就小學(xué)數(shù)學(xué)課程而言，其目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)與否，離不開兩個(gè)關(guān)鍵因素，教什么和怎么教（對學(xué)生而言是學(xué)什么與怎么學(xué)），從一定意義上來說，教什么又決定了怎么教。教什么的核心是如何看待知識。對數(shù)學(xué)知識的功用分析可從多個(gè)層面進(jìn)行，包括邏輯學(xué)、教育學(xué)、心理學(xué)等。在眾多的層面中，筆者認(rèn)為切不可忽略數(shù)學(xué)史的層面。關(guān)于數(shù)學(xué)史的教育教學(xué)價(jià)值，學(xué)術(shù)界已達(dá)成廣泛共識。尤其是成立于1972年的HPM小組（International Study Group Oil the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系的國際研究群），標(biāo)志著數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)的研究已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育研究的重要內(nèi)容。如何將數(shù)學(xué)史有效地融入數(shù)學(xué)教學(xué)之中，進(jìn)而對于數(shù)學(xué)教學(xué)的改善和課程的建設(shè)提供幫助，是HPM研究學(xué)者的重要關(guān)切。

一、HPM視域下數(shù)學(xué)教學(xué)的本源探尋

“發(fā)生教學(xué)原理”是HPM視域下數(shù)學(xué)教學(xué)的主要理論依據(jù)。“歷史發(fā)生原理”起源于德國生物學(xué)家?？藸枺‥.Haeckel）所提出的生物發(fā)生基本定理：“個(gè)體發(fā)育重演種族發(fā)展”。第斯多惠（F.A.W.Diesterweg）最早提出“發(fā)生教學(xué)法”，在其名著《德國教師培養(yǎng)指南》中，他認(rèn)為之所以需要采用“發(fā)生教學(xué)法”，是因?yàn)檫@是所教學(xué)科興起或進(jìn)入人類意識的方式。許多數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)教育家對“歷史發(fā)生原理”都非常重視?？巳R因（M.Klein）認(rèn)為：數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南。弗賴登塔爾（H.Freudenthal）更是認(rèn)為，“年輕的學(xué)習(xí)者重蹈人類的學(xué)習(xí)過程，盡管方式改變了”。

HPM思想在數(shù)學(xué)教育中之所以得到如此的重視，從某種意義上說它不僅揭示了數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和發(fā)展的歷程，也明示了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該如何才能真正地發(fā)生。而只有當(dāng)學(xué)習(xí)真正發(fā)生時(shí)，學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解、數(shù)學(xué)思維的發(fā)展等數(shù)學(xué)素養(yǎng)才有可能得以實(shí)現(xiàn)。因此，在核心素養(yǎng)課改背景下研究HPM視域下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有現(xiàn)實(shí)意義。

二、HPM視域下小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值追求

HPM研究的數(shù)學(xué)教育價(jià)值，國內(nèi)外數(shù)學(xué)界及數(shù)學(xué)教育界有廣泛且深入的研究。其中比較有代表性的如Tzannaki和Arcavi等提出數(shù)學(xué)史可以幫助數(shù)學(xué)教學(xué)的五大原因：（1）幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)；（2）對數(shù)學(xué)的本質(zhì)和數(shù)學(xué)活動(dòng)的發(fā)展認(rèn)識，提供了新的視角；（3）提升數(shù)學(xué)教師自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；（4）讓教師更加熱愛數(shù)學(xué)；（5）將數(shù)學(xué)視為一項(xiàng)文化成果。華東師范大學(xué)汪曉勤教授將HPM研究的價(jià)值概括為知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效”。

目前，國內(nèi)HPM研究應(yīng)用多在中學(xué)，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域相對較少，這里面有客觀原因。但就價(jià)值層面來說，HPM思想對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有著獨(dú)特的價(jià)值。

（一）立足于兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

學(xué)習(xí)是兒童的本能，兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式是由其年齡特點(diǎn)和認(rèn)知方式?jīng)Q定的。符合兒童認(rèn)知規(guī)律的數(shù)學(xué)教學(xué)才能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣、探索欲望，才能激發(fā)兒童的自主發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，這正是HPM思想立足于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)意蘊(yùn)。概括地說，HPM思想能給兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來真善美的發(fā)展。

1.兒童之真在于自然。

盧梭有句名言：“大自然希望兒童在成人之前就要像兒童的樣子。如果我們打亂了這個(gè)秩序，就會(huì)造成一些早熟的果實(shí)，它們長得既不豐滿也不甜美，而且很快會(huì)腐爛?！眰鹘y(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)注重知識傳授的效率，為了確保這種效率，知識就必須濾去其產(chǎn)生時(shí)的復(fù)雜和反復(fù)的歷程，呈現(xiàn)出一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、間接性的邏輯結(jié)構(gòu)。這種靜態(tài)化的知識結(jié)構(gòu)與兒童自然的學(xué)習(xí)本能是不相匹配的?；贖PM的教學(xué)知識的展現(xiàn)是其自然真實(shí)的歷程，知識的歷史順序、邏輯順序與兒童的心理發(fā)生順序相互融合。

2.兒童之善在于創(chuàng)造。

弗賴登塔爾說過，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方式就是再創(chuàng)造。兒童天生就是一個(gè)創(chuàng)造者，再創(chuàng)造的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式順應(yīng)了兒童的這種天性?；贖PM的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，為兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)再創(chuàng)造提供了可能。一是明了知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程和關(guān)鍵步驟，為再創(chuàng)造指明方向。二是了解數(shù)學(xué)史可以為再創(chuàng)造搭好腳手架。正如弗賴登塔爾所說，沒有必要也沒有可能將數(shù)學(xué)教學(xué)變成歷史發(fā)展過程的機(jī)械重復(fù)，但確實(shí)可以從中獲得很好的借鑒。三是HPM視域下的教學(xué)要求教師盡可能地營造合適的再創(chuàng)造學(xué)習(xí)環(huán)境，以激發(fā)兒童的創(chuàng)造欲望。

3.兒童之美在于生長。

兒童內(nèi)在的心智結(jié)構(gòu)決定了兒童的發(fā)展具有可能性、創(chuàng)造性和獨(dú)特性。傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)注重知識的傳授，不僅忽略了兒童生長的特性，也掩蓋了數(shù)學(xué)知識形成過程中不斷超越和創(chuàng)新的本質(zhì)。HPM思想的核心不僅在于揭示知識是怎么發(fā)展的，還在于引領(lǐng)我們更好地順應(yīng)知識的歷史邏輯，只有像數(shù)學(xué)家一樣憑借數(shù)學(xué)的直覺思維，做出各種猜想，然后再加以驗(yàn)證的學(xué)習(xí)方式，經(jīng)歷數(shù)學(xué)再創(chuàng)造，建構(gòu)兒童自己的數(shù)學(xué)，才能給兒童的生長以啟蒙、營養(yǎng)和力量。

（二）立足于小學(xué)數(shù)學(xué)教育

張景中院士認(rèn)為，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)很初等，很簡單，盡管簡單，卻蘊(yùn)含深刻的數(shù)學(xué)思想。如何讓簡單的小學(xué)數(shù)學(xué)知識教得不簡單，學(xué)得有深度，HPM思想就是一個(gè)很好的視角。

1.HPM思想之于教師的知識觀。

長期以來，人們對數(shù)學(xué)的印象就是一種高度抽象、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[體系，由此，數(shù)學(xué)教學(xué)往往就變成講解數(shù)學(xué)的定義、定理到應(yīng)用定理、性質(zhì)來解題的單一行為，其后果就是讓小學(xué)生失去興趣，甚至厭惡、害怕學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。HPM視域下的數(shù)學(xué)觀不僅關(guān)注知識本身，更關(guān)注知識內(nèi)隱的過程和本質(zhì)，其實(shí)質(zhì)正像上面所講的，把數(shù)學(xué)當(dāng)做一項(xiàng)人類的文化成果，數(shù)學(xué)的符號、思想、理性精神和內(nèi)在的美都是數(shù)學(xué)文化的特征。文化視角中的數(shù)學(xué)知識，不僅符合數(shù)學(xué)本身發(fā)展的規(guī)律，更符合學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展規(guī)律。

2.HPM思想之于教師的教學(xué)觀。

弗賴登塔爾認(rèn)為存在兩種數(shù)學(xué)，一種是現(xiàn)成的或已經(jīng)完成的數(shù)學(xué)，另一種是活動(dòng)的或創(chuàng)新的數(shù)學(xué)，完成的數(shù)學(xué)以演繹的面目出現(xiàn)，給予人們的是思維的結(jié)果?；顒?dòng)的數(shù)學(xué)則是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造數(shù)學(xué)的真實(shí)過程體現(xiàn)。HPM視域下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是一種在教師指導(dǎo)下的學(xué)生對數(shù)學(xué)知識“再創(chuàng)造”或“再發(fā)現(xiàn)”的過程，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)角度來講，也是一種對數(shù)學(xué)文化的深刻領(lǐng)悟下的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想的深層次建構(gòu)過程。

三、HPM視域下小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的踐行

HPM視域下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，其主要遵循的是“歷史發(fā)生原理”，但其過程不能簡單地理解為歷史的還原，而是借鑒數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展，再現(xiàn)數(shù)學(xué)本原的思想方法，并在歷史與現(xiàn)實(shí)之間架起一座橋梁，通過這座橋梁讓學(xué)生感受到內(nèi)蘊(yùn)于知識深處的文化魅力。

（一）研史明理，深刻理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)對一些教學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生疑問，如x=1是方程嗎？學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)為什么還要學(xué)習(xí)小數(shù)？無法回答此類問題表明教師對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解不深刻、不系統(tǒng)。例如：在教學(xué)“用字母表示數(shù)”時(shí)，M老師告訴學(xué)生，當(dāng)一個(gè)數(shù)不知道數(shù)值時(shí)就用字母表示。M老師的理解是“在方程里字母表示未知數(shù)”，可見，脫離了字母表示數(shù)的歷史背景，就看不清它的來龍去脈，自然也就無從體會(huì)其本質(zhì)。從算術(shù)到代數(shù)，人類經(jīng)歷了三個(gè)歷史階段，即文辭代數(shù)、縮略代數(shù)和符號代數(shù)，而在這其中，用字母表示數(shù)的過程，不是用字母代替具體的數(shù)量，而是把具體的數(shù)量符號化、把特殊的關(guān)系一般化的過程。因此教學(xué)“用字母表示數(shù)”的關(guān)鍵在于讓學(xué)生理解已知的量為什么還要用字母表示，理解了這一點(diǎn)才能真正實(shí)現(xiàn)從算術(shù)思維走向代數(shù)思維。

（二）與史相融，重構(gòu)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂

數(shù)學(xué)史進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂，汪曉勤教授概括了四種方式，即附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式，前面三種方式是直接或間接應(yīng)用數(shù)學(xué)史的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，重構(gòu)式是依據(jù)知識的歷史發(fā)生原理和學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)為基礎(chǔ)，通過知識情境的重組讓學(xué)生真正經(jīng)歷知識的產(chǎn)生和創(chuàng)造過程。重構(gòu)式的教學(xué)不是簡單地把數(shù)學(xué)史拿來，而是從數(shù)學(xué)文化的視角來展現(xiàn)知識的發(fā)生和發(fā)展。如在“角的認(rèn)識”教學(xué)中，很多學(xué)生對“角的大小為什么與邊長無關(guān)”這個(gè)問題不理解，因?yàn)榻滩臎]有安排討論這個(gè)問題，所以很多教師也就一帶而過，或者教師自己也沒弄清楚，這就給學(xué)生理解角的本質(zhì)內(nèi)涵帶來很多局限。翻開數(shù)學(xué)史，我們發(fā)現(xiàn)角的精確測量是以線量角，即單位圓內(nèi)角的大小與其對應(yīng)的弧長相關(guān)。若以此為依據(jù)來重構(gòu)“角的測量”，那就可以引導(dǎo)學(xué)生用線（畫圓?。y量，而以線量角的關(guān)鍵是需要對兩個(gè)角截取相同的孤長（單位圓）。這樣不僅可以讓學(xué)生創(chuàng)造量角的方法，而且可以理解角的大小的真正含義。

（三）以史為鑒，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)彰顯文化價(jià)值

數(shù)學(xué)本質(zhì)上是一個(gè)蘊(yùn)含數(shù)學(xué)文化的知識體系，它以符號系統(tǒng)為載體，向人們傳遞其內(nèi)在的意義。小學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)，不應(yīng)是數(shù)字、符號的堆砌，而應(yīng)是一種在數(shù)學(xué)文化整體觀照下的知識、思想及觀念的深層次理解和建構(gòu)。

如小學(xué)階段關(guān)于測量的教學(xué)，這節(jié)教師們平時(shí)不太關(guān)注的教學(xué)內(nèi)容，其實(shí)充滿了豐富的文化意義和價(jià)值。我國秦朝統(tǒng)一度量衡成為歷史的標(biāo)志性事件，大大促進(jìn)了當(dāng)時(shí)政治、經(jīng)濟(jì)、文化的發(fā)展。測量的產(chǎn)生和發(fā)展源于生產(chǎn)生活需要，在不同的社會(huì)文化背景下，其方式方法也不盡相同，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的多元性，但測量蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想及文化意義卻是一致的。測量教學(xué)要讓學(xué)生在豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)中體會(huì)測量的需要、測量工具的形成、標(biāo)準(zhǔn)的建立、計(jì)量單位的形成及發(fā)展變化，在這一過程中給予學(xué)生多元文化的熏陶，由此讓學(xué)生深刻感悟測量的定量、公度的基本思想。從某種意義上說，測量的學(xué)習(xí)也是一種文化重建，即學(xué)生在豐富的社會(huì)文化背景下，通過對相關(guān)知識及其發(fā)展脈絡(luò)的深刻理解，在不斷生成、不斷創(chuàng)造的過程中，自然地感悟數(shù)學(xué)文化的意義。