林毅 劉文波 沈騫

(南京航空航天大學自動化學院,南京 211106)

(2018年7月4日收到;2018年8月29日收到修改稿)

1 引 言

憶阻的概念是蔡少堂教授在1971年首次提出的[1],并由惠普實驗室在2008年首次證實了憶阻物理器件的可實現性[2].憶阻的發(fā)現是經典電路基礎理論的重大突破,促進了全新的電路設計與應用的發(fā)展.然而,憶阻器的物理工藝難度大、制造成本高等缺點,使得憶阻目前還不能作為分立電路元件應用于實際電路中.因此,研究能夠呈現出憶阻特性的、可物理實現的等效模擬電路是十分必要的.近年來,利用現有的電阻、電容、電感、運算放大器和模擬乘法器等分立元器件實現了理想的流控或壓控憶阻[3?7]、廣義的壓控憶阻[8?10]和非理想壓控憶阻[11?13]等多種類型的憶阻模擬器,為憶阻及其應用電路的建模分析和實驗測量作出了重要貢獻[14].

憶阻的非線性使得基于憶阻的電路很容易實現混沌振蕩,產生復雜的非線性現象.因此,通過將具有不同非線性特性的憶阻引入到現有的振蕩電路中,大量的憶阻應用電路被提出,并取得了豐碩的研究成果[11,15?24].其中,蔡氏電路的電路結構簡單,僅由三個動態(tài)元件、一個電阻和一個非線性電阻組成,卻能夠呈現出豐富的分岔和混沌行為,使得各種基于蔡氏電路的憶阻電路得到了廣泛的研究[11,15?21].采用數值仿真、電路仿真和硬件實驗測量等手段揭示了這些電路中存在的倍周期分岔[16]、自激振蕩[16,17]、隱藏振蕩[15,17]、瞬態(tài)混沌[18]和超混沌[19,20]等一些復雜的動力學行為.文獻[15]利用一個非理想壓控憶阻[11?13]替換蔡氏電路中的蔡氏二極管,提出了一種改進型壓控憶阻蔡氏電路.特別地,該電路有一個零平衡點和兩個非零平衡點,其中兩個非零平衡點的穩(wěn)定性會隨著電路參數的演化從不穩(wěn)定的鞍焦轉變成穩(wěn)定的結焦,致使隱藏吸引子[15,25?28]的產生.文獻[11]在文獻[15]的基礎上,進一步對改進型壓控憶阻蔡氏電路中的共存多吸引子[11,29?31]現象進行了研究.目前,憶阻電路中依賴于初始狀態(tài)的共存多吸引子和多穩(wěn)定性現象成為了一個重要的研究課題,得到了研究者的極大關注.

共存多吸引子意味著在固定的非線性動力學系統(tǒng)參數下,系統(tǒng)存在不同種類的吸引子,每一種都是從對應于不同吸引盆的初始狀態(tài)激發(fā)生成的,顯示出非線性動力學系統(tǒng)的雙穩(wěn)定性[32]或多穩(wěn)定性[33,34].雙穩(wěn)定性或多穩(wěn)定性是一種奇特的現象,在參數確定的非線性動力學系統(tǒng)中共存了超過一種漸近的穩(wěn)定狀態(tài)[33],體現了系統(tǒng)動力學行為對初始條件的敏感性.在實際應用中,一方面可作為信息工程應用的隨機信號源[31]或用于圖像去噪與對比度強化處理[35]等,為工程應用設計提供更多的靈活性;另一方面也會導致應用系統(tǒng)工作狀態(tài)的不穩(wěn)定,是一些實際非線性動力學系統(tǒng)在工程應用時所不期望產生的現象.然而,憶阻電路的多穩(wěn)定性研究尚處于起步階段,基礎理論和實際應用亟待完善與挖掘.因此進一步開展憶阻電路多穩(wěn)定性的現象揭示、吸引盆初始狀態(tài)定位及多穩(wěn)定狀態(tài)控制策略等研究顯得尤為重要.

已有文獻中電路系統(tǒng)的雙穩(wěn)定性或多穩(wěn)定性是在不穩(wěn)定平衡點和穩(wěn)定平衡點同時存在的情況下發(fā)生的,各個平衡點鄰域各自形成混沌、周期、準周期與穩(wěn)定點等互不連通的吸引盆[11,29,32].例如,文獻[11]報道的改進型壓控憶阻蔡氏電路有一個零平衡點和兩個對稱的非零平衡點,在全局可調歸一化參數區(qū)域內零平衡點總是不穩(wěn)定的鞍點,而兩個非零平衡點總是穩(wěn)定的結焦,從而導致多穩(wěn)定性現象的產生;文獻[32]報道的三階改進型憶阻文氏橋振蕩電路有一條線平衡點,線平衡點上分布了三種不穩(wěn)定區(qū)域和一種穩(wěn)定區(qū)域,致使雙穩(wěn)定性現象的產生.而受文獻[11,15]的啟發(fā),本文提出了一種新穎的五階壓控憶阻蔡氏混沌電路.令人驚奇的是,該電路在給定參數下有且僅有一個不穩(wěn)定的零平衡點,卻形成了混沌與周期的非對稱吸引子共存的吸引盆,使得雙穩(wěn)定性現象出現,這是以往文獻少有報道的.此外,雙穩(wěn)定性作為一類特殊的多穩(wěn)定性現象,目前除了文獻[32]報道了三階改進型憶阻文氏橋振蕩器中存在的混沌吸引子和點吸引子共存的雙穩(wěn)定性現象,鮮有文獻涉及憶阻電路的雙穩(wěn)定性研究.因此,深入研究本文電路的雙穩(wěn)定性特性具有很強的時效性,能夠有效促進憶阻電路基礎理論的發(fā)展和完善.本文首先利用理論分析、數值仿真、電路仿真和常規(guī)的動力學分析手段(包括分岔圖、相軌圖、吸引盆等)著重對電路中的雙穩(wěn)定性現象進行了研究.然后,介紹了電路的實現方案,并基于電路的數學模型,對電路的平衡點和穩(wěn)定性進行了分析研究,繼而探討了電路在不同初始狀態(tài)下表現出的動力學特性.最后,建立了歸一化系統(tǒng)模型,通過分岔圖、相軌圖和吸引盆揭示了五階壓控憶阻蔡氏系統(tǒng)產生的雙穩(wěn)定性現象,深入研究了系統(tǒng)依賴于初始條件的動力學行為,并對本文的研究內容進行了總結.

2 五階壓控憶阻蔡氏混沌電路

2.1 電路的實現方案

本文在經典三階蔡氏電路的耦合電阻支路中串聯(lián)一個電感,采用非理想有源壓控憶阻替換蔡氏電路中的蔡氏二極管構建了如圖1所示的五階壓控憶阻蔡氏混沌電路.

圖1 五階壓控憶阻蔡氏混沌電路Fig.1 .Fifth-order voltage-controlled memristor-based Chua’s chaotic circuit.

如圖2所示,一個非理想有源壓控憶阻W的等效實現電路是由一個緩沖器Ua、一個連接兩個電阻Ra,Rb和一個電容C0的積分器Ub、兩個乘法器Ma和Mb、一個連接三個電阻Rc,Rd和Re的電流反轉器Uc構成的.不同于理想有源磁控憶阻的等效實現電路[36],該非理想有源壓控憶阻等效實現電路在積分電容C0上并聯(lián)了一個電阻Rb,以避免積分器Ub的直流電壓積分漂移[15].

圖2 非理想有源壓控憶阻等效實現電路Fig.2 .Equivalent realization circuit of the non-ideal active voltage-controlled memristor.

非理想有源壓控憶阻的數學模型可描述為

式中W(v0)為憶導函數;v和i分別為非理想有源壓控憶阻等效實現電路輸入端的電壓和電流;v0為積分電容C0兩端的電壓;g為乘法器Ma與乘法器Mb的總比例因子.該數學模型符合一類廣義憶阻的定義式[37].

2.2 數學建模與穩(wěn)定性分析

圖1所示的五階壓控憶阻蔡氏混沌電路有電容C1、電容C2、電感L1、電感L2和非理想有源壓控憶阻W內部電容C0五個動態(tài)元件,分別對應于五個狀態(tài)變量v1,v2,i1,i2和v0.根據基爾霍夫電壓、電流定律以及電路元件的本構關系,可建立起相應的狀態(tài)方程組為

根據(2)式所描述的狀態(tài)方程組進行理論分析和數值仿真,進而研究五階壓控憶阻蔡氏混沌電路的非線性現象以及動力學特性.

為了求出(2)式狀態(tài)方程組的平衡點,令等式右邊為零,可得到如下關系式:

顯然,(2)式存在一個零平衡點S0=(0,0,0,0,0).由(6)式和(7)式可得

結合(8)式和(4)式,可得

根據(9)式可知,當Rc

式中η=1?Rc/R.當Rc>R時,(2)式有且僅有一個零平衡點,即S0=(0,0,0,0,0).此結果說明,五階壓控憶阻蔡氏混沌電路的平衡點個數和位置與電路參數Rc與R的比值有關,即隨著Rc/R的值從小于1逐漸增加到大于1,(2)式的平衡點由起初的一個零平衡點和兩個非零平衡點逐漸轉變?yōu)橛星覂H有一個零平衡點,且兩個非零平衡點的位置隨Rc/R的值的變化而不斷改變,完全不同于常規(guī)的憶阻混沌電路所具有的平衡點集或線平衡點[23,38,39].

(11)式的特征方程可表示為

表1 典型電路元件參數Table 1 .Typical circuit element parameters.

以表1所列的典型電路元件參數Rc=360 ?,R=100 ?為例,此時Rc>R,(2)式有且僅有一個零平衡點S0.由典型電路元件參數,可計算得到零平衡點S0處的五個特征根分別為

不難發(fā)現,零平衡點S0處有兩個正實根,兩個實部為正的共軛復根和一個復實根.說明零平衡點S0是不穩(wěn)定的,是可以產生混沌吸引子的.

2.3 依賴于初始狀態(tài)的動力學行為

本節(jié)固定表1所列的典型參數不變,僅改變電路的初始狀態(tài),對電路在不同初始狀態(tài)下的動力學行為進行研究.這里主要考慮一組微小初始狀態(tài)和一組特殊初始狀態(tài).需要說明的是,為了獲得這些不同的初始狀態(tài),必須用兩個特殊的硬件電路來配置,但難以硬件制作.而PSIM仿真軟件是一種電子電路仿真軟件包,專門用于電力電子和電動驅動仿真,適用于仿真任何電子電路.因此,本節(jié)將利用PSIM電路仿真來驗證數值仿真結果.

2.3.1 微小初始狀態(tài)下的數值仿真和PSIM電路仿真

圖3 微小初始狀態(tài)下數值仿真得到的混沌吸引子在四個相平面上的相軌圖 (a)在v1-v2平面上;(b)在v0-i2平面上;(c)在i1-v1平面上;(d)在i2-v2平面上Fig.3 .Numerical simulated phase portraits of chaotic attractors under tiny initial states in four phase planes:(a)In the v1-v2plane;(b)in the v0-i2plane;(c)in the i1-v1plane;(d)in the i2-v2plane.

首先考慮一組微小初始狀態(tài)v0(0)=0 V,v1(0)=0 V,v2(0)=0 V,i1(0)=0.0001 A,i2(0)=0 A.采用MATLAB龍格-庫塔ODE45算法對狀態(tài)方程組(2)式進行求解,可得到五階壓控憶阻蔡氏混沌電路在四個相平面上典型混沌吸引子的相軌圖如圖3所示.其中,圖3(a)—(d)分別為在v1-v2,v0-i2,i1-v1和i2-v2平面上的相軌圖.利用Wolf算法[40]計算(11)式所示的雅可比矩陣可得到典型混沌吸引子的五個不同的李雅普諾夫指數,其值分別為:LE1=1.8326×103,LE2=1.2945×102,LE3= ?1.2638×103,LE4= ?5.2280×103和LE5=?5.6328×104.該結果進一步說明了五階壓控憶阻蔡氏混沌電路在微小初始狀態(tài)下運行在混沌軌道上.

根據圖1所示的五階壓控憶阻蔡氏混沌電路,利用PSIM電路仿真軟件,設計出如圖4所示的具有微小初始狀態(tài)的電路仿真模型.其中電路參數和微小初始狀態(tài)與圖3數值仿真所使用的一致.PSIM仿真得到的混沌吸引子在四個相平面上的相軌圖如圖5所示.對比分析圖3所示的數值仿真結果和圖5所示的PSIM電路仿真結果,不難發(fā)現兩者是完全一致的,表明該五階壓控憶阻蔡氏混沌電路在微小初始狀態(tài)下確實是可以產生混沌吸引子的.

2.3.2 特殊初始狀態(tài)下的數值仿真和PSIM電路仿真

接下來考慮一組特殊初始狀態(tài)v0(0)=0 V,v1(0)= 0 V,v2(0)= 0 V,i1(0)= 0.5 A,i2(0)=0 A.在特殊初始狀態(tài)下,利用龍格-庫塔ODE45算法數值仿真得到的五階壓控憶阻蔡氏混沌電路的周期極限環(huán)相軌圖如圖6所示.其中,圖6(a)—(d)分別為在v1-v2,v0-i2,i1-v1和i2-v2平面上的相軌圖.同樣地,利用Wolf算法[40]計算(11)式所示的雅可比矩陣可得到周期極限環(huán)的五個李雅普諾夫指數分別為:LE1=?3.1502×102,LE2= ?5.3146×103,LE3= ?1.2301×104,LE4= ?1.7296×104和LE5= ?8.9881×104,進一步證明了五階壓控憶阻蔡氏混沌電路在特殊初始狀態(tài)下處于周期狀態(tài).

圖4 具有微小初始狀態(tài)的PSIM電路仿真模型Fig.4 .PSIM circuit simulated model with tiny initial states.

圖5 微小初始狀態(tài)下PSIM電路仿真得到的混沌吸引子在四個相平面上的相軌圖 (a)在v1-v2平面上;(b)在v0-i2平面上;(c)在i1-v1平面上;(d)在i2-v2平面上Fig.5 .PSIM circuit simulated phase portraits of chaotic attractors under tiny initial states in four phase planes:(a)In the v1-v2plane;(b)in the v0-i2plane;(c)in the i1-v1plane;(d)in the i2-v2plane.

圖6 特殊初始狀態(tài)下數值仿真得到的周期極限環(huán)在四個相平面上的相軌圖 (a)在v1-v2平面上;(b)在v0-i2平面上;(c)在i1-v1平面上;(d)在i2-v2平面上Fig.6 .Numerical simulated phase portraits of periodic limit cycles under special initial states in four phase planes:(a)In the v1-v2plane;(b)in the v0-i2plane;(c)in the i1-v1plane;(d)in the i2-v2plane.

圖7 特殊初始狀態(tài)下PSIM電路仿真得到的周期極限環(huán)在四個相平面上的相軌圖 (a)在v1-v2平面上;(b)在v0-i2平面上;(c)在i1-v1平面上;(d)在i2-v2平面上Fig.7 .PSIM circuit simulated phase portraits of periodic limit cycles under special initial states in four phase planes:(a)In the v1-v2plane;(b)in the v0-i2plane;(c)in the i1-v1plane;(d)in the i2-v2plane.

選用圖6數值仿真所使用的電路參數和特殊初始狀態(tài),利用圖4所示的PSIM電路仿真模型對其進行電路仿真.此時,PSIM仿真得到的周期極限環(huán)在四個相平面上的相軌圖如圖7所示.顯然,PSIM電路仿真結果很好地驗證了數值仿真結果.

對比分析上述不同初始狀態(tài)下的數值仿真結果和對應的PSIM電路仿真結果可知:五階壓控憶阻蔡氏混沌電路在固定電路元件參數不變僅改變電路初始狀態(tài)的情況下,明顯地可觀察到電路的運行軌跡因初始狀態(tài)的不同而出現了混沌、周期兩種不同的動力學行為,呈現出混沌吸引子和周期極限環(huán)共存的現象,說明該電路在相同的電路元件參數下能夠表現出兩種不同的穩(wěn)定狀態(tài).

3 歸一化五階壓控憶阻蔡氏系統(tǒng)與雙穩(wěn)定性

3.1 系統(tǒng)的平衡點與穩(wěn)定性

對五階壓控憶阻蔡氏混沌電路中各電路變量和電路參數進行無量綱處理,令

則狀態(tài)方程組(2)式可改寫為

(16)式描述了一個五階壓控憶阻蔡氏系統(tǒng),該系統(tǒng)有五個系統(tǒng)變量x,y,z,u,w和六個系統(tǒng)控制參數a,b,c,d,e,f.結合表1所列的典型電路元件參數,由(15)式可計算得到六個系統(tǒng)控制參數的典型值分別為a=0.22,b=0.55,c=0.28,d=4.68,e=0.022,f=0.018.進一步對該憶阻蔡氏系統(tǒng)依賴于初始條件的復雜動力學進行了研究.

顯然,(16)式有三個確定的平衡點,分別為一個零平衡點和兩個非零平衡點,可表示為

(16)式在平衡點ˉP=(ˉx,ˉy,ˉz,ˉu,ˉw)處的雅可比矩陣可表示為

(18)式的特征方程可表示為

(19)式所描述的五次多項式的系數可表示為

以(15)式計算得到的典型系統(tǒng)參數為例,此時c<1,系統(tǒng)(16)式有且僅有一個零平衡點.

對于零平衡點,有ˉx=ˉy=0,則(20)式可改寫為

由(21)式表示的五次多項式的系數不滿足勞斯-霍維茨準則[25],說明零平衡點是不穩(wěn)定的.進一步通過數值計算,得出零平衡點處的五個特征根分別為

此結果說明了零平衡點P0是一個不穩(wěn)定的鞍點.

3.2 依賴于初始條件的雙穩(wěn)定性

將系統(tǒng)參數設定為典型系統(tǒng)參數,并設置初始條件為(x0,y0,z0,u0,w0).固定x0=0,y0=0,z0=0,w0=0不變,選取初始條件u0為分岔參數,u0在[0,0.5]范圍內變化時,系統(tǒng)變量y的分岔圖如圖8所示,該分岔圖可以直觀地反映出系統(tǒng)在不同初始條件下的動力學行為.對五階壓控憶阻蔡氏系統(tǒng)依賴于初始條件的動力學行為的揭示,有利于深入地研究該系統(tǒng)的雙穩(wěn)定性特性.

觀察圖8所示的分岔圖,可以明顯地看出:五階壓控憶阻蔡氏系統(tǒng)在初始條件u0=0.22處產生了混沌危機行為.當初始條件u0在(0,0.22]范圍內變化時,五階壓控憶阻蔡氏系統(tǒng)處在不穩(wěn)定的混沌狀態(tài);當初始條件u0在[0.23,0.5]范圍內變化時,系統(tǒng)從一開始不穩(wěn)定的混沌狀態(tài)經過混沌危機直接進入穩(wěn)定的周期狀態(tài).說明該系統(tǒng)在不同的初始條件下或是混沌的,或是周期的,表現出與初始條件相關的混沌和周期兩種不同的動力學行為,呈現出混沌吸引子與周期極限環(huán)共存的現象,致使雙穩(wěn)定性現象的產生.對應的MATLAB數值仿真得到的在四個不同平面上的相軌圖如圖9所示.其中,紅色表示從初始條件(0,0,0,0.2,0)出發(fā)的混沌運行軌跡,對應的五個李雅普諾夫指數分別為LE1=0.0073,LE2=?2.8476×10?5,LE3= ?0.0024,LE4= ?0.0159和LE5=?0.1251.藍色曲線表示從初始條件(0,0,0,0.4,0)出發(fā)的周期運行軌跡,對應的五個李雅普諾夫指數分別為LE1=2.4883×10?5,LE2=?0.0117,LE3=?0.0279,LE4=?0.0279和LE5=?0.1640.圖9結果表明,該系統(tǒng)在相空間中有著相互獨立的混沌吸引盆和周期吸引盆,從相空間中不同初始位置出發(fā)的運行軌跡可能被吸引到這兩個不同的吸引盆中,導致兩種完全不同的穩(wěn)定狀態(tài).這與圖8展示的兩種動力學行為是一致的.

圖8 隨初始條件u0變化的系統(tǒng)變量y的分岔圖Fig.8 .Bifurcation diagram of system variable y with the variations of initial condition u0.

圖9 數值仿真得到的共存混沌吸引子與周期極限環(huán)在不同相平面上的相軌圖 (a)在x-z平面上;(b)在x-u平面上;(c)在y-w平面上;(d)在u-z平面上Fig.9 .Numerical simulated phase portraits of coexisting chaotic attractor and periodic limit cycle in dif f erent phase planes:(a)In the x-z plane;(b)in the x-u plane;(c)in the y-w plane;(d)in the u-z plane.

為了進一步闡述五階壓控憶阻蔡氏系統(tǒng)的雙穩(wěn)定性特性,固定初始條件x0=0,y0=0,z0=0不變,u0和w0分別在[0,3]范圍內變化,繪制出兩種具有不同初始條件的共存吸引子在w0-u0平面上的吸引盆如圖10所示.其中,紅色和藍色標注的區(qū)域分別代表不同類型的吸引子.紅色區(qū)域代表混沌吸引子,藍色區(qū)域代表周期極限環(huán).值得注意的是,為了對比驗證圖8分岔圖和圖9相軌圖揭示的雙穩(wěn)定性現象,此處僅對初始條件w0=0時圖10吸引盆所刻畫的動力學行為進行研究.不難發(fā)現,當w0=0時,u0在(0,0.22]范圍內處在吸引盆的紅色區(qū)域,此時系統(tǒng)表現為混沌狀態(tài);同樣地,u0在[0.23,0.5]范圍內對應吸引盆的藍色區(qū)域,系統(tǒng)表現為周期狀態(tài).該結果充分論證了圖8、圖9和圖10所表征的動力學行為是十分符合的,說明系統(tǒng)(16)式是一個對初始條件敏感的系統(tǒng),能夠呈現出混沌吸引子與周期極限環(huán)共存的雙穩(wěn)定性現象.

圖10 初始條件x0=0,y0=0,z0=0時在w0-u0平面上的吸引盆Fig.10 .Attraction basin in the w0-u0plane when initial conditions x0=0,y0=0,z0=0.

4 結 論

本文構建了一個新穎的五階壓控憶阻蔡氏混沌電路,建立了該憶阻電路的數學模型.通過對數學模型的理論分析,發(fā)現所構建的五階壓控憶阻蔡氏混沌電路的平衡點隨電路元件參數的演化是由一個零平衡點和兩個非零平衡點逐漸轉變?yōu)閮H有一個零平衡點,這與常規(guī)的憶阻混沌電路所具有的平衡點集或線平衡點不同.采用數值仿真研究了微小初始狀態(tài)和特殊初始狀態(tài)下的動力學行為,進而發(fā)現了雙穩(wěn)定性現象.搭建了PSIM電路仿真模型,利用PSIM電路仿真很好地證實了數值仿真結果,說明了理論分析的正確性.

為了更好地闡述復雜動力學特性,建立了無量綱系統(tǒng)方程,由此在典型系統(tǒng)參數下討論了系統(tǒng)的平衡點和穩(wěn)定性,并利用分岔圖、李雅普諾夫指數、相軌圖和吸引盆進一步深入研究了系統(tǒng)依賴于初始條件的動力學行為.研究結果表明該系統(tǒng)在給定系統(tǒng)參數下只有一個不穩(wěn)定的零平衡點,卻形成了混沌與周期的非對稱吸引子共存的吸引盆,導致混沌吸引子與周期極限環(huán)共存的現象產生,意味著系統(tǒng)具有雙穩(wěn)定性特性.此外,迄今為止,鮮有文獻涉及憶阻電路的雙穩(wěn)定性研究.而本文所構建的憶阻電路不僅能夠產生雙穩(wěn)定性現象,而且所產生的雙穩(wěn)定性現象還與文獻[32]中報道的不同,是共存的混沌吸引子與周期極限環(huán).這種特殊的發(fā)現具有重要的參考價值和理論指導意義,能夠有效地促進憶阻電路基礎理論的發(fā)展和完善,對推動憶阻電路在信息科學與計算機神經科學等領域的工程應用有著積極的影響.