曹 義

(鄭州科技學(xué)院 車輛與交通工程學(xué)院，鄭州 450064)

0 引言

自由曲面光學(xué)元件是一種復(fù)雜的、無對(duì)稱軸的異形曲面元件。近年來，隨著自由曲面光學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，有效消除了高性能照明系統(tǒng)中對(duì)光源方向的嚴(yán)格要求，提高光能利用率的同時(shí)為光學(xué)元件設(shè)計(jì)者提供了很大的設(shè)計(jì)自由度[1-2]。

自由曲面光學(xué)元件的制造方法需要具備3個(gè)或多個(gè)數(shù)量的自由度。目前常用的自由曲面光學(xué)元件制造方法主要有超精密制造技術(shù)，如多軸車削、飛切、銑削以及磨削等[3-6]。然而，光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)和應(yīng)用對(duì)自由曲面光學(xué)元件的精度具有較為嚴(yán)苛的要求，工件表面粗糙度需要達(dá)到納米甚至亞納米級(jí)[7]。因此，在自由曲面元件加工過程中需要更好地控制和消除主要誤差來源以滿足加工精度要求。近年來人工誤差修正方法一直應(yīng)用于金剛石車削加工中刀具誤差的修正，大多數(shù)精密金剛石車削機(jī)床現(xiàn)在也配備了機(jī)床誤差測(cè)量和校正系統(tǒng)，但這種方法并沒有應(yīng)用到多軸銑削加工中[8]。

為此，本文針對(duì)多軸超精密銑削加工自由曲面光學(xué)元件提出一種誤差修正方法，用于校正刀尖半徑誤差、徑向偏移誤差以及刀具不平整度誤差。校正方法對(duì)兩個(gè)球形工件進(jìn)行切削和測(cè)量：第一個(gè)工件用于建立刀具誤差模型，第二個(gè)工件模型用于驗(yàn)證。刀具誤差模型建立和正確性驗(yàn)證后，該模型可用于加工任意自由曲面過程中刀位設(shè)置、刀具和切削條件等設(shè)置。最后在MATLAB軟件中實(shí)現(xiàn)了誤差修正以及生成刀具軌跡，并通過自由曲面光學(xué)元件表面對(duì)該算法進(jìn)行驗(yàn)證。

1 銑削實(shí)驗(yàn)設(shè)置

加工實(shí)驗(yàn)在三軸聯(lián)動(dòng)超精密機(jī)床(Moore Nanotechnology 350 FG)上進(jìn)行，其中機(jī)床最大主軸轉(zhuǎn)速為10000 rpm，銑削軸轉(zhuǎn)速最大為60000 rpm。切削參數(shù)主要設(shè)置為切削深度ap、步距br、進(jìn)給速度vf、每齒進(jìn)給量fz以及主軸轉(zhuǎn)速n。具體實(shí)驗(yàn)裝置及參數(shù)設(shè)置如圖1所示。本文三軸銑削加工過程中，沿主軸方向引入固定傾角β減少金剛石銑刀刀尖點(diǎn)的磨損，具體可以分解為Z軸和進(jìn)給速度vf方向組成的平面上投影與Z軸之間的夾角βf，以及在垂直于上述平面上投影與Z軸之間的夾角βn。另外，金剛石銑刀公稱半徑為Rk。

圖1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)示意圖

1.1 切削條件設(shè)置

單槽單晶金剛石球頭銑刀具體參數(shù)設(shè)置為：公稱半徑1.5 mm，刀具前角γ為0。工件材料為黃銅C46400，銑削過程中主軸轉(zhuǎn)速n為44000 rpm。粗加工和細(xì)加工過程中Y向每齒進(jìn)給量fz分別設(shè)置為9μm和1.4μm，進(jìn)給速度vf設(shè)置為400 mm/min和60 mm/min，切削深度為300μm和50μm，步距br設(shè)置為100μm和20μm，固定傾角β為0。另外，進(jìn)給方向上fz以及br的選擇是為了生成較為理想的光學(xué)表面，不受誤差矯正方法的影響。

1.2 主要誤差源

自由曲面光學(xué)工件銑削加工孔徑為幾十毫米的光圈過程中，刀具誤差是加工過程中重復(fù)誤差的主要來源，對(duì)光學(xué)表面的影響較為重要。單槽單晶金剛石球頭銑刀刀具誤差主要包括：金剛石刀具相對(duì)于旋轉(zhuǎn)軸的徑向位移εr、刀尖半徑誤差ΔRk以及刀具前角θ的函數(shù)刀具不平整度εw(θ)。

2 加工路徑規(guī)劃與誤差修正方法

2.1 光學(xué)系統(tǒng)

通常情況下，自由曲面光學(xué)系統(tǒng)由極坐標(biāo)z=g(ρ,θ)或笛卡爾坐標(biāo)z=f(x,y)定義，可能含有非球面方程，泛函基礎(chǔ)和集，如澤尼克多項(xiàng)式或它們的組合。在光學(xué)設(shè)計(jì)所要求的水平上生成刀具路徑需要開發(fā)自定義的刀具路徑生成器，為此利用MATLAB軟件開發(fā)了自定義工具路徑生成器，該工具路徑生成器很容易集成到下文所描述的刀具誤差模型中。

2.2 刀具誤差模型

根據(jù)圖2建立包含主要誤差源的刀具誤差模型，該模型包括主要刀具誤差εr、ΔRk和εw(θ)。為了確定刀具誤差模型，設(shè)計(jì)合適的標(biāo)準(zhǔn)球面來匹配最終的應(yīng)用程序。其中，理想的自由曲面光學(xué)元件中球面半徑R和孔徑RCA邊緣須盡可能達(dá)到一致，如圖2所示。

(a)刀具誤差模型 (b)刀具誤差曲線圖2 刀具誤差模型

金剛石刀具相對(duì)于旋轉(zhuǎn)軸的徑向位移誤差εr對(duì)于光學(xué)球面的影響主要包括對(duì)于工件孔徑的壓縮(εr<0)和擴(kuò)散(εr>0)，最終導(dǎo)致工件表面成為非球面。被測(cè)工件與標(biāo)準(zhǔn)球面測(cè)量得到的誤差值e=zm-zs就等于測(cè)量表面的高度與標(biāo)準(zhǔn)球體之間的差值，誤差值e會(huì)因εr的正負(fù)呈現(xiàn)“M”或“W”形狀的特點(diǎn)，如圖3所示。其中，X軸零點(diǎn)處(r=0)相位εS表示測(cè)量數(shù)據(jù)zm；然后將改變后的數(shù)據(jù)與新的最佳擬合球面進(jìn)行匹配用來獲得新的zs值，直到誤差值e最小。這里使用峰谷值作為測(cè)量值使誤差值最小，表示為ep-v。最小峰谷值ep-v為最佳值εso對(duì)刀具誤差進(jìn)行估計(jì)εr=-εso。實(shí)際加工過程中，最小化誤差還包括刀具不平整度和其他非零誤差值。進(jìn)一步，當(dāng)該方法能夠定量表示工件基本直徑時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)球面半徑在最優(yōu)值εso處和原始半徑R之間的差值可以表示為ΔRk的估計(jì)值。

(a)徑向位置r(mm) (b)徑向位置r(mm)

(c)刀具角度θ(°) (d)徑向位移εs(μm)圖3 自由曲面具體誤差類型

圖3中最小峰谷值ep-v對(duì)應(yīng)的球形工件參數(shù)為：R=8mm,RCA=4mm(θmax=30°)。利用激光干涉儀無法直接測(cè)量得到ΔRk，但可以表示出值εr。如圖3a所示，工件徑向截面圖對(duì)誤差值e進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果表示球面的徑向?qū)ΨQ誤差表示為“W”形(εr>0)。干涉測(cè)量過程中實(shí)現(xiàn)上述最小化過程前，將誤差值e與原始半徑值8 mm相加。誤差εS演化過程如圖3b所示，圖3c為刀具角度為0時(shí)峰谷值ep-v的變化曲線。由圖可知，ep-v的最小值在εS=-2μm處小于400 nm。因此，球形工件的加工過程中刀具誤差為εr=2μm。

εs值取最優(yōu)時(shí)，工件徑向?qū)ΨQ誤差的殘余高度如圖3d所示，此時(shí)的工件殘余誤差主要由刀具不平整度造成的。通常情況下刀具的不平整度εw較小，且對(duì)刀具輪廓誤差的變化影響較為緩慢。因此，刀具與接觸點(diǎn)之間的角度θ大致等于工件表面的角位置，工件表面的不平整性就會(huì)映射到刀具表面不平整度εw(θ)。由此，刀具模型誤差εr,ΔRk和εw(θ)可用于加工任意自由曲面表面的刀具軌跡生成誤差修正過程中。

2.3 刀具修正路徑規(guī)劃

為簡(jiǎn)化刀具路徑，將刀具傾角β設(shè)置為0，并將自由曲面光學(xué)系統(tǒng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為笛卡爾坐標(biāo)系z(mì)=f(x,y)。修正刀具軌跡生成原理如圖4所示，理想曲面f(x,y)表示為灰色部分。刀具路徑表示為銑刀繞旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的半圓球，工件表面的理想切削路徑由紅色虛線表示。B點(diǎn)為理想刀具軌跡中刀具與工件表面的瞬時(shí)接觸點(diǎn)，表示為向量rs。C點(diǎn)為沿局部表面法線方向en上未修正刀具法向中心位置，對(duì)應(yīng)的刀具中心位置表示為rt。旋轉(zhuǎn)軸通過C點(diǎn)在刀具軌跡A點(diǎn)處與刀具軌跡相交。D點(diǎn)為過工件表面B點(diǎn)平行于X-Y平面在旋轉(zhuǎn)軸上的點(diǎn)。刀具軌跡與工件表面的接觸點(diǎn)可以分解為向量en和ea，如圖4b所示。其中，點(diǎn)C′和點(diǎn)D′分別位于直線BC和BD上。

圖4 修正刀具軌跡生成原理

沿切削路徑上的每個(gè)B點(diǎn)，其工件表面法向向量表示為：

(1)

式中，fx和fy分別表示光學(xué)系統(tǒng)中沿X軸和Y軸的偏導(dǎo)數(shù)，ex,ey和ez分別表示笛卡爾法向矢量。利用刀具誤差模型，刀具路徑中每個(gè)點(diǎn)的刀具中心位置修正可以表示為：

rt=rs+(Rk+ΔRk+εr(θ))en+εrea

(2)

刀具位置修正矢量rt包括兩部分：第一部分是刀具半徑修正之和Rk+ΔRk以及沿en方向上刀具不平整度εw(θ)。沿刀具路徑的圓截面圓弧從A點(diǎn)延伸到B點(diǎn)的刀具不平整度修正角度θ可以表示為：

(3)

第二部分為銑刀槽在D點(diǎn)沿旋轉(zhuǎn)軸的徑向偏離εr，其單位向量ea可以表示為：

(4)

當(dāng)?shù)毒邇A角β固定為0時(shí)，工件表面作為剛體以角度分量-βf和-βn沿軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，然后在刀具不傾斜的新坐標(biāo)系中生成刀具路徑。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

利用上述提出的方法對(duì)復(fù)雜自由曲面光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行誤差補(bǔ)償過程，其中非球面項(xiàng)可以表示為：

(5)

3.1 標(biāo)準(zhǔn)球面測(cè)試

為驗(yàn)證本文所提出的誤差補(bǔ)償方法，對(duì)黃銅工件進(jìn)行球面加工并檢測(cè)。其中具體加工參數(shù)設(shè)置分別為R=8mm,RCA=8mm。加工獲得的未經(jīng)誤差修正的球面測(cè)量結(jié)果如圖5a所示。由圖可知，未進(jìn)行誤差修正前工件表面εr和ΔRk分別為4.3μm和1.0μm，峰谷值ep-v最大值為839 nm。誤差修正后測(cè)量結(jié)果如圖5b所示，較為明顯的是峰谷值ep-v總體誤差降低到269 nm。

(a)ep-v=839nm (b)ep-v=269nm圖5 誤差修正結(jié)果

3.2 自由曲面測(cè)試結(jié)果

利用刀具誤差模型，將黃銅和脆性材料加工得到式(5)描述的一般光學(xué)表面自由曲面，黃銅材料試驗(yàn)自由曲面如圖6所示。圖7a為表面輪廓儀測(cè)量圖6b中沿虛線自由曲面截面表面圖。圖7b為測(cè)量數(shù)據(jù)zm與光學(xué)系統(tǒng)計(jì)算結(jié)果zp之間的誤差值e=zm-zp。其中，加工黃銅材料獲得的光學(xué)自由曲面峰谷誤差值和殘余誤差分別為132nm和84nm。圖7c為測(cè)量的全孔徑結(jié)果，圖7d對(duì)比了測(cè)量得到的峰谷誤差值與計(jì)算誤差值。此時(shí)，峰谷誤差和殘余誤差值分別達(dá)到了336nm和49nm，符合工業(yè)應(yīng)用領(lǐng)域的加工需求。

圖6 加工獲得的自由曲面光學(xué)表面

(a)Y向位置(mm) (b)Y向位置(mm)

(c)Y向位置(mm) (d)Y向位置(mm)圖7 自由曲面測(cè)試結(jié)果

4 結(jié)論

本文提出一種誤差修正方法，用于以毫米為單位的光學(xué)孔徑的誤差補(bǔ)償。通過標(biāo)準(zhǔn)球形工件對(duì)所建立的刀具誤差模型進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)而降低自由曲面光學(xué)元件加工誤差。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，自由曲面光學(xué)元件殘余誤差分別減少49 nm和84 nm；與測(cè)試球面相比，自由曲面峰谷誤差約為570 nm。為此，基于誤差補(bǔ)償方法提出的刀具誤差模型可進(jìn)一步擴(kuò)大其應(yīng)用范圍，減少自由曲面光學(xué)工件加工的重復(fù)誤差。