范連眾，孔凡哲

（1.東北師范大學(xué)教育學(xué)部；2.遼寧省大連市甘井子區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校）

盡管我國(guó)學(xué)者在研究美國(guó)教材方面的成果比較豐富，但由于教育體制、傳統(tǒng)、研究特長(zhǎng)等各方面的差異，在具體章節(jié)層面進(jìn)行微觀研究的還很少.

本研究以美國(guó)McGraw-Hill公司2008年出版的《Mathematics：Applications and Connections》（以下統(tǒng)稱“AC版教材”）中的“研究整數(shù)”一章為研究對(duì)象，就其編寫特點(diǎn)進(jìn)行詳細(xì)剖析，希望能為我國(guó)教材的編寫修訂提供參考借鑒.

一、教材的整體編排結(jié)構(gòu)

AC版教材共有三冊(cè)，供6～8年級(jí)的學(xué)生使用.第一冊(cè)共分十三章，以代數(shù)領(lǐng)域的內(nèi)容居多，但在每一章中，也會(huì)有與幾何和統(tǒng)計(jì)相聯(lián)系的內(nèi)容.“研究整數(shù)”是在第一冊(cè)中的第十一章，主要內(nèi)容屬于代數(shù)領(lǐng)域，還涉及到幾何變換領(lǐng)域的內(nèi)容.例如，在坐標(biāo)系中用有序數(shù)對(duì)表示點(diǎn)的位置，圖形的平移與軸對(duì)稱變換.

為了更清楚地了解第一冊(cè)教材的編排特點(diǎn)，現(xiàn)將各章的名稱和主要學(xué)習(xí)內(nèi)容羅列如表1所示.

第十一章“研究整數(shù)”共有十一個(gè)小節(jié)，每一小節(jié)都從實(shí)際問(wèn)題入手，具體名稱和學(xué)習(xí)內(nèi)容如表2所示.由表2可以清楚地看到在代數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，幾何知識(shí)與問(wèn)題解決的策略性知識(shí)，都有效地整合在一起.

表1：AC版教材整體編排結(jié)構(gòu)

續(xù)表

表2：第十一章各小節(jié)的內(nèi)容編排

二、教材的具體結(jié)構(gòu)分析

1.首當(dāng)其沖的章項(xiàng)目

在學(xué)習(xí)一章知識(shí)之前，教材首先給出章項(xiàng)目（Chapter Project），一般占據(jù)2頁(yè)篇幅，第1頁(yè)是為章項(xiàng)目配備的主題彩圖，以及本章將要學(xué)習(xí)的主要知識(shí)點(diǎn).第2頁(yè)是對(duì)章項(xiàng)目的介紹，之后是項(xiàng)目導(dǎo)引、操作要點(diǎn)，以及查閱資料的相關(guān)網(wǎng)站的網(wǎng)址，并將在未來(lái)學(xué)習(xí)中會(huì)遇到的與完成項(xiàng)目相關(guān)的頁(yè)碼都標(biāo)出來(lái)，便于學(xué)生整體把握.

“研究整數(shù)”這一章的章項(xiàng)目的主題是“公民”，配圖是美國(guó)國(guó)會(huì)大廈及議會(huì)會(huì)議的彩色圖片.具體題目是“有得有失”，并配有如下的敘述：在這個(gè)項(xiàng)目中，你將繪制一張地圖，這張圖能直觀地顯示美國(guó)每個(gè)州的眾議院的議員數(shù)是如何變化的.你還需要做一個(gè)折線圖，并寫一些關(guān)于這些變化的介紹.你將以海報(bào)或小冊(cè)子的形式展示你的地圖、折線圖和文字介紹.

項(xiàng)目導(dǎo)引如下：每個(gè)州眾議院代表的數(shù)量根據(jù)人口的變化而變化.根據(jù)1990年人口普查顯示，佛羅里達(dá)州增加了4個(gè)眾議院名額，而賓夕法尼亞減少了2名成員.研究最近一次的人口普查后，每個(gè)州的眾議員的數(shù)目是如何改變的.畫出并跟蹤能顯示每個(gè)州情況的地圖；把眾議院成員減少的所在州標(biāo)紅；把增添了眾議院成員的所在州標(biāo)藍(lán)；成員人數(shù)沒有變化的眾議院所在州保留白色.

操作要點(diǎn)如下：利用互聯(lián)網(wǎng)找出哪個(gè)州的眾議院人數(shù)增加了，哪個(gè)州的眾議院人數(shù)減少了；使用電子表格記錄你收集的數(shù)據(jù)；使用文字處理機(jī)，寫下你的關(guān)于變化的敘述.

工作過(guò)程如下：你可以使用在第十一章學(xué)到的知識(shí)來(lái)幫助你跟蹤記錄眾議院人數(shù)的變化.參考教材第433頁(yè)要求的地圖，在每個(gè)州寫出一個(gè)整數(shù)，代表眾議院的成員數(shù)目是如何變化的.為你所在的州和與其相鄰的州，分別寫一個(gè)整數(shù)，算出這些整數(shù)的總和.你所在的地區(qū)有沒有獲得或失去在眾議院的成員？對(duì)每一個(gè)眾議院成員人數(shù)有變化的州，在折線圖上標(biāo)注一個(gè)有正負(fù)的整數(shù).眾議院議員總?cè)藬?shù)的變化是什么？使用下面的清單，以確保你的海報(bào)或小冊(cè)子是完整的.（1）地圖清晰易讀；（2）折線圖正確；（3）討論眾議院變化的敘述包括：你所在的地區(qū)是否已經(jīng)獲得或失去了代表，代表的總?cè)藬?shù)是如何變化的.添加一些修飾，讓你的海報(bào)或小冊(cè)子更有吸引力.

2.實(shí)用細(xì)致的新知學(xué)習(xí)

介紹完章項(xiàng)目之后，就進(jìn)入到具體的小節(jié)學(xué)習(xí)之中.每一小節(jié)在標(biāo)題之后，首先給出了具體要學(xué)的知識(shí)點(diǎn)（What you will learn？），以及何時(shí)用到這些知識(shí)（When am I ever going to use this？），有的小節(jié)還給出關(guān)鍵提示（Word to the Wise）.在正文部分，教材首先呈現(xiàn)一個(gè)具體的實(shí)例，然后介紹要學(xué)習(xí)的概念和性質(zhì)，緊接著就是兩個(gè)具體的例題.根據(jù)知識(shí)內(nèi)容的特點(diǎn)，有的小節(jié)又接著安排與例題聯(lián)系緊密的兩道例題，有的小節(jié)則再安排應(yīng)用方面的兩道例題.

教材第十一章第一節(jié)的實(shí)例背景是：每年三月，都要舉行艾迪塔羅德狗拉雪橇比賽，賽程始于阿拉斯加州的安克雷奇市，止于諾姆市.在這一季節(jié)，安克雷奇市白天的平均最高氣溫是34℉，然而選手們和他們的狗將要面對(duì)的最后氣溫是零下30℉.這一溫度你可以寫成-30.

新知識(shí)介紹什么是整數(shù)、正整數(shù)、負(fù)整數(shù)，怎樣在數(shù)軸上表示整數(shù)，然后是四道例題.例1是在數(shù)軸上表示-5；例2是在數(shù)軸上表示+2.之后是與這兩道例題聯(lián)系密切的兩道例題，都是用一個(gè)整數(shù)表示地理位置；例3要求用整數(shù)表示死海低于海平面1 312英尺；例4要求用整數(shù)表示珠穆朗瑪峰高于海平面29 028英尺.

教材最后又介紹了相反數(shù)的概念，接著就是兩道例題，分別寫出+4和-3的相反數(shù).

3.目標(biāo)明確的練習(xí)題

AC版教材的知識(shí)鞏固部分分成理解檢查和練習(xí)兩個(gè)部分.理解檢查又分為數(shù)學(xué)交流、指導(dǎo)練習(xí)和附錄參考答案；練習(xí)則分為操練、應(yīng)用和解決問(wèn)題，以及綜合練習(xí).習(xí)題中如果有背景，則將背景類型也都一一標(biāo)出.

第一節(jié)的“數(shù)學(xué)交流”部分有三道題，第1題要求在數(shù)軸上明確-1和+2；第2題是先在數(shù)軸上表示6和它的相反數(shù)，然后再解釋為什么這兩個(gè)數(shù)是相反的；第3題是寫出一個(gè)可以用正整數(shù)或負(fù)整數(shù)表示的實(shí)際例子，并解釋意義.指導(dǎo)練習(xí)則與例題相對(duì)應(yīng)，第4～6題與例1、例2相類似，畫出數(shù)軸并表示+9，-7和3；第7～8題與例3、例4類似；第9～11題則與例5、例6相類似.最后的拓展知識(shí)有兩道題，第12題要求描述-10的相反數(shù)，第13題則介紹超導(dǎo)材料的溫度.

“練習(xí)”部分的習(xí)題標(biāo)號(hào)延續(xù)“理解檢查”部分，其中習(xí)題的數(shù)量明顯增多，“操練”部分仿照例題，其中6道題是在數(shù)軸上表示數(shù)，6道題是描述具體的情境，6道題是寫出一個(gè)數(shù)的相反數(shù).還有3道題是在一條數(shù)軸上表示三、四個(gè)數(shù).在“應(yīng)用和解決問(wèn)題”中有4道題，第39題是地球科學(xué)背景，要求表示地球中心的溫度是7 000℃；第40題是先表示佛羅里達(dá)州的杰克遜維爾市海拔0米，再用整數(shù)解釋；第43題是章項(xiàng)目的第1題；第44題要求辯證思考，比較數(shù)軸和溫度計(jì)，它們哪里相同，又有什么區(qū)別？在“綜合練習(xí)”欄目中，給出了5道與前面章節(jié)學(xué)習(xí)相關(guān)的習(xí)題，其中還有一道是標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)題，主要起到復(fù)習(xí)的作用.

4.別具一格的“實(shí)驗(yàn)室”

為了學(xué)習(xí)“整數(shù)的加法”，教材提前安排了“手工實(shí)驗(yàn)室”，幫助學(xué)生建立零數(shù)對(duì)的概念.首先是要求小組一起按照教材中給出的步驟操作，然后再自己獨(dú)立完成.學(xué)生通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)的方式完成操作是獨(dú)立完成的前提.

由于乘法和除法是互逆運(yùn)算，在學(xué)習(xí)完乘法運(yùn)算之后，教材又安排了“頭腦實(shí)驗(yàn)室”，通過(guò)兩名學(xué)生如何根據(jù)比賽時(shí)間和訓(xùn)練時(shí)間確定訓(xùn)練計(jì)劃這一實(shí)際問(wèn)題，思考如何利用倒推法想問(wèn)題.其中解決問(wèn)題的策略完全按波利亞問(wèn)題解決的四個(gè)步驟進(jìn)行，最后還逐步拓展到在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中是如何操作的.

在這一章中，教材還安排了與職業(yè)生涯規(guī)劃相關(guān)的閱讀材料，指出了未來(lái)要想成為統(tǒng)計(jì)學(xué)家所應(yīng)具備的基本能力，鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué).

在學(xué)習(xí)第八節(jié)“圖形變換”之前，教材又一次安排“手工實(shí)驗(yàn)室”，要求學(xué)生合作完成與圖形的平移和圖形的翻折相關(guān)的基本操作，為在坐標(biāo)系中畫出經(jīng)過(guò)變換后的圖形打下基礎(chǔ).

5.系統(tǒng)全面的章復(fù)習(xí)

在全章的學(xué)習(xí)結(jié)束之后，教材安排了系統(tǒng)的復(fù)習(xí).首先總結(jié)了這一章出現(xiàn)過(guò)的專業(yè)術(shù)語(yǔ)，如幾何方面有坐標(biāo)網(wǎng)絡(luò)、坐標(biāo)系、有序數(shù)對(duì)（數(shù)偶）、原點(diǎn)、象限、x軸、y軸等；在代數(shù)方面有正數(shù)、負(fù)數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值等；問(wèn)題解決方面有倒推法等，然后是這些術(shù)語(yǔ)在具體問(wèn)題中的應(yīng)用.

總結(jié)的第二部分是目標(biāo)、例題和復(fù)習(xí).在呈現(xiàn)了每個(gè)知識(shí)點(diǎn)及出現(xiàn)的位置之后，教材都給出了1道例題和相對(duì)應(yīng)的4道以上的練習(xí)題.然后是應(yīng)用和問(wèn)題解決，最后是一些可以用來(lái)代替的問(wèn)題.例如，通過(guò)解決章項(xiàng)目的問(wèn)題來(lái)檢查全章的學(xué)習(xí)效果.

總結(jié)的最后部分是整章的標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)題，包括選擇題和主觀題兩部分.

三、美國(guó)初中數(shù)學(xué)教材的特點(diǎn)分析及啟示

1.豐富的問(wèn)題背景和大量的實(shí)際問(wèn)題體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值

無(wú)論是章項(xiàng)目的全章學(xué)習(xí)背景，還是每節(jié)課的知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的問(wèn)題情境，還是例題、課堂練習(xí)，以及作業(yè)中的實(shí)際問(wèn)題，正如這版教材的名字一樣，處處體現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識(shí)與社會(huì)生活、與其他學(xué)科的聯(lián)系與應(yīng)用.究其原因，是因?yàn)槠湔n程標(biāo)準(zhǔn)中既制定了內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)，又制定了實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn).內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定了學(xué)生應(yīng)該理解什么、能夠做什么，而在實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)中則明確規(guī)定了數(shù)學(xué)教育者應(yīng)該致力于學(xué)生發(fā)展的各種專業(yè)技能，包括良好的建模能力，策略性地使用恰當(dāng)?shù)墓ぞ?，?yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)和交流等.恰恰是因?yàn)閮?nèi)容標(biāo)準(zhǔn)與實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)的并行，才使得數(shù)學(xué)理解成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的紐帶.綜觀“研究整數(shù)”這一章的問(wèn)題背景，涉及到了體育比賽、建筑歷史、游戲娛樂、慶典游行、外國(guó)習(xí)俗、廣播電視、運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練、民俗傳統(tǒng)等八個(gè)方面，章中還有職業(yè)生涯規(guī)劃方面的指導(dǎo).在習(xí)題設(shè)計(jì)中，含有背景的習(xí)題共50道，比例接近15%，并且這些背景都是真實(shí)的.AC版教材注意與實(shí)際背景聯(lián)系的設(shè)計(jì)思想，十分值得借鑒.

2.混編的內(nèi)容設(shè)計(jì)體現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的靈活性

傳統(tǒng)的教材知識(shí)邏輯大都按數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)科邏輯進(jìn)行組織，代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容基本上都單獨(dú)成章、成節(jié).AC版教材不僅在章節(jié)的順序上進(jìn)行混編，在具體每一章的內(nèi)容上也是混編的.在“研究整數(shù)”這一章中，前6節(jié)是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的內(nèi)容，學(xué)習(xí)的是整數(shù)的概念，以及加、減、乘、除運(yùn)算，其中還有倒推學(xué)習(xí)策略的學(xué)習(xí).后3節(jié)則是坐標(biāo)系和平移、軸對(duì)稱的學(xué)習(xí)，這屬于“圖形與幾何”學(xué)習(xí)領(lǐng)域的內(nèi)容，又體現(xiàn)出整數(shù)的應(yīng)用.這樣的設(shè)計(jì)既有美國(guó)數(shù)學(xué)課程“一英里寬，一英寸厚”的特點(diǎn)，又體現(xiàn)出集中性與連續(xù)性的特征，讓學(xué)生體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的整體性，這無(wú)疑也是一種有益的嘗試.

3.目標(biāo)明確的習(xí)題設(shè)計(jì)有利于學(xué)生自主練習(xí)

AC版教材的習(xí)題設(shè)計(jì)有很強(qiáng)的針對(duì)性，在每道例題之后，“理解與檢查”部分都安排與例題極為相似的練習(xí)，用于學(xué)生形成技能.不僅如此，“理解與檢查”部分還注意引導(dǎo)學(xué)生形成自己的理解，要求學(xué)生多敘述、多解釋、多舉例，欄目上明確了“數(shù)學(xué)交流”和“指導(dǎo)練習(xí)”的地位.在“課后練習(xí)”中，練習(xí)題的數(shù)量明顯增多，一些簡(jiǎn)單的變式題也開始出現(xiàn).而“練習(xí)與應(yīng)用”又一直是習(xí)題設(shè)計(jì)的主線，貫穿于課堂練習(xí)、課后作業(yè)、單元復(fù)習(xí)等各個(gè)環(huán)節(jié).在每道習(xí)題前面都明確指出了問(wèn)題背景的類型，內(nèi)容涉及科學(xué)、經(jīng)濟(jì)、物理、統(tǒng)計(jì)、幾何、營(yíng)養(yǎng)等各個(gè)學(xué)科，題目雖然簡(jiǎn)單，但與化學(xué)、生物、地理、經(jīng)濟(jì)、物理等多方面的聯(lián)系都非常密切.除了與社會(huì)生活的廣泛聯(lián)系與應(yīng)用之外，在常規(guī)題型的基礎(chǔ)上，還有找規(guī)律、用自己的話來(lái)說(shuō)等開放性問(wèn)題，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)交流的能力.“練習(xí)”中增設(shè)了辯證思考類的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)新、舊知識(shí)的沖突形成自我理解.在單元總結(jié)中，教材給出了具體學(xué)習(xí)目標(biāo)下的例題及其相對(duì)應(yīng)的練習(xí)題，增強(qiáng)了練習(xí)的針對(duì)性.

4.對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的培養(yǎng)有重要的作用

接受學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)都是數(shù)學(xué)的主要學(xué)習(xí)方式.根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容特點(diǎn)的不同，采用不同的學(xué)習(xí)方式是十分重要的.在例題之后的“理解與檢查”中，都是首先引導(dǎo)學(xué)生建立自己對(duì)知識(shí)的理解，通過(guò)說(shuō)一說(shuō)、寫一寫、舉例子等方式，通過(guò)開放題的解決，來(lái)引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí).AC版教材中幾個(gè)“實(shí)驗(yàn)室”欄目的設(shè)計(jì)，為學(xué)生的合作學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí)提供了很好的素材和機(jī)會(huì)，而這些學(xué)習(xí)內(nèi)容又是未來(lái)學(xué)習(xí)所必須的.例如，學(xué)習(xí)除法前學(xué)習(xí)倒推的思考策略，學(xué)習(xí)圖形變換前研究平移與翻折.對(duì)于章項(xiàng)目的設(shè)計(jì)，又給學(xué)生提供了完整地經(jīng)歷問(wèn)題解決的機(jī)會(huì)，探究活動(dòng)貫穿于全章學(xué)習(xí)的始終.