(xué)工作以及關(guān)流數(shù)學(xué)有很大影響；（2）一些和算著作如《童介抄》《增補(bǔ)算法闕疑抄》《大成算法》《算學(xué)啟蒙諺解大成》等直接或間接引入了《算學(xué)啟蒙》《楊輝算法》的內(nèi)容；（3）和算家們從中吸取了縱橫圖、翦管術(shù)、重差術(shù)、高次數(shù)值方程求解方法[7]。《楊輝算法》①《楊輝算法》是宋代數(shù)學(xué)家楊輝的三種數(shù)學(xué)著作合七卷的總稱，這三種著作是《乘除通變算寶》二卷、《田畝比類乘除捷法》三卷和《續(xù)古摘奇算法》二卷。中與勾股問題相關(guān)的內(nèi)容集中在《續(xù)古摘奇算法》下卷，“開方不盡法”章中熟練應(yīng)用勾股定理，在“竿不知高”題中，討論了勾股容直問題，并得到勾中容橫之積等于股中容直之積，楊輝還提出了“余勾”“余股”的概念。此外，“重差術(shù)”也由此書傳入日本，和算家將其發(fā)展為“町見術(shù)”。元代朱世杰（1249—1314）的《算學(xué)啟蒙》傳入日本后，于萬治元年（1658）出現(xiàn)刊刻本，江戶時(shí)期一些和算家們也對(duì)該書做了注解，如1672年星野實(shí)宣出版《新編算學(xué)啟蒙注解》，促使《算學(xué)啟蒙》在日本廣泛流傳。1690年建部賢弘（Takebe Katahiro，1664—1739）出版《算學(xué)啟蒙諺解大全》，解讀了其中所有的數(shù)學(xué)方法?！端銓W(xué)啟蒙》對(duì)日本影響最大的是天元術(shù)[8]，其中的勾股知識(shí)主要分布于卷下方程正負(fù)門和開方釋鎖門，前者討論以線性方程組求解的問題，有的問題以勾股問題作為題設(shè)，后者以天元術(shù)解勾股形。明代程大位（1533—1606）的《算法統(tǒng)宗》卷十二專論勾股，沿用《九章算術(shù)》的體例，取材多見于楊輝的《田畝比類乘除捷法》《續(xù)古摘奇算法》和明代顧應(yīng)祥的《勾股算術(shù)》《弧矢算術(shù)》。該書在日本被翻刻，和算家吉田宗恂（Yoshida So，1558—1610）最早研究此書。后吉田光由（Yoshida Mitsuyoshi，1597—1672）以其為藍(lán)本著成《塵劫記》。在以《算法統(tǒng)宗》為代表的明代中算書的影響下，與吉田光由同時(shí)期的和算家今村知商（Imamura Chishyo，1591—1668）著成《豎亥錄》。

17世紀(jì)受《算法統(tǒng)宗》影響的和算書有吉田光由《塵劫記》、島田貞繼（Shimada Jinji）《九數(shù)算法》、礒村吉德（Isomura Yositoku，？—1710）《算法闕疑抄》、湯淺得之（Yuasa Tokushi）《新編直指算法統(tǒng)宗》[9]；受《算學(xué)啟蒙》影響的和算書有村松茂清（Muramatsu Shigekyo，1608—1695）《算俎》、佐藤正興（Sato Masayoshi）《算法根源記》、澤口一之（Sawaguchi Ka-zuyuki）《古今算法記》、星野實(shí)宣《新編算學(xué)啟蒙注解》和《股勾弦鈔》、前田憲舒（Maeda Takanobu）《算法至源記》、西川勝基（Nishikawa Hiroki）《算法指南》、脇野光正（Wakino Mitsumasa）《算法一起》、建部賢弘《算學(xué)啟蒙諺解大成》等。這些和算書不同程度地涉及勾股內(nèi)容，到了17世紀(jì)下半葉更是出現(xiàn)了研究勾股問題的專著。

2 17世紀(jì)和算書中的勾股知識(shí)

2.1 早期和算書中零散的勾股算術(shù)

在江戶初期的和算書中，百川治兵衛(wèi)的《諸勘分物》（1622）是現(xiàn)存的第一部記載有勾股定理的文獻(xiàn)。今村知商的《豎亥錄》（1639）是一本漢文數(shù)學(xué)公式集，但勾股知識(shí)依舊局限于勾股定理的應(yīng)用，其另外一本書《因歸算歌》（1640）則開始出現(xiàn)勾股測(cè)望內(nèi)容。

1600—1650年間，勾股知識(shí)都比較零散，上述著作中都未專設(shè)勾股章，直至島田貞繼的《九數(shù)算法》（1653）出現(xiàn)?！毒艛?shù)算法》在內(nèi)容和形式上皆與中國(guó)古代的《算法統(tǒng)宗》相似，該書第九章為勾股章，共有9題，主要講述勾股弦互求之法。其中，前5題都是用勾股定理求解勾股形，后4題討論了測(cè)望問題。

初坂重春（Hatsusaka Shigeharu）的《圓方四卷記》（1657）中的勾股算術(shù)出現(xiàn)新面貌，該書除了討論勾股定理與測(cè)望問題之外，還融入了勾股容方、勾股容圓內(nèi)容。同年，柴村盛之（Shibamura Moriyuki）的《格致算書》問世，除了上述勾股知識(shí)外，該書中出現(xiàn)了勾股形中同時(shí)容方和容圓的組合。

村松茂清的《算俎》（1663），共五卷，各卷數(shù)學(xué)內(nèi)容的分類方式比較獨(dú)特，將同類問題按難易程度，由淺入深地編排，其中，卷三（7問）、卷四（29問）、卷五（18問）都各設(shè)有“勾股弦”章。該書中除了應(yīng)用勾股定理，也給出一些其他解勾股形的公式。在勾股相容問題中，除了勾股容方、勾股容圓外，還增加了勾股容橫與勾股容菱。容圓也不再局限于容一圓，還有容二圓、容三圓等情形。相較于之前的文獻(xiàn)，此書中勾股問題更為豐富。從《算俎》中可以看出和算勾股算術(shù)知識(shí)體系的雛形，其中勾股容菱問題也是中國(guó)傳統(tǒng)勾股算術(shù)中未曾討論過的。

1667年，多賀谷經(jīng)貞（Tadano Tani）的《方圓秘見集》問世，此書分上、中、下3卷，除了求解勾股形與勾股容圓問題之外，第一次討論了勾股容三角形的問題。隨后，岡島友明（Oka Tomoaki）的《算法明備》（1668）也討論了勾股容方、勾股容圓等問題，還給出勾股容兩個(gè)同心圓的問題。佐藤正興的《算法根源記》（1669）中幾何問題更多，包括大量的勾股算術(shù)問題，解題方法除了之前所用的“公式法”與“帶縱開方法”外，還新增了“天元術(shù)”。這是江戶初期天元術(shù)第一次被應(yīng)用到解勾股算術(shù)問題中來，可惜的是，天元術(shù)用法不完全正確。真正懂得天元術(shù)的精髓并將其用來解題的是澤口一之，其《古今算法記》（1671）基本上都是用天元術(shù)解幾何問題，包括一些勾股容圓、勾股容直（方）問題。其知識(shí)和方法來源于《算學(xué)啟蒙》，加之次年星野實(shí)宣著《新編算學(xué)啟蒙注解》（1672）的出版，推動(dòng)了宋元數(shù)學(xué)中天元術(shù)及包括勾股算術(shù)在內(nèi)的代數(shù)化幾何在和算中的普及。直接繼承《古今算法記》傳統(tǒng)的和算書有關(guān)孝和的《發(fā)微算法》（1674）和建部賢弘的《研幾算法》（1683）與《發(fā)微算法演段諺解》（1685），以及宮城清行（Miyahi Kiyoyuki）的《明元算法》（1689）與《和漢算法》（1695）、安藤吉治（Ando Yoshiharu）的《一極算法》（1689）、井關(guān)知辰（Iseki Tomotoshi）的《算法發(fā)揮》（1690）。在《發(fā)微算法》中，關(guān)孝和用其發(fā)明的演段術(shù)（改造天元術(shù)的文字代數(shù)方法）解答《古今算法記》后的15個(gè)遺題，建部賢弘的《發(fā)微算法演段諺解》對(duì)《發(fā)微算法》的求解給出詳細(xì)的演算過程。這兩書中勾股算術(shù)主要有勾股定理、勾股容方、勾股容圓。

井關(guān)知辰的《算法發(fā)揮》分上、中、下3卷，書中勾股問題分布在中卷和下卷，主要涉及求解勾股形、勾股容橫、勾股容方、勾股容圓。大體與《發(fā)微算法演段諺解》一樣，該書主要討論多元高次方程組消元中的終結(jié)式構(gòu)造與演算問題。宮城清行的《和漢算法》分九卷，其中勾股問題也非常豐富，包括求解勾股形、勾股容方、勾股容橫、勾股容圓。卷二設(shè)勾股章，卷三設(shè)勾股配積門，之后卷四、五、六是求解《算法根源記》的150道遺題①遺題繼承是這一時(shí)期形成的獨(dú)特的數(shù)學(xué)文化現(xiàn)象，與今天的數(shù)學(xué)問題征解形式相似，很多算書結(jié)尾都是作者提出的問題或是對(duì)前人著作中遺題的解答。。

此外，一些關(guān)于天元術(shù)的和算書也含有大量的勾股問題，以勾股圖形中的數(shù)量關(guān)系構(gòu)建代數(shù)方程，如佐藤茂春（Sato Shigeharu）的《算法天元指南》（1698），其中的勾股問題包括求解勾股形、勾股容方、勾股容橫、勾股容圓，作者在書中直接給出了若干公式，第九卷是以天元術(shù)來求解。藤井直好（Fujii Naoyoshi）的《算法志元錄》（1699）中的勾股問題，包括求解勾股形、勾股容方、勾股容橫、勾股容圓，亦用天元術(shù)求解。三宅賢?。∕iyake Yoshitaka）的《具應(yīng)算法》（1699）中卷一、卷二、卷三、卷五都涉及勾股問題，主要包括：求解勾股形、勾股容方、勾股容三角、勾股容橫和勾股容圓，其中還新出了勾股容空方、容空?qǐng)A、容空五邊形、容空卵形等立體圖形容切問題。

2.2 專題研究勾股算術(shù)問題的和算書出現(xiàn)

通過上述考察可知，17世紀(jì)的和算書中普遍載有勾股算術(shù)內(nèi)容，知識(shí)雖然比較零散，但內(nèi)容上比中國(guó)傳統(tǒng)勾股算術(shù)更豐富多樣。到了17世紀(jì)后期出現(xiàn)了勾股算術(shù)研究的專題著作，主要有1672年出版的《股勾弦抄》與1684年出版的《勾股弦適等集》。

《勾股弦抄》[10]是寬文十二年（1672）出版的一部專論勾股的著作。該書的作者是星野實(shí)宣（Hoshino Minori，1637—1699）。全書包括勾股弦問題150道、一次同余問題3道及幻方和目付式問題。其中討論的勾股知識(shí)分為4章，分別是有積門、有股或有勾門、有弦門、積不知三所不知門，全部都是求解勾股形問題。解題方法主要是列方程求解，從一元二次方程逐漸到高次數(shù)值方程再到二元一次方程組，與朱世杰的《算學(xué)啟蒙》下卷“方程正負(fù)門”相比，無論是題型還是求解方法，都有異曲同工之處。作者在列方程的過程中，以勾股弦作為題設(shè)，頻繁地改變已知條件，這一舉措使得該書中涉及的解勾股形的已知條件大為增加，比中國(guó)清代以前傳統(tǒng)和較術(shù)中所涉及的要豐富的多，這也是該書在勾股算術(shù)方面取得的主要成就。這些已知條件可分為有3大類143種情形，第一個(gè)已知條件分別是：勾股弦其中之一（76種），勾股積（42種），勾股弦及其和較間的四則運(yùn)算結(jié)果（24種）。另一個(gè)已知條件皆為勾股弦及其和較間的四則運(yùn)算結(jié)果。從分類上來看，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的解勾股形的已知條件主要是勾股弦及其和較間的關(guān)系，共78種情形，相比之下，星野實(shí)宣在《股勾弦鈔》中的討論更為復(fù)雜。該書涉及的勾股恒等式共計(jì)7個(gè)，分別是：

這7個(gè)恒等式包括在19世紀(jì)中國(guó)清代數(shù)學(xué)家項(xiàng)名達(dá)在《勾股六術(shù)》中總結(jié)的16個(gè)勾股恒等式中，項(xiàng)名達(dá)總結(jié)的這16個(gè)勾股恒等式被認(rèn)為是可以用以解決幾乎所有的解勾股形問題。星野實(shí)宣在17世紀(jì)已經(jīng)掌握并且應(yīng)用這些恒等式解題了。

此后，出現(xiàn)了如《算學(xué)淵底記》《算法至源記》《發(fā)微算法》《算法明解》《空一算學(xué)書》《研幾算法》等和算書。但是這一時(shí)期的和算在勾股部分并沒有顯著的發(fā)展。

1684年出版的《勾股弦適等集》[11]，是日本江戶初期第二本專論勾股算術(shù)的著作。該書的作者是和算中西流的創(chuàng)始人中西正好（Nakanishi Masayoshi，生卒年不詳）?！斑m等”意為“恒等式”，該著作立足于10個(gè)復(fù)雜的勾股形，作者貫徹?cái)?shù)形結(jié)合的思想，從幾何的角度給出了若干個(gè)勾股恒等式。中西正好用縮略字表示這10個(gè)復(fù)雜的勾股形中的26個(gè)幾何量，包括勾股弦的三邊、中勾、短弦、長(zhǎng)弦、短勾、短股、長(zhǎng)股、直勾、平股、內(nèi)接圓徑、內(nèi)接方邊長(zhǎng)等，這是中西流①中西正好是中西流這一和算流派的創(chuàng)始人。該流派僅有兩本算書刊刻，一本是中西正則（Nakanishi Masahiro）與松田信好（Matsuda Nobuyoshi）貞享元年（1684）合著的《算法續(xù)適等集》，另一本便是中西正好同年所著的《勾股弦適等集》三卷。特有的符號(hào)系統(tǒng)。書中給出的這些幾何量之間成立的關(guān)系式多達(dá)2 400余種。若設(shè)討論勾的公式有m個(gè)，討論股的公式有n個(gè)，那么討論勾股形面積的公式則應(yīng)有mn個(gè)。根據(jù)這種算法，這些恒等式的組合一共應(yīng)有534 041 900 843 544個(gè)。數(shù)量之多早已超出了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中勾股研究的范疇，可謂達(dá)到了一種極致。中西正好對(duì)勾股形內(nèi)垂線作出定義，將其命名為“中勾”，并給出了中勾的一般求法。作者在書中還給出了7組勾股數(shù)以及勾股形構(gòu)造之法。關(guān)于勾股相容問題，書中給出了4種勾股模型，分別是勾股容方、勾股容圓、勾股容直和勾股容菱，以及求解的一般公式。該書的出現(xiàn)使得勾股算術(shù)得到進(jìn)一步發(fā)展。

3 結(jié)論

中算書籍第一次傳入日本后，在一千年內(nèi)無一本出自日本人之手的和算著作問世，可見，對(duì)于當(dāng)時(shí)的日本人來說，這些中算書籍晦澀難懂。當(dāng)16、17世紀(jì)中算典籍再次傳入日本時(shí)，在政治穩(wěn)定、經(jīng)濟(jì)文化繁榮的條件下，和算家們隨之展開對(duì)于勾股問題的研究。

17世紀(jì)中葉島田貞繼的《九數(shù)算法》出版，“勾股”作為單獨(dú)一章，研究趨于專向?！端阗蕖返某霈F(xiàn)標(biāo)志著勾股問題研究體系已見雛形。1671年《古今算法記》問世，和算家們開始對(duì)勾股定理進(jìn)行證明，也真正理解天元術(shù)并將其作為解勾股形的一種方法。隨著天元術(shù)在日本的普及與發(fā)展，勾股算術(shù)知識(shí)受到重視，逐漸成為和算家感興趣的數(shù)學(xué)模型和知識(shí)領(lǐng)域。星野實(shí)宣的《股勾弦鈔》和中西正好的《勾股弦適等集》是江戶初期僅有的兩本研究勾股問題的專著。前者在沿襲《算學(xué)啟蒙》體例的基礎(chǔ)上，極大地豐富了求解勾股形的已知條件，種類多達(dá)143種。后者則是一本勾股恒等式集。為使后世學(xué)者不僅明勾股之理且知勾股之用，中西正好在書中建立了中西流特有的漢文縮略字符號(hào)體系，將10個(gè)圖形中的136個(gè)幾何量之間所成立的關(guān)系以恒等式的形式表現(xiàn)出來，所列公式多達(dá)2 400余種。由上可以看出和算勾股研究的特點(diǎn)是：（1）從偏實(shí)用型轉(zhuǎn)向研究型；（2）強(qiáng)化了宋元數(shù)學(xué)代數(shù)化幾何的傳統(tǒng)，通過圖形建立代數(shù)關(guān)系，再列方程求解；（3）對(duì)于勾股恒等式的研究更為深入。和算勾股雖源于中算，卻在17世紀(jì)受到重視，得到新的發(fā)展，逐步呈現(xiàn)出脫離中算獨(dú)步發(fā)展的趨勢(shì)，對(duì)18、19世紀(jì)和算勾股算術(shù)的發(fā)展也有一定的影響。