劉家良

（天津市靜海區(qū)沿莊鎮(zhèn)中學(xué)）

“都講n遍了還是錯”，這是數(shù)學(xué)教師在中考復(fù)習(xí)中常說的一句口頭禪.教師認(rèn)為自己講得很清楚，學(xué)生理應(yīng)聽懂、會用，殊不知，對基礎(chǔ)一般的學(xué)生來說，能有百分之六十的學(xué)生真的聽懂就已經(jīng)非常不容易了.那么，在中考復(fù)習(xí)的過程中，有什么方法，能使學(xué)生的思維逐步走向縱深呢？筆者認(rèn)為，在比對、辨析中讓學(xué)生自悟、歸納是提高中考復(fù)習(xí)效益的有效途徑.

一、鄰近概念的異同點、所求式子與公式結(jié)構(gòu)的比對與自悟

概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)大廈的基石.在日常教學(xué)中，學(xué)生常把鄰近的概念相混淆或把形式錯誤理解成本質(zhì)，造成鄰近概念的似是而非、模棱兩可，直接影響了后續(xù)知識的學(xué)習(xí).在中考復(fù)習(xí)中，讓學(xué)生通過比對、辨析和自悟等活動去區(qū)分鄰近概念，成為了把握概念內(nèi)涵的一劑良方.公式是簡化運算的工具，而學(xué)生常對那些不符合公式結(jié)構(gòu)的式子也盲目套用公式，其根源是沒有理清公式的結(jié)構(gòu)特征，對此教師可以列舉一些相似的式子讓學(xué)生比對、辨析和自悟，在明確什么樣的式子符合公式、什么樣的式子不能套用公式的過程中達(dá)到熟悉公式結(jié)構(gòu)的目的.

例1判斷下列說法是否正確，正確的在括號內(nèi)打“√”，錯誤的在括號內(nèi)打“×”.

（1）實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù).（ ）

（2）無限小數(shù)都是無理數(shù).（ ）

（3）無理數(shù)都是無限小數(shù).（ ）

（4）帶根號的數(shù)都是無理數(shù).（ ）

例1圍繞對無理數(shù)概念的幾種認(rèn)識展開了比對、辨析，其中的第（2）（3）（4）小題，學(xué)生可以通過自己舉例，在不同看法間展開辨析和爭論，弄清無理數(shù)的內(nèi)涵.學(xué)生之間的反例駁斥、辯解要比讓他們死記概念的效果好，同時還可以對今后概念的學(xué)習(xí)起到示范作用.之后，再舉一例加以鞏固：在3.14，0.353 535 35…，0.35335333533335…，，π中，無理數(shù)有_______.

例2下列多項式乘法中，能用平方差公式計算的是___________.

這是復(fù)習(xí)平方差公式時的一道題目.明確什么樣的兩個二項式相乘才能使用平方差公式，是正確運用平方差公式進行計算的前提，這也是學(xué)生把握不好的地方.對此筆者設(shè)計了一組相似題，旨在讓學(xué)生從“形”到“質(zhì)”把握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征.此題雖然不屬于難題，但是錯誤率還是較高的.

生1：（1）式是兩個數(shù)和的積，而平方差公式是兩個數(shù)的和同這兩個數(shù)的差相乘，形式上就不符合，所以它不能使用平方差公式計算.

師：形式上不符合，說到點子上了.

生2：（2）式不符合平方差公式中的字母順序，所以它不能使用平方差公式計算.（部分學(xué)生將信將疑.）

師：有不同意這種說法的嗎？

生3：我不同意，這是因為.所以，變形后就符合了平方差公式的結(jié)構(gòu)，所以它能用平方差公式進行計算.

師：生3通過先變形、再比對的方式判斷所給式子是否符合平方差公式，看“形”還要看到“質(zhì)”，從本質(zhì)上看問題的思維習(xí)慣值得大家學(xué)習(xí).

筆者邊歸納、邊板書：(b+a)(a-b)=(a+b)(a-b)=a2-b2；(a+b)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2.

生4：(-a+b)(a-b)與平方差公式比較，第一個括號中a前面多了一個負(fù)號，這樣，就有了三個數(shù)：-a，a，b.而平方差公式中只涉及到兩個數(shù)：a，b，所以不符合公式要求.

師：生4從公式所含字母的個數(shù)上做了比對，分析到位！這個式子可以化成-(a-b)2.

生5：仿照生4的分析，（4）式中有四個數(shù)：x2，x，y，y2，因此也不符合要求.

師：生5傾聽、分享生4的分析方案，這也是一種學(xué)習(xí)方法.

筆者邊歸納邊板書：(a+b)(a-b)=a2-b2，其中只涉及到兩個字母a，b.

生6：（5）式不行，是差的積，不符合公式要求.

師：有不同的看法嗎？

生7：我不同意，（5）式表面上看是差的積，但是(-a-b)=-(a+b)，所以(-a-b)(a-b)=-(a+b)(a-b)=-(a2-b2)，故能使用.

師：變形之后再比對，從“形”到“質(zhì)”，分析得透徹.

生8：對于（6）式，開始時我認(rèn)為不行，但是我從前面的分析中得到了啟發(fā)，可將c2，d2分別看作公式中的字母a，b，這樣就行了.

師：生8能從公式中字母a，b的廣泛性上分析所給式子是否符合要求，并能在同學(xué)面前暴露自己開始時的思維缺陷，這種求實的學(xué)習(xí)品質(zhì)值得大家學(xué)習(xí).

【評析】在學(xué)生出現(xiàn)錯誤時，筆者沒有馬上去糾正，而是通過學(xué)生之間的相互啟發(fā)、比對辨析，或變形、再比對、再判斷，漸漸使公式特征浮出水面，同時悟到從“形”到“質(zhì)”認(rèn)識問題的重要性.這種自我比對、辨析、糾錯比教師反復(fù)強調(diào)的效果要好很多.

二、一題多解的比對與自悟

學(xué)生能把自己解題的思維過程展示出來，就說明他對此類問題的理解是透徹的，教師講的東西扎根在他心里了.在中考復(fù)習(xí)習(xí)題課上，對一道題目進行多種解答，多給學(xué)生思考、表達(dá)、比對、歸納的機會，在同中求異和異中求同中提煉出“質(zhì)”的東西.雖然可能在一節(jié)課中只完成了一道題目，但是其代表了一類題目，從重“量”到重“質(zhì)”的改變中讓學(xué)生學(xué)會舉一反三、觸類旁通.

圖1

例3如圖1，點A，B，C在⊙O上，△ABC為等邊三角形，點D為劣弧BC上一點，連接AD，BD，CD.試確定AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

這道題解法多樣，且蘊含著辯證性思維.教師引導(dǎo)學(xué)生沿著觀察思考、分析推理、辯證評析的路徑走下去即可.

生1：在AD，BD，CD三條線段中，線段AD最長，是否會有AD=BD+CD呢？

生2：若如此，我想到了截長法和補短法.

生3：AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系為AD=BD+CD.如圖2，在DA上截取DE=DB，連接BE.因為△ABC為等邊三角形，所以∠ACB=∠ABC=60°，AB=CB.又因為∠BDA=∠ACB=60°，所以△DBE為等邊三角形，所以BE=BD，∠DBE=60°.于是∠EBC+∠DBC=60°.又因為∠EBC+∠ABE=60°，所以∠ABE=∠DBC.所以△ABE≌△CBD（SAS），得AE=CD，即AD=BD+CD.

圖2

圖3

生4：按照生2的思路，在DA上截取DE=DC，連接CE，如圖3，因為∠ADC=∠ABC=60°，所以△DEC為等邊三角形，EC=DC，∠DCE=60°.可證∠ACE=∠BCD，所以△BDC≌△AEC，得AE=BD，即AD=BD+CD.

生5：生3和生4都在最長的線段上截取出一條線段等于一條較短線段，再證余下的那段等于另一條較短線段，這種方法就是教師講解的截長法，常用于證明形如線段“a=b+c”的命題.

師：生5從生3和生4的證明過程中能感悟、提煉出典型性的方法，值得大家學(xué)習(xí)！

生6：類比截長法，能否使用補短法呢？

師：大家可以試一下.

生7：延長CD至點F，使DF=BD，連接BF，如圖4.因為四邊形ABDC為⊙O的內(nèi)接四邊形，所以∠BAC+∠BDC=180°.又因為∠BDF+∠BDC=180°，所以∠BDF=∠BAC=60°，△BDF為等邊三角形，于是BF=BD，∠F=60°.證明△BDA≌ △BFC，得AD=CF，即AD=BD+CD.

圖4

圖5

生8：延長BD至點F，使DF=DC，連接CF，如圖5，證明△CDF為等邊三角形，于是CF=CD，∠DCF=60°.證明△BCF≌△ACD，得AD=BF，即AD=BD+CD.

生9：生7和生8均采用補短法.補短法就是延長一條較短線段至某點處，使延長部分的長是另一條較短線段的長，再證總線段長等于最長的線段.

生10：無論是截取法還是補短法，其本質(zhì)都是構(gòu)造法.這種方法給我們提供了解決這類問題的一個通法.

師：生10從兩種不同的方法中悟到了兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，概括得到位.大家還有其他的想法嗎？

生11：如圖3，在線段AD上截取AE=BD，連接CE.先證△AEC≌△BDC，得CE=CD，∠ACE=∠BCD.再證△DEC為等邊三角形即可.

師：生11從問題的另一個方面去想，這種舉一反三的能力正是我們需要的.

【評析】例3始于學(xué)生的觀察，前后歷經(jīng)了學(xué)生的觀察、猜想、論證、比對、自悟、提煉和歸納等思維過程.在師生的相互啟發(fā)下，高潮迭起，使學(xué)生獲得解題方法的同時，又悟得數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)素養(yǎng)能夠得到逐步提升.

三、在歸類成串中展開比對與自悟

教材是復(fù)習(xí)的藍(lán)本，教材中的題目是中考命題的“母題”，但在中考復(fù)習(xí)中有些教師往往將教材扔在一邊，熱衷于講各種課外題，這種“舍本”的做法加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān).在第一輪復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)該發(fā)揮學(xué)生的主體作用，將分散在教材各章節(jié)的關(guān)聯(lián)題進行重組，歸類成串，再通過學(xué)生比對、歸納、自悟，提升由此及彼、變“厚”為“薄”的高度，形成知識脈絡(luò).

有些習(xí)題雖然承載的知識看上去不同，但是其蘊涵的思想方法卻是相通的.基于此，可把此類題目鏈接到一起，通過比較，做到異中求同，獲取本質(zhì)性的認(rèn)識.

例4如圖6，CA=CD，∠1=∠2，BC=EC，求證AB=DE.

圖6

此題是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第55頁第3題，這是一道先用等式性質(zhì)證兩個三角形的內(nèi)角相等，再證其全等，得到對應(yīng)邊相等的題.類似地，利用等式性質(zhì)證明兩個三角形的內(nèi)角相等，采用這種鋪墊方式的題目在教材中還有一些.

鏈接1：如圖7，△ABD，△AEC都是等邊三角形，求證BE=DC.（教材第83頁第12題.）

鏈接2：如圖8，∠1=∠2，∠3=∠4，求證AC=AD.（教材第44頁第4題.）

鏈接3：如圖9，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為點D，E，AD=2.5 cm，DE=1.7 cm，求BE的長.（教材第56頁第9題.）

圖7

圖8

圖9

【評析】鏈接1與例4證明兩個三角形內(nèi)角相等的模式（等角加同一個角）是相同的，而鏈接3和鏈接4與例4的模式有別（等角的補角、同角的余角），但從例4直至鏈接3都是利用等式性質(zhì)證明兩個三角形的內(nèi)角相等，“鋪墊”打開了證明兩個三角形全等的閘門，這一步很關(guān)鍵.這些題目先讓學(xué)生到教材中去尋找，再讓學(xué)生比對、辨析和歸納，從中找到解答這類問題的通法.

中考鏈接：（2016年四川·南充卷）已知△ABN和△ACM位置如圖10所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.

圖10

（1）求證：BD=CE；

（2）求證：∠M=∠N.

這是一道與例4相仿的試題，源于教材，又有別于教材.教師要對教材有相當(dāng)?shù)轿坏睦斫?，以便在總?fù)習(xí)階段適時引導(dǎo)學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)“跳一跳”.

【評析】在中考復(fù)習(xí)中，通過“中考鏈接”環(huán)節(jié)，使學(xué)生認(rèn)識到中考試題的來源，從而重視對教材上題目的研究，通過對教材中關(guān)聯(lián)題的重組、歸類、鏈接，實現(xiàn)由“量”的訓(xùn)練向“類”的轉(zhuǎn)變.

上述三點可適時穿插在中考復(fù)習(xí)的不同階段，比對、辨析是“悟”的前提，這樣做能使學(xué)生思維活躍、全面且嚴(yán)謹(jǐn).求知的路上需要這種品質(zhì)，這種習(xí)慣的養(yǎng)成，又會為我們的生活、工作帶來潛移默化的影響.