呂盾,李潤澤,劉輝,趙萬華,盧秉恒

(西安交通大學機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室,710054,西安)

高速機床是航空結構件、航空發(fā)動機整體葉輪和航天發(fā)動機誘導輪等復雜零件加工所必須的關鍵裝備,是支撐航空航天及能源工程等高端裝備制造業(yè)的基礎。當前我國在復雜零件的高速加工中,加工效率和精度難以統(tǒng)一是急需解決的主要問題之一[1]。造成這一問題的主要原因在于,高速機床在加工復雜零件的過程中,各進給軸的跟隨誤差難以控制。為降低各軸跟隨誤差,往往只能降低進給速度加速度,犧牲了加工效率。因此,如何保證高速高加速下的高跟隨精度,是實現(xiàn)高速機床效率與精度統(tǒng)一的關鍵問題[2]。

跟隨誤差是伺服進給系統(tǒng)的實際位置與指令位置的差值。跟隨誤差的大小取決于伺服進給系統(tǒng)接收的位置指令(或速度指令)和伺服進給系統(tǒng)自身的伺服特性。在高速高加速進給下,各軸位置指令的高頻成分增多、頻寬增大,對伺服進給系統(tǒng)的伺服特性提出了更高的要求[3]。為了降低高速高加速進給過程中的跟隨誤差,必須改善伺服進給系統(tǒng)的幅頻和相頻特性[4]。

改善伺服進給系統(tǒng)的幅頻特性主要是提高位置環(huán)帶寬。伺服進給系統(tǒng)相當于一個低通濾波器,位置環(huán)帶寬限制使得位置指令中的高頻分量被衰減,輸出無法及時響應輸入,造成跟隨誤差。伺服進給系統(tǒng)位置環(huán)帶寬的高低受到機械系統(tǒng)動態(tài)特性的限制。對于典型的滾珠絲杠進給系統(tǒng),絲杠的一階和二階扭轉模態(tài)是限制位置環(huán)帶寬的主要原因[5],Kamalzadeh采用陷波濾波器補償絲杠的扭轉模態(tài),提高了位置環(huán)帶寬[6]。此外,文獻[7-11]采用滑模及H∞控制等先進控制器,改善了伺服帶寬。

改善伺服進給系統(tǒng)相頻特性的代表性成果是Tomizuka提出的零相差跟蹤控制器(ZPETC)[12],該控制器通過對系統(tǒng)模型的逆設計,實現(xiàn)了輸入輸出間的相位滯后為0、靜態(tài)增益為1。此后,該方法與摩擦力補償、反向間隙及輪廓誤差補償[13]、自適應控制[14-15]、干擾觀測器[16-17]及魯棒控制器[18]、指令整形與模糊邏輯[19]等方法結合,進一步增強了伺服進給系統(tǒng)抗參數(shù)變化的能力和抗干擾能力。

綜上所述,當前國際上對高速高加速進給下的跟隨誤差控制策略研究已形成一系列成果,先進的機床制造商在高速高加速進給下跟隨誤差控制上也達到了一定水平。但是,國內的相關理論研究和工業(yè)應用仍然存在非常大的差距,而這一差距也正是國產(chǎn)機床與先進進口機床在性能上差距的主要體現(xiàn)[20]。本文提出一種模態(tài)濾波器(MFC)與零相差跟蹤控制器綜合控制策略,分別改善伺服進給系統(tǒng)的幅頻和相頻特性,實現(xiàn)高速高加速進給下跟隨誤差的控制。

1 模態(tài)濾波器與零相差跟蹤控制器綜合控制策略

1.1 模態(tài)濾波器設計

首先建立滾珠絲杠進給系統(tǒng)機械部分的等效動力學模型。為表征滾珠絲杠的一階、二階扭轉模態(tài),將絲杠等效為四慣量彈簧阻尼系統(tǒng)。此外,將電機等效為轉子慣量,將聯(lián)軸器等效為扭轉彈簧,將滑塊、絲杠螺母副及絲杠軸承等效為彈簧阻尼單元,將工作臺等效為剛體。

電機轉子的動力學方程為

(1)

式中:J0為電機轉子的轉動慣量;Kθ0為聯(lián)軸器的扭轉剛度;T0為電機驅動力矩;θ0為電機轉子的角位移;θ1為絲杠等效慣量m1的角位移。

滾珠絲杠扭轉方向的動力學方程為

(2)

式中:Ji為絲杠各等效慣量的轉動慣量,i=1,2,3,4;θi為絲杠各等效慣量的角位移,i=1,2,3,4;Kθi為絲杠各等效慣量間的扭轉剛度,i=1,2,3;Kn為絲杠螺母副剛度;Bn為絲杠螺母副阻尼;di為工作臺質心相對于螺母軸心、外力方向、工作臺頂端以及滑塊中心的距離,i=1,2,3,4;p為絲杠導程;Bθi為絲杠各等效慣量間的等效阻尼,i=1,2,3。

滾珠絲杠軸向的動力學方程為

(3)

式中:mi為絲杠各等效慣量的質量,i=1,2,3,4;Ki為絲杠各等效慣量間的軸向剛度,i=1,2,3;K0、K4為絲杠軸承支承剛度;xi為絲杠各等效慣量的軸向位移,i=1,2,3,4;B0、B4為絲杠軸承阻尼。

工作臺的動力學方程為

(4)

式中:mt為工作臺質量;Jt為工作臺轉動慣量;Bt為導軌滑塊副阻尼;Kt為導軌滑塊副剛度;B5為滑塊沿進給方向運動時的摩擦阻尼;Ft為外力。

綜合式(1)～(4),滾珠絲杠進給系統(tǒng)的動力學方程可表達為

(5)

由式(5)可得滾珠絲杠進給系統(tǒng)電機處力入編碼器速度出的傳遞函數(shù)為

圖1 模態(tài)濾波器與零相差跟蹤控制器綜合控制策略仿真模型框圖

(6)

根據(jù)式(6),求解滾珠絲杠進給系統(tǒng)電機力入編碼器速度出的頻響曲線,可以獲得絲杠的一階和二階扭轉振動振型及固有頻率。

由式(6)求解一階和二階扭轉振動模態(tài)的零極點。設計模態(tài)濾波控制器H(z),使其零極點與一階和二階扭轉模態(tài)零極點相抵消,削弱這兩階扭轉模態(tài)對位置環(huán)帶寬的限制作用。

1.2 零相差跟蹤控制器設計

對加入模態(tài)濾波器后伺服進給系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進行辨識,以設計零相差跟蹤控制器。辨識模型采用離散傳遞函數(shù)形式

(7)

式中:u(k)和y(k)分別為進給系統(tǒng)的輸入和輸出;d為進給系統(tǒng)的延時周期數(shù)。

辨識得到的伺服進給系統(tǒng)離散傳遞函數(shù)為

(8)

式中:d表示系統(tǒng)延時,A(z-1)和B(z-1)為互質的離散多項式。

理論上,零相差跟蹤控制器Cr(z)應取伺服進給系統(tǒng)傳遞函數(shù)Gc(z)的逆。然而,當Gc(z)為非最小相位系統(tǒng)時,B(z-1)會存在不穩(wěn)定的零點,導致控制器不穩(wěn)定。因此,將B(z-1)分解為

B(z-1)=Ba(z-1)Bu(z-1)

(9)

式中:Ba(z-1)為單位圓內的系統(tǒng)零點組成的多項式;Bu(z-1)為單位圓外和單位圓上的系統(tǒng)零點組成的多項式。

零相差跟蹤控制器的傳遞函數(shù)為

(10)

加入零相差跟蹤控制器后,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)變化為

(11)

系統(tǒng)輸入變?yōu)閡(k+d+s),表示超前于需要輸入值u(k)d+s步,s為不穩(wěn)定零點個數(shù)。

1.3 綜合控制策略仿真模型

將設計得到的模態(tài)濾波器與零相差跟蹤控制器集成到PID控制框架中,建立綜合控制策略的仿真模型,模型為連續(xù)模型,指令周期為2 ms,如圖1所示,其中模態(tài)濾波器設置在速度環(huán)內,零相差跟蹤控制器設置在位置環(huán)之前。

2 實驗驗證

2.1 實驗裝置

實驗裝置為銑床X軸進給系統(tǒng),如圖2所示。該進給系統(tǒng)為滾珠絲杠傳動,電機為伺服交流電機,型號為SGMGH-30ACA,驅動器為SGDM30ADA。進給系統(tǒng)采用半閉環(huán)控制,增量式碼盤線數(shù)為2 500,速度環(huán)采樣時間為250 μs。數(shù)控系統(tǒng)為PA開放式數(shù)控系統(tǒng)。通過查閱機床相關手冊以及數(shù)控系統(tǒng)和驅動器內的參數(shù)設定,建模所需參數(shù)如表1所示。

圖2 實驗裝置照片

表1 機床相關參數(shù)

2.2 滾珠絲杠進給系統(tǒng)等效動力學模型實驗驗證

滾珠絲杠進給系統(tǒng)等效動力學模型的準確性是模態(tài)濾波器設計的基礎。為了驗證等效動力學模型,給電機施加快速正弦掃頻激勵力信號,得到電機力入編碼器速度出幅頻響應,如圖3所示。圖3的實驗結果表明,滾珠絲杠進給系統(tǒng)存在6階固有頻率,分別為20.2、49.8、70.8、121.6、378.9和941.4 Hz,其中378.9和941.4 Hz為一階和二階扭轉振動的固有頻率。理論計算得到的一階和二階扭轉振動的固有頻率分別為378和957.3 Hz。一階和二階扭轉振動固有頻率的實驗測試結果和理論計算結果基本一致,可以證明所建立等效動力學模型及模態(tài)濾波器設計的準確性。

圖3 滾珠絲杠進給系統(tǒng)電機力入編碼器速度出幅頻響應

2.3 伺服進給系統(tǒng)傳遞函數(shù)辨識及零相差跟蹤控制器求解

辨識信號采用10 m/min勻速直線運動和幅值為40 μm的M序列的疊加信號。將辨識信號作為插補指令輸入數(shù)控系統(tǒng),同時采集編碼器反饋的輸出位移信號,采樣周期為2 ms。根據(jù)1.2節(jié)所述方法,求解零相差跟蹤控制器傳遞函數(shù)。

2.4 伺服進給系統(tǒng)實際位置的理論仿真與實驗測試對比

令X軸做直線往返進給運動,指令位置u(k)的速度變化曲線如圖4所示。最大速度為10 m/min,加速度為2 m/s2,加減速策略為S型,行程為200 mm。

圖4 進給運動的速度曲線

圖5a為實際位置y(k)的理論仿真與實驗測試結果,從圖5b中可以看出,理論仿真與實驗測試結果非常吻合,二者之間的差異小于0.1 μm,證明了第1節(jié)所建立的綜合控制策略仿真模型的正確性。

(a)實驗測試與理論仿真結果對比

(b)實驗測試與理論仿真結果之差

3 控制效果及分析

在實驗驗證了所建立綜合控制策略仿真模型正確性的基礎上,利用該仿真模型進一步分析綜合控制策略對高速/高加速下跟隨誤差的控制效果。在仿真模型中輸入如圖4所示變化趨勢的速度指令,其速度分別為10、20、30和50 m/min,加速度分別為2、5和10 m/s2,行程為1 m。

圖6 4種控制策略下跟隨誤差隨時間的變化

圖6示出了速度為30 m/min、加速度為10 m/s2時,4種控制策略下,跟隨誤差在整個行程上(隨時間)的變化。從圖6中可知,在PID、PID+MFC、PID+ZPETC和PID+ZPETC+MFC這4種控制策略下,跟隨誤差最大值分別為16.486、7.907、0.150和0.016 mm。

由圖6可見,PID控制策略下的跟隨誤差非常大,這主要是由于伺服系統(tǒng)的相位滯后而引起的。采用PID+ZPETC控制策略,相對于PID及PID+MFC控制策略,顯著縮小了相位滯后,如圖7所示,因此跟隨誤差大幅降低。

圖7 伺服進給系統(tǒng)在不同控制策略下的相頻曲線

相位滯后的改善,顯著減小了跟隨誤差。此時,引起跟隨誤差的主要原因變?yōu)樗欧M給系統(tǒng)位置環(huán)帶寬的限制。由于加減速過程中指令的頻寬較勻速過程大,因此,PID+ZPETC控制策略下,跟隨誤差在加減速過程中比較突出。采用PID+ZPETC+MFC控制策略,在保證較小相位滯后的前提下,進一步提高了伺服系統(tǒng)的位置環(huán)帶寬,如圖8所示,因此,跟隨誤差進一步減小。

圖8 伺服進給系統(tǒng)在不同控制策略下的幅頻曲線

圖9所示為采用PID+ZPETC+MFC控制策略,不同進給速度加速度下的最大跟隨誤差,其中加速度為0表示勻速過程中的最大跟隨誤差。

從圖9中可以看出:在PID+ZPETC+MFC控制策略下加減速過程中的跟隨誤差大于勻速過程;在某一加速度下,跟隨誤差隨著速度的增大而增大;在某一速度下,跟隨誤差隨著加速度的增大而增大;當進給速度為50 m/min、加速度為10 m/s2時,跟隨誤差大幅增大到188.3 μm。造成跟隨誤差大幅增大的原因是,高速/高加速需要的電機扭矩超出了電機限制,如圖10所示。

圖9 PID+ZPETC+MFC控制策略在不同速度和加減速下的跟隨誤差

圖10 高速高加速需要的電機扭矩與電機實際輸出扭矩對比

4 結 論

(1)PID+ZPETC+MFC控制策略改善了伺服進給系統(tǒng)的相位滯后、提高了伺服進給系統(tǒng)的位置環(huán)帶寬,當進給速度為30 m/min、加速度為10 m/s2時,將跟隨誤差由PID控制策略下的16.486 mm大幅降低到15.5 μm。

(2)PID+ZPETC+MFC控制策略下,勻速過程中的跟隨誤差很小,加減速過程中的跟隨誤差相對突出,且跟隨誤差隨速度及加速度的增大略微增大。

(3)隨著速度和加速度的增大,所需要的電機扭矩也不斷增大,當需要的電機扭矩超過電機扭矩限制時,PID+ZPETC+MFC控制策略不能再對跟隨誤差實施有效控制。