毛大平

（浙江省杭州市富陽區(qū)永興中學）

一、試題呈現(xiàn)與分析

題目（2017年浙江·杭州卷）在平面直角坐標系中，設二次函數(shù)y1=(x+a)(x-a-1)，其中

（1）若函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(1，-2)，求函數(shù)y1的表達式；

（2）若一次函數(shù)y2=ax+b的圖象與y1的圖象經(jīng)過x軸上同一點，探究實數(shù)a，b滿足的關系式；

（3)已知點P(x0，m)和Q(1，n)在函數(shù)y1的圖象上，若m

此題考查了含參數(shù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中第（1）小題主要考查學生求解二次函數(shù)解析式的方法，同時蘊涵整體思想；第（2）小題主要考查函數(shù)圖象與函數(shù)解析式之間的數(shù)形轉(zhuǎn)化，交點坐標與方程組解之間的數(shù)形轉(zhuǎn)化；第（3）小題主要考查二次函數(shù)背景下求解函數(shù)增、減性問題的方法.整道試題的求解關鍵是在數(shù)形結(jié)合思想下，理解在參數(shù)a的變化過程中對稱軸直線是不變的.

二、妙解賞析

1.第（1）小題的解法與評析

解法1：由題意，得(1+a)(1-a-1)=-2，

即a(a+1)=2.

因為y1=x2-x-a(a+1)，

所以y1=x2-x-2.

【評析】若學生發(fā)現(xiàn)a(a+1)=2是一個整體，代入y1=x2-x-a(a+1)后可快速求解.

解法2：由題意，得(1+a)(1-a-1)=-2，

即a2+a-2=0.

解得a1=-2，a2=1.

所以y1=(x-2)(x+1)=x2-x-2.

【評析】若學生沒有發(fā)現(xiàn)a(a+1)=2是一個整體，通過解一元二次方程a2+a-2=0，將a的兩個解代入y1后會驚喜的發(fā)現(xiàn)是同一個結(jié)果，和方法1有異曲同工之妙.

解法3：由題意，得函數(shù)y1的對稱軸為直線.

因為函數(shù)y1過點(1，-2)，

所以函數(shù)y1也過點(0，-2).

所以y1=x(x-1)-2=x2-x-2.

【評析】由y1=(x+a)(x-a-1)可得其與x軸的兩個交點坐標分別是(-a，0)，(a+1，0)，則二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線.(1，-2)關于直線的對稱點是(0，-2)，可以快速求得解析式為y1=x(x-1)-2=x2-x-2.

解法4：由題意，可得函數(shù)y1的對稱軸為直線.

2.第（2）小題的解法與評析

解法1：由題意可知，函數(shù)y1的圖象與x軸交于點(-a，0)和(a+1，0).

當y2的圖象過點(-a，0)時，得a2-b=0；

當y2的圖象過點(a+1，0)時，得a2+a+b=0.

【評析】因為y2與y1經(jīng)過x軸上同一點，先求出函數(shù)y1的圖象與x軸交于點(-a，0)和(a+1，0)，將這兩個點分別代入y2就可以得到a，b的兩個關系式.

解法2：因為，

所以y2=ax+b的圖象與x軸的交點是.

因為y1的圖象過點

【評析】因為函數(shù)y2與y1的圖象經(jīng)過x軸上同一點，先求出函數(shù)y2=ax+b的圖象與x軸的交點是，將其代入y就可以得到a，b的兩個關系式.1

解法3：因為y1與y2的圖象經(jīng)過x軸上同一點，

設y1與y2的圖象都經(jīng)過點(m，0)，

【評析】抓住y1，y2圖象經(jīng)過x軸上一點，則可以設這個點為(m，0)，將其代入兩個函數(shù)關系式可以得到關于m的含參數(shù)方程組，通過消元可以得到方法2中的算式.

3.第（3）小題的解法與評析

解法1：由題意知，函數(shù)y1的對稱軸為直線.

所以點Q(1，n)與點(0，n)關于直線對稱.

因為函數(shù)y1的圖象開口向上，

當m

所以0

【評析】學生在解答時利用二次函數(shù)圖象的軸對稱性和增減性，借助數(shù)形結(jié)合，可以快速得出答案.

解法2：由題意，可得x0-a(a+1)，n=(1+a)(1-a-1)=-a(a+1).

因為m

解得0

【評析】抓住m

解法3：由題意知，函數(shù)的對稱軸為直線.

因為拋物線開口向上，

所以離對稱軸越近，函數(shù)值越小.

因為點P(x0，m)和Q(1，n)在函數(shù)y1上，且m

所以0

【評析】因為二次函數(shù)y1=(x+a)(x-a-1)的圖象開口向上，當圖象上的點與對稱軸距離越近，則函數(shù)值越小，所以當m

三、教學導向分析

1.函數(shù)教學中重視概念和性質(zhì)的理解

這道中考試題考查了眾多關于函數(shù)概念和性質(zhì)的知識.例如，知識點1：在引進參數(shù)a后對變量的識別；知識點2：根據(jù)題目條件靈活求解二次函數(shù)解析式；知識點3：函數(shù)解析式和函數(shù)圖象之間的相互轉(zhuǎn)化；知識點4：利用二次函數(shù)的增、減性解決問題.

若要較好地掌握函數(shù)概念和性質(zhì)，靈活地解決這道中考試題，教師在函數(shù)概念教學中需要創(chuàng)設多個真實的生活情境，讓學生感受“在一個變化過程中有兩個變量x和y，當x確定時，y也唯一確定，我們就說y是x的函數(shù)”，這樣學生就能比較好的理解和分清知識點1中的參量和變量.

在二次函數(shù)三種解析式的學習過程中，教師需要和學生一起理清對二次函數(shù)一般式的約定和將二次函數(shù)一般式進行因式分解得到二次函數(shù)交點式，以及將二次函數(shù)進行配方得到頂點式的演變過程，這樣學生才會清楚地理解每種解析式的特點，達到知識點2中靈活求解二次函數(shù)解析式的目的.

學生在八年級上學期學習的第一個具體函數(shù)是一次函數(shù)，在學習從解析式法到圖象法解決一次函數(shù)問題的過程中，教師若能和學生一起借助幾何畫板軟件，通過對滿足解析式的點進行追蹤，觀察它的運動軌跡，體會函數(shù)的完備性（坐標滿足函數(shù)表達式的點在函數(shù)圖象上）和純粹性（圖象上的點的坐標滿足函數(shù)表達式），則能比較好的理解知識點3，實現(xiàn)題目條件從“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化.

在學習二次函數(shù)的增減性后，教師可以從特殊點函數(shù)值的大小比較入手，得出二次函數(shù)中函數(shù)值大小比較的四種常用方法，即代入法、圖象法、距離法、作差法，并引導學生進行條件變換，將具體的點的橫坐標變成一個范圍，再比較函數(shù)值的大小，發(fā)現(xiàn)用到的是同樣的方法，這樣就能真正解決知識點4的問題.

教師只有重視對函數(shù)的概念和性質(zhì)的教學，才能讓學生很好地理解函數(shù)的本質(zhì)，而不是一味用解析式法去求解函數(shù)問題，而偏廢了對函數(shù)內(nèi)容的教與學.

2.課堂教學中重視讓學生建立知識之間的關聯(lián)性

在數(shù)學課堂教學中，教師要重視知識之間的聯(lián)系，并且通過教學讓學生建立起知識之間的關聯(lián)性，使學生在回答問題時能找到越來越多與解題相關的特征，將多個零散的知識點聯(lián)系起來，形成完整的知識結(jié)構(gòu)來回答或解決較為復雜的問題，并在此基礎上提出更多問題，學習更多的抽象知識.

此題中y1=(x+a)(x-a-1)是一個含參二次函數(shù)，它代表一簇二次函數(shù)，每取一個a，就有一個特殊的二次函數(shù)，但是這一簇二次函數(shù)中蘊含著不變的量，那就是對稱軸都是直線.教師在教學過程中需要引導學生發(fā)現(xiàn)并得出在變化過程中不變的量，這樣，對第（1）小題，學生就容易想到運用解法3的兩根式和解法4的頂點式求解析式，這也是第（3）小題中解法1和解法3解決問題的關鍵.在第（2）小題的解題過程中，三種解法都需要將二次函數(shù)由“形”向“數(shù)”進行轉(zhuǎn)化，這需要學生在學習函數(shù)圖象的過程中建立起函數(shù)解析式法和圖象法的關聯(lián)，利用數(shù)形結(jié)合理解好函數(shù)的完備性和純粹性.在第（3）小題的解題過程中，學生需要將二次函數(shù)的增減性和函數(shù)值的大小比較聯(lián)系起來，將比較大小的四種方法相互聯(lián)系起來，將已知自變量的取值范圍求函數(shù)值的大小和已知函數(shù)值求自變量取值范圍的這種互逆求法聯(lián)系起來.這樣的學習才是基于理解的學習，能夠促進學生思維的發(fā)展，提高學生解決問題的能力.

3.問題解決過程中用一題多解提升數(shù)學知識的學習水平

一題多解就是通過不同的解題方法、運算規(guī)律和思維方式解答同一道題目.在對第（1）小題一題多解的過程中，可以加深學生對二次函數(shù)一般式、交點式和頂點式“是什么”和“為什么”的理解.“是什么”包括對各種二次函數(shù)解析式知識意義的理解，能從不同角度去認識知識的性質(zhì)，知識的類屬，以及知識的背景；“為什么”是對知識之間邏輯關系的理解，即各種二次函數(shù)解析式之間的聯(lián)系和因果關系.只有通過對不同解法的思考，才能達到對知識之間邏輯關系的理解，加強學生知識遷移的能力，有助于學生把理解的知識、形成的基本技能遷移到新的情境中去，促進新知識的學習或解決不同情境中的問題.同時，一題多解的訓練還可以提升學生知識遷移的能力，學生利用一題多解過程中積累的數(shù)學活動經(jīng)驗，能夠?qū)栴}進行變式，從而得到一些新的問題和結(jié)論.例如，通過第（2）小題一題多解的訓練，可以提出如下的變式題：兩個一元二次方程x2+kx-1=0與x2+x+k-2=0有且僅有一個相同的實數(shù)根，求k的值.此外，還可能實現(xiàn)方法的突破，用不同的方法解決一些常規(guī)的問題，形成數(shù)學學科思維.例如，通過對第（3）小題一題多解的訓練，學生可以積累起用特殊值法、圖象法、作差法、距離法這四種方法求解二次函數(shù)背景下函數(shù)值大小比較問題的經(jīng)驗，這樣學生就會很容易發(fā)現(xiàn)，若將第（3）小題的條件和結(jié)論互換，變成“在平面直角坐標系中，設二次函數(shù)y1=(x+a)(x-a-1)，其中a≠0.已知點P(x0，m)和Q(1，n)在函數(shù)y1的圖象上，若0